Modèles décisionnels en gestion Introduction Les modèles linéaires La résolution des modèles linéaires continus La programmation linéaire en nombres entiers Les problèmes de réseaux L’optimisation multicritère Théorie de la décision

L’optimisation multicritère Introduction Exemple L’ensemble des valeurs des objectifs (EVO) La méthode hiérarchique La méthode de pondération La méthode d’optimisation par objectifs Autre exemple

Introduction Dans plusieurs situations en gestion, on doit prendre des décisions en considérant plusieurs critères différents par exemple maximiser les profits, la satisfaction des travailleurs et le nombre de demandes traitées L’utilisation de plusieurs critères pour évaluer, quantifier et comparer les solutions admissibles rend les problèmes plus difficiles à résoudre On obtient pas nécessairement une solution qui optimise tous les critères

Exemple 1: maximiser les revenus et les profits Une entreprise désire maximiser les ventes, z1, et les profits, z2, de ses deux produits, p1 et p2, tout en respectant des contraintes de disponibilité de ressources et de demande Le problème à résoudre est: Max z1 = 2x1 + 6x2 (ventes) Max z2 = x1 + x2 (profits) tel que x1 + x2  8 (1) -x1 + x2  3 (2) x1 - x2  4 (3) x1 + x2  1 (4) x1 + 2x2  12 (5) x1, x2  0 (6) x1, x2 entiers (7) où xj: nombre d’unités du produit j fabriquées, j =1, 2

Exemple 1: les solutions admissibles 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x1 (1) Solutions admissibles Max z1 = 2x1 + 6x2 Max z2 = x1 + x2 tel que x1 + x2  8 (1) -x1 + x2  3 (2) x1 - x2  4 (3) x1 + x2  1 (4) x1 + 2x2  12 (5) x1, x2  0 (6) (4) (3) (2) ADM-C A B C D E G 11 12 (5) F z2* z1* D E F

Coordonnées des points extrêmes Notons ADM le sous ensemble des solutions admissibles entières de ADM-C Puisque tous les points extrêmes de ADM-C ont des coordonnées entières, ils font donc partie de ADM et le point extrême D est la solution optimale unique qui maximise les revenus avec z1 = 34 pour x1 = 2 et x2 =5 les points extrêmes E et F maximisent les profits avec z2 = 8 Les solutions optimales diffèrent selon la fonction objectif considérée

L’ensemble des valeurs des objectifs (EVO) A chaque point P = (x1 ; x2) de l’ensemble ADM correspond un point zP = (z1 ; z2) de l’ensemble EVO défini par les équations: z1 = 2x1 + 6x2 z2 = x1 + x2 Au point D = (2 ; 5), correspond le point zD = (34 ; 7)

Propriétés de EVO Si un point P = (x1 ; x2) de l’ensemble ADM-C est situé sur le segment de droite reliant deux points extrêmes, par exemple C et D, alors le point zP = (z1 ; z2) est sur le segment de droite reliant les points zC et zD Si ADM-C est convexe alors EVO est aussi convexe On peut tracer EVO seulement lorsqu’il y a deux fonctions objectif à optimiser

L’ensemble des valeurs des objectifs (EVO) z2 3 6 9 12 15 30 z1 1 2 4 5 7 8 10 33 36 zA 18 21 24 27 zB zC zD zE zF zG EVO

Les solutions optimales selon z1 et z2 3 6 9 12 15 30 z1 1 2 4 5 7 8 10 33 36 zA 18 21 24 27 zB zC zD zE zF zG EVO Le point D maximise z1 Les points F et E maximisent z2

Les optimums de Pareto EVO z2 3 6 9 12 15 30 z1 1 2 4 5 7 8 10 33 36 zA 18 21 24 27 zB zC zD zE zF zG EVO Les points E et D ne sont pas dominés par aucun autre point z2 augmente lorsqu’on se déplace vers le haut et z1 augmente lorsqu’on se déplace vers la droite, le point F domine donc le point G Les points E et D correspondant respectivement à zE et zD sont appelés optimums de Pareto optimums de Pareto

La méthode hiérarchique Étape 0: ordonner les fonctions objectif selon un ordre décroissant (1 pour la plus importante), définir Opt0 comme l’ensemble des solutions admissibles et mettre h =1 Étape 1: déterminer les solutions de Opth-1 qui maximisent la fonction objectif h, noter ces solutions Opth et vh la valeur optimale de la fonction objectif h Étape 2: Répéter l’étape 1 avec h=2, 3, …

Exemple 1: la méthode hiérarchique, z1 prioritaire Étape 0: ordre de priorité: 1. revenus (z1) 2. profits (z2) l’ensemble des solutions admissibles Opt0 = ADM-C, h=1 Étape 1: D = [2 ; 5] est le seul point dans Opt0 qui optimise z1 et l’algorithme se termine La solution optimale est: x1 = 2 x2=5 z1 = 34 et z2 = 7

Exemple 1: la méthode hiérarchique, z2 prioritaire Étape 0: ordre de priorité: 1. profits (z2) 2. revenus (z1) l’ensemble des solutions admissibles Opt0 = ADM-C, h =1 Étape 1: le segment [E ; F] dans Opt0 optimise z2 , Opt1 = [E ; F] et v1 = 8 (on ajoute la contrainte x1 + x2 = 8) Étape 2: Répéter l’étape 1 avec h=2 Étape 1' : E = [2 ; 5] est le seul point dans Opt1 qui optimise z1 et la solution optimale est: x1 = 4 et x2 = 4 pour z2 = 8 et z1 = 32

Exemple 1: la méthode hiérarchique, z2 prioritaire (suite) La contrainte x1 + x2 = 8 a été ajoutée afin de limiter l’ensemble des solutions admissibles au segment [E ; F]

Difficulté reliée à l’utilisation de la méthode hiérarchique Ranger les fonctions objectif par ordre de priorité peut s’avérer difficile lorsqu’il y en a plus de deux Avec p fonctions objectif, il y a p! combinaisons possibles par exemple pour p = 4, on obtient 4! = 24 façons différentes d’ordonner les fonctions objectif

La méthode de pondération On peut utiliser une fonction objectif pondérée afin d’agréger les critères et d’obtenir une seule fonction objectif à optimiser Max z = w1 z1 + w2 z2 Il peut être difficile de déterminer les pondérations lorsque les critères sont de natures différentes Max z = (w1 profit) + (w2 NbClientsSatisfaits) + (w3 NbHeuresTravaillées)

Détermination des pondérations Il existe différentes approches pour déterminer les pondérations (tel que la méthode AHP, Analytic Hierarchy Process, développée par Saaty, la méthode ELECTRE de Bernard Roy, …) L’agrégation de critères de natures différentes demeure difficile On peut allouer une pondération de 1 au critère de référence Dans l’exemple 1, le critère revenus peut être considéré comme critère de référence Max z = z1 + w2 z2 (puisque w1 = 1)

Exemple 1: la méthode de pondération Max z = z1 + wz2 Max z = (2 + 1w) x1 + (6 + 1w) x2 (8) On obtient la solution optimale pour différentes valeurs de w à l’aide d’Excel

Exemple 1: les solutions optimales selon les valeurs de w Pour w < 2, le point D est le seul point optimal Lorsque w = 2 tous les points sur le segment [D ; E] sont optimaux Pour w > 2, le point E est le seul point optimal

La méthode d’optimisation par objectifs, goal programming Une des méthodes les plus utilisées pour résoudre les problèmes d’optimisation multicritère Pour chaque objectif, une cible est définie et une pénalité est donnée aux déviations par rapport à celle-ci Cette cible devient une contrainte du modèle et sert à déterminer les déviations, par exemple 2x1 + 6x2 + dR- - dR+ = 30 où dR- et dR+ sont des variables de déviation

Exemple 1: le modèle d’optimisation par objectifs Définissons wR-, wR+, wP-, wP+, wH-, wH+ des pénalités de déviation Le modèle par objectifs à résoudre est: Min d = (wR-dR-) + (wR+dR+) + (wP-dP-) + (wP+dP+) + (wH-dH-) + (wH+dH+) (9) tel que 2x1 + 6x2 + dR- - dR+ = 30 (10) x1 + x2 + dP- - dP+ = 6 (11) 2x1 + 3x2 + dH- - dH+ = 20 (12) x1, x2, dR-, dR+, dP-, dP+, dH-, dH+  0 (13) x1, x2 entiers (7)

Exemple 1: le modèle d’optimisation par objectifs – scénario 1 Posons wR- = wR+ = wP- = wP+ = wH- = wH+ Le modèle par objectifs à résoudre est: Min d = dR- + dR+ + dP- + dP+ + dH- + dH+ (14) tel que 2x1 + 6x2 + dR- - dR+ = 30 (10) x1 + x2 + dP- - dP+ = 6 (11) 2x1 + 3x2 + dH- - dH+ = 20 (12) x1, x2, dR-, dR+, dP-, dP+, dH-, dH+  0 (13) x1, x2 entiers (7)

Exemple 1: la solution optimale – scénario 1 La solution optimale obtenue à l’aide du Solveur d’Excel est:

Exemple 1: le modèle d’optimisation par objectifs – scénario 2 Annulons les pénalités wR+ = wP+ = 0 et posons wP- = 2,5 Le modèle par objectifs à résoudre devient: Min d = dR- + 2,5dP- + dH- + dH+ (15) tel que 2x1 + 6x2 + dR- - dR+ = 30 (10) x1 + x2 + dP- - dP+ = 6 (11) 2x1 + 3x2 + dH- - dH+ = 20 (12) x1, x2, dR-, dR+, dP-, dP+, dH-, dH+  0 (13) x1, x2 entiers (7)

Exemple 1: la solution optimale – scénario 2 La solution optimale obtenue à l’aide du Solveur d’Excel est:

Exemple 1: la solution La solution optimale peut varier selon la méthode utilisée, les pondérations ou les pénalités choisies Si une plus grande priorité est accordée à la maximisation des revenus, on favorisera la solution x1 = 2 et x2=5 pour z1 = 34 et z2 = 7 Si une plus grande priorité est accordée à la maximisation des profits, on favorisera la solution x1 = 4 et x2 = 4 pour z2 = 8 et z1 = 32

Exemple 2: la compagnie TransAmérica La compagnie TransAmérica doit déterminer comment allouer 5 chauffeurs qualifiés à 8 demandes de livraison afin de maximiser les profits de minimiser les insatisfactions des chauffeurs pour certaines routes et de maximiser les pénalités évitées pour les demandes de livraison non satisfaites

Exemple 2: les données

Exemple 2: le modèle multicritère Soit wij = 1 si le chauffeur Ci est affecté à la livraison Vj vj = 1 si la livraison Vj est effectuée Le problème à résoudre est: Min zIn = 81w11+50w12+…+60w35+…+73w58 (16) (insatisfactions) Max zPr = 760v1 + 1080v2 +… + 1175v8 (17) (profits) Max zPe = 96v1 + 144v2 +… + 156v8 (18) (pénalités évitées) tel que wi1 + wi2 + … + wi8 = 1 i=1,…,5 (19) w1j + w2j + … + w5j = vj j=1,…,8 (20) wij, vj  0 i=1,…,5 j=1,…,8 (21)

Exemple 2: le réseau V1 P1 V2 P2 V3 P3 V4 P4 V5 P5 V6 P6 V7 P7 V8 P8 (0 ; 1) (1 ; 1) 96 V2 P2 -1080 144 V3 P3 120 V4 P4 108 V5 P5 168 V6 P6 78 V7 P7 180 V8 P8 156 - 760 - 665 - 795 -1270 - 617 -1365 -1175 C1 C2 C3 C4 C5 81 50

Exemple 2: les solutions optimales Les pénalités minimales à payer sont somme des pénalités = 96 + 144 + … + 156 = 1050 pénalités minimales = 1050 - 768 = 282

Exemple 2: la méthode hiérarchique Il y a 3! = 6 combinaisons possibles Toutes solutions qui incluent les 5 livraisons les plus profitables maximisent zPr (profits) Les livraisons V2, V4, V5, V7 et V8 maximisent les profits Il y a 5! = 120 façons différentes d’affecter les 5 chauffeurs à ces 5 livraisons En choisissant les livraisons qui maximisent les profits, on fixe les pénalités à payer

Exemple 2: l’ordre de priorité des fonctions objectif Puisque profits et pénalités sont reliés, on considère deux cas seulement (et non 6) Ordre de priorité 1: 1. profits 2. insatisfactions 3. pénalités Ordre de priorité 2: 1. pénalités 2. insatisfactions 3. profits

Exemple 2: la méthode hiérarchique, zPr prioritaire Étape 0: ordre de priorité 1: 1. profits 2. insatisfactions 3. pénalités l’ensemble des solutions admissibles Opt0, h=1 Étape 1: Les solutions optimales, OptPr, donnent des profits de 5685 Étape 2: Répéter l’étape 1 avec h=2 Étape 1': Pour déterminer les solutions dans OptPr qui minimisent zIn on ajoute la contrainte 760v1+1080v2+…+1175v8=5685, on trouve une insatisfaction minimale de 245 Étape 2: Répéter l’étape 1 avec h=3 Étape 1'': Pour déterminer les solutions qui maximisent zPe, on ajoute la contrainte 96v1+144v2+… +156v8=245, (cette contrainte n’a pas d’impact sur la solution optimale trouvée précédemment) La solution optimale est: C1-V2, C2-V7, C3-V8, C4-V5, C5-V4 zPr=5685 zIn=245 zPe=756

Exemple 2: la méthode hiérarchique, zPe prioritaire Étape 0: ordre de priorité 2: 1. pénalités 2. insatisfactions 3. profits l’ensemble des solutions admissibles Opt0, h=1 Étape 1: Les solutions optimales, OptPe, donnent des pénalités de 768 Étape 2: Répéter l’étape 1 avec h=2 Étape 1': Pour déterminer les solutions dans OptPe qui minimisent zIn on ajoute la contrainte 96v1+144v2+…+156v8=768, on trouve une insatisfaction minimale de 263 Étape 2: Répéter l’étape 1 avec h=3 Étape 1'': Pour déterminer les solutions qui maximisent zPr, on ajoute la contrainte 96v1+144v2+… +156v8=263, (cette contrainte n’a pas d’impact sur la solution optimale trouvée précédemment) La solution optimale est: C1-V3, C2-V7, C3-V8, C4-V5, C5-V2 zPr=5555 zIn=263 zPe=768

Exemple 2: comparaison des solutions obtenues La deuxième solution a une insatisfaction supplémentaire de18 points, rapporte $130 de moins de profit mais permet d’éviter $12 de pénalités La première solution semble préférable

Exemple 2: la méthode d’optimisation par objectifs – scénario 1 Le modèle par objectifs à résoudre est: Min d = Dmax (22) tel que 81w11 + 50w12 + … + 73w58 + dIn- - dIn+ = 230 (23) 760v1 + 1080v2 +… + 1175v8 + dPr- - dPr+ = 5116 (24) 96v1 + 144v2 +… + 156v8 + dPe- - dPe+ = 740 (25) Dmax  dIn- (26) Dmax  dIn+ (27) Dmax  dPr- (28) Dmax  dPr+ (29) Dmax  dPe- (30) Dmax  dPe+ (31) Dmax, dIn-, dIn+, dPr-, dPr+, dPe-, dPe+  0 (32)

Exemple 2: la solution optimale – scénario 1 La solution optimale est obtenue à l’aide du Solveur d’Excel zIn = 230 + 36 - 2 = 264 zPr = 5116 + 0 - 36 = 5080 zPe = 740 + 0 - 32 = 708 (1050 - 708 = 342) On constate que la valeur de Dmax est insensible aux petites variations des déviations qui ne sont pas maximales On peut introduire des pénalités pour toutes variations non nulles

Exemple 2: la méthode d’optimisation par objectifs – scénario 2 Le modèle par objectifs à résoudre devient: Min d = MDmax + dIn- + dIn+ + dPr- + dPr+ + dPe- + dPe+ (33) tel que 81w11 + 50w12 + … + 73w58 + dIn- - dIn+ = 230 (23) 760v1 + 1080v2 +… + 1175v8 + dPr- - dPr+ = 5116 (24) 96v1 + 144v2 +… + 156v8 + dPe- - dPe+ = 740 (25) Dmax  dIn- (26) Dmax  dIn+ (27) Dmax  dPr- (28) Dmax  dPr+ (29) Dmax  dPe- (30) Dmax  dPe+ (31) Dmax, dIn-, dIn+, dPr-, dPr+, dPe-, dPe+  0 (32) Soit M = 1000

Exemple 2: la solution optimale – scénario 2 La solution optimale est obtenue à l’aide du Solveur d’Excel zIn = 230 + 28 - 0 = 258 zPr = 5116 + 0 - 36 = 5080 zPe = 740 + 0 - 32 = 708 (1050 - 708 = 342)