Séminaire sur les Techniques et Management de la Maintenance « STMM 2007 » EMP 07 et 08/05/07 Thème: Optimisation du plan de maintenance d’un système multi-composant R. LAGGOUNE et D. AISSANI Laboratoire de Modélisation et d’Optimisation des Systèmes « LAMOS » Université A. Mira de Bejaia Mots clés : système multi composants; système série; dépendance économique; plan de maintenance; remplacement en groupe.

Plan du travail (exposé) Introduction Problématique (dépendances entre composants). Modélisation du système multi-composants. Structure des coûts du système. Modèle de maintenance du système Optimisation du plan de maintenance. Application à un cas industriel. Conclusion

1. Introduction Les systèmes de production de biens et de services sont généralement sujets à des détériorations continues avec l’âge et l’usage. Pour certains systèmes (systèmes nucléaires, avions, …), le souci de sécurité fait qu’il est extrêmement important de tout mettre en œuvre pour éviter la défaillance en service. Pour les unités à fonctionnement continu, le manque à gagner est élevé en cas d’arrêt. La maintenance de ces systèmes est donc nécessaire puisque elle permet d’améliorer la fiabilité (disponibilité) et la sécurité. Une politique de maintenance optimale est celle qui garantit une disponibilité/fiabilité et sécurité optimales aux coûts de maintenance les plus bas possible (Wang H. 2002) .

1. Introduction (Problématique) Politique de maintenance préventive dépendante de l’age. Politique de maintenance préventive périodique. Systèmes mono-composants Politique de la limite de défaillance. Politique de maintenance préventive séquentielle. Politiques de maintenance Politique de la limite de réparation. Politique du nombre de réparations et du temps de référence. Systèmes multi-composants Dépendances

1. Introduction (Problématique) Dépendance économique: Elle signifie qu’exécuter une maintenance sur plusieurs composants conjointement coûte moins cher et/ou nécessite moins de temps que pour chaque composant séparément. Dépendance stochastique (corrélation de défaillances): Elle signifie que les distributions de défaillance des différents composants sont stochastiquement dépendantes. Autrement dit, l’état d’un composant influe sur les distributions des durées de vie des autres composants. Dépendance structurelle: On parle de dépendance structurelle lorsque les composants forment structurellement une partie de telle sorte qu’une maintenance d’un composant défaillant implique la maintenance des autres composants

1. Introduction (synthèse bibliographique sur le sujet) Les politiques de remplacement et de maintenance des systèmes multi composants ont été largement traitées dans la littérature. La majorité des auteurs utilisent des hypothèses simplificatrices, ou traitent des systèmes particuliers pour faciliter la modélisation mathématique. La maintenance des systèmes se dégradant est fréquemment décrite par la théorie de Markov qui s’appuie essentiellement sur l’espace des états qui croît exponentiellement avec le nombre de composants du système, d’où la non attractivité de cette approche pour les systèmes multi composants. Pour des systèmes avec plusieurs composants, des modèles heuristiques sont souvent utilisés. Ces modèles traitent des cas particuliers (structure particulière, taux de défaillance constant,…).

1. Introduction (Objet du présent travail) Nous présentons une approche générale pour l’optimisation d’un système multi-composant en série dans un contexte de dépendance économique (élaboration d’un plan de maintenance). Un taux de défaillance arbitraire est supposé pour tous les composants. Une fonction de coût pour les opérations de maintenance (corrective et préventive) est définie pour le système global, tenant compte des interactions entre les composants. Un algorithme permet de déterminer les temps de remplacement préventif de tous les composants minimisant le coût total en tenant compte du temps d’arrêt total du système.

2. Modélisation du système Soit un système constitué de n composants en série (fig. 1). La fiabilité d’un tel système à un temps t est donnée par : (1) Rsys(t) représente la fiabilité du système, Fsys(t) représente la probabilité de défaillance du système, Ri(t) représente la fiabilité du composant i. Figure 1 : Système en série avec n composants Composant 1 Composant 2 Composant n

2. Modélisation du système Calculer les temps 1, 2, 3,…,n entre les remplacements préventifs des composants 1, 2, 3,…,n (fig. 2). Décider, lors de l’arrêt du système, s’il est intéressant de saisir l’opportunité pour remplacer préventivement d’autres composants. Cette décision est basée sur la diminution de la fiabilité et le risque de défaillance encouru avant le prochain temps programmé. t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12 1 2 3 n Composant 1 Composant 2 Composant 3 Composant n Figure 2 : Plan de la maintenance préventive

3. Optimisation du plan de maintenance Le modèle proposé est basé sur la politique de maintenance selon l’âge pour un système mono-composant [Barlow & Hunter 1960]. Le coût moyen par unité de temps est donné par : (2) Le numérateur représente le coût total du cycle, le dénominateur représente la longueur du cycle. T est l’âge du remplacement préventif Cp le coût du remplacement préventif Cd le coût de défaillance R(t) = 1- F(t) est la fonction de fiabilité (de survie).

3.1. Structure des coûts pour le système Le coût de maintenance est constitué de deux parties, la partie fixe relative au système et la partie variable relative à chaque composant. : Coût fixe induit par une opération de maintenance corrective : Coût fixe induit par une opération de maintenance préventive : Coût du correctif relatif au composant i : Coût du préventif relatif au composant i Le coût du remplacement préventif de np composants du système est: (3) Le coût du correctif du système suite à la défaillance du composant i, incluant le coût du remplacement préventif des nh composants durant l’opportunité est: (4)

3.2. Modèle de maintenance pour le système multi-composant Lors d’un remplacement correctif d’un composant i, l’opportunité est saisie pour anticiper le remplacement d’autres composants j. Le coût total par unité de temps est obtenue en introduisant les coûts obtenus des relations (3) et (4) dans la relation (2) : (5) i indique le composant qui tombe en panne en premier: Ti = min Tj (j = 1, 2,…)

3.2. Modèle de maintenance pour le système multi-composant La politique opportuniste introduite ici consiste à grouper des remplacements afin de ne pas pénaliser la disponibilité totale du système, ce regroupement est obtenu en réarrangeant les temps optimums de remplacement par : ti = ki .t où ki un nombre entier; t = min tj ; j = 1, 2, …, n (voir figure 2). Le coût total deviendra : (6) Où Fsys,i (.) représente la probabilité de défaillance du système due au composant i.

3.3. Optimisation (Résolution du modèle) L’optimisation consiste à déterminer les temps de remplacement ti qui minimiseraient le coût total par unité de temps. La résolution est obtenue numériquement par la simulation de Monte Carlo suivant un algorithme itératif (fig. 3). Lorsque le composant i tombe en panne à l’instant ti, l’opportunité de remplacer préventivement le composant j est basée sur l’analyse de sa balance du coût/profit suivant le critère de décision : Effectuer le remplacement opportuniste du composant j à l’instant ti Sinon  Laisser le jusqu’au prochain remplacement programmé

Générer les durées de vie des composants Non Oui Introduire les paramètres, les coûts et le plan de maintenance initial Générer les durées de vie des composants Défaillance avant le prochain remplacement programmé ? Arrêt de production : Remplacement du composant : Opportunité pour remplacer d’autres composants : Fin du cycle de vie atteinte ? Calcul du coût total du cycle et recherche du coût minimal Remplacement préventif des composants critiques : Nouvelles durées de vie /composants remplacés Modifier le plan de maintenance précédent

4. Application (données) L’approche proposée est appliquée sur le compresseur de recyclage d’hydrogène de l’unité de réformation catalytique de la raffinerie de Skikda. Les lois de fiabilité des composants critiques ont été déterminées par le modèle de Weibull à deux paramètres (tableau 1) Composant Code Taille échantillon Nombre défaillances Paramètre forme b d’échelle  MTBF (jours) Garniture d’étanchéité C286 24 14 1.73 286 483 Garniture Oring C285 23 15 1.88 507 475 Bague d’étanchéité HP C275 21 2.43 240 Palier de butée C230 8 2.53 898 787 Bague d’étanchéité C260 34 2.14 905 844

4. Application (données de départ = initialisation) Les temps optimums ainsi que les coûts associés pour le remplacement des composants séparément (tableau 2) sont obtenus par la relation (1) Composant Code Ccorrec. ( $) Cprev. ratio Topt (jours) Copt ($) Perte de production 35000.00 400.00 87.5 - Garniture d’étanchéité C286 11281.84 263.89 42.8 29.5 53.13 Garniture Oring C285 30390.16 143.83 211.3 41.3 27.71 Bague d’étanchéité HP C275 33244.00 339.95 97.8 37.9 33.13 Palier de butée C230 43542.64 427.71 101.8 109.1 12.37 Bague d’étanchéité C260 51856.00 955.35 54.3 103.6 23.36

4. Application (résultats de simulation)

4. Application (résultats de simulation) L’algorithme (figure 4), se basant sur la relation (6), a permis par la suite, le réarrangement des temps optimums afin de pouvoir remplacer conjointement les composants (tableau 3) Groupes à remplacer Ki (i = 1, …, 5) Espérance du cycle de vie (jours) Âges de remplacement optimums (jours) Coûts minimums ($) 1 – 1 – 1 – 3 – 3 73.8 28 / 28 / 28 / 84 / 84 128.09 1 – 1 – 1 – 4 – 4 97.5 27 / 27 / 27 / 108 / 108 123.75 1 – 2 – 1 – 4 – 4 85.8 24 / 48 / 24 / 96 / 96 136.54 1 – 2 – 2 – 4 – 4 71.1 20 / 40 / 40 / 80 / 80 155.28

5. Conclusion Le plan de maintenance préventive proposé est basé sur un « remplacement en groupe selon l’âge » des composants d’un système multi-composant en série avec une dépendance économique où le manque à gagner est élevé en cas d’arrêt. Le regroupement optimal des composants est basé sur l’analyse des temps optimums obtenus séparément pour chaque composant. Les temps sont réarrangés ensuite de manière à réduire l’indisponibilité du système ainsi que ces coûts de maintenance. L’algorithme d’optimisation montre une réduction effective du coût en appliquant la politique « Multi-groupe », pouvant atteindre 40 % par rapport à la politique mono-groupe.