Mr: Lamloum Med http://lammaths.e-monsite.com/ Diviseurs communs à deux entiers Remarque : il s’agit d’établir la liste des nombres qui divisent à la fois les deux entiers. Exemple : Tous les diviseurs de 60 sont : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 10 , 12 , 15 , 20 , 30 , 60 Tous les diviseurs de 100 sont : 1 , 2 , 4 , 5 , 10 , 20 , 25 , 50 , 100 Les diviseurs communs à 60 et 100 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20 Mr: Lamloum Med http://lammaths.e-monsite.com/

Les diviseurs communs à 24 et 56 sont P P G C D G C D lus rand ommun iviseur Définition: Quand deux nombres ont plusieurs diviseurs communs positifs, le plus grand de ces diviseurs est appelé le PGCD ( Plus Grand Commun Diviseur ). Exemple : Les diviseurs communs à 24 et 56 sont 1, 2, 4 et 8 On note PGCD( 24,56) = 8 Mr: Lamloum Med http://lammaths.e-monsite.com/

Quelques méthodes pour trouver le PGCD de deux nombres entiers : Mr: Lamloum Med http://lammaths.e-monsite.com/

Mr: Lamloum Med http://lammaths.e-monsite.com/ a.1er méthode: En déterminant tous les diviseurs communs : Exercice : Trouver le P.G.C.D de 28 et 70. 28 70 Méthode : On cherche tous les diviseurs de 28 puis de 70 ( en faisant un tableau par exemple ). On choisit le plus grand parmi les diviseurs communs, c’est le PGCD. 1 28 1 70 2 14 2 35 4 7 5 14 7 10 Donc PGCD ( 28 , 70 ) = 14 Mr: Lamloum Med http://lammaths.e-monsite.com/

b. 2éme méthode : la décomposition en produit de facteurs premiers On décompose chaque nombre en un produit de facteurs premiers. Ensuite on multiplie les facteurs premiers communs aux deux nombres avec le plus petit exposant . Le résultat est le PGCD de ces deux nombres Exemple : Trouver le PGCD de 840 et 2772 Mr: Lamloum Med http://lammaths.e-monsite.com/

Les diviseurs premiers 840 2 2772 2 420 2 1386 2 210 2 693 3 105 3 231 3 35 5 77 7 7 7 11 11 1 1 840 = 23 x 3 x 5 x 7 2772 = 22 x 32 x 7 x 11 et PGCD ( 840 , 2772 ) = 22 x 3 x 7 = 84

Mr: Lamloum Med http://lammaths.e-monsite.com/ c. 3éme méthode: En utilisant l’algorithme d’ Euclide : BUT : déterminer le PGCD de deux nombres entiers positifs quand ces nombres sont grands. Exemple : Déterminer PGCD ( 344 , 602 ) : 1ère étape : On effectue la division euclidienne du plus grand des deux nombres par le plus petit. 2ème étape : On effectue la division euclidienne du diviseur par le reste de la division précédente, jusqu’à ce que le reste de la division soit égal à 0. 3ème étape : Le PGCD est le dernier reste non nul. Mr: Lamloum Med http://lammaths.e-monsite.com/

Mr: Lamloum Med http://lammaths.e-monsite.com/ 6 0 2 3 4 4 Donc 602 = 344 x 1 + 258 2 5 8 1 3 4 4 2 5 8 Donc 344 = 258 x 1+ 86 8 6 1 2 5 8 8 6 Donc 258 = 86 x 3 + 0 3 D’où PGCD ( 602 , 344 ) = 86 Mr: Lamloum Med http://lammaths.e-monsite.com/

Autre exemple de l ’algorithme d ’EUCLIDE PGCD(3366 ; 2737 )=? 3366 = 2737 x + 1 629 2737 = 629 x + 4 221 629 = 221 x + 2 187 221 = 187 x + 1 34 187 = 34 x + 5 17 34 = 17 x + 2 17 est leur plus grand diviseur donc 3366 et 2737 Mr: Lamloum Med http://lammaths.e-monsite.com/

d.4éme Méthode : Algorithme des soustractions Déterminons PGCD(252,360)  108 - on soustrait le plus grand par le plus petit : 360 – 252 = 108 252 - on soustrait les plus petits entre eux: - = 144 - on soustrait les plus petits entre eux :144 – 108 = 36 36 72 - on soustrait les plus petits entre eux :108 – 36 = … 36 - on soustrait les plus petits entre eux :72 – 36 = … - on soustrait les plus petits entre eux :36 – 36 = Zéro la différence est nulle, on arrête. PGCD(252 ; 360) = 36 (dernière différence non nulle) Mr: Lamloum Med http://lammaths.e-monsite.com/

Mr: Lamloum Med http://lammaths.e-monsite.com/ P C M P P C M lus etit ommun ultiple Mr: Lamloum Med http://lammaths.e-monsite.com/

Mr: Lamloum Med http://lammaths.e-monsite.com/ Le Plus Petit Commun Multiple est une opération consistant à déterminer le plus petit des multiples communs à 2 ou plusieurs nombres. Exemples Quel est le PPCM de 8 et 12? Déterminons quelques multiples de 8 et 12 : Multiples de 8 : 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, … Multiples de 12 : 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84 … Multiples communs à 8 et 12 : 24 48 72 le plus petit : 24 PPCM ( 8, 12 ) = 24 Remarque : 0 est un multiple de tous les nombres. Mr: Lamloum Med http://lammaths.e-monsite.com/

Mr: Lamloum Med http://lammaths.e-monsite.com/ Il existe une autre méthode pour déterminer le PPCM de 2 ou plusieurs nombres. On utilisant les facteurs premiers d’un nombre. Exemple Quel est le PPCM de 8 et 12? 1) Décomposer les nombres en facteurs premiers : 12 = X 22 3 8 = 23 2) Prendre tous les facteurs possédant le plus gros exposant et les facteurs non communs et 3) Multiplier ensemble ses facteurs : PPCM(8:12)=23 X 3 = 24 Mr: Lamloum Med http://lammaths.e-monsite.com/