Gmc 6002 ÉLÉMENTS FINIS EN MÉCANIQUE NON LINÉAIRE

Matrice de rigidité locale en 3D (linéaire) Matrice [H]: GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Matrice de rigidité locale en 3D Matrice [B]: GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Pour un tétraèdre linéaire GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Mécanique linéaire Système discret final où [K] et {F} ne sont pas affectés pas la déformation de la pièce et donc par {UNd} GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Non linéarité matérielle Bilinéaire Élastique non linéaire Plastique GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Non linéarité géométrique On ne peut plus assimiler géométriquement la configuration déformée (coordonnées xi) à la configuration initiale (coordonnées ai) GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Non linéarité géométrique Deux configurations (peuvent agir ensemble) Grands déplacements: Ui << L n’est plus vrai Grandes déformations: Ui,j << 1 n’est plus vrai Plus de proportionnalité entre {ε} et {Un(i)} [K] est affectée par la déformation de la pièce et donc par {Und} GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Non linéarité géométrique Grands déplacements GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Non linéarité géométrique Charges vives: {F} affecté par la déformation de la pièce et donc par {Und} GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Autres non linéarités Conditions aux limites bilatérales Contact Conditionnement du système variable (déplacements imposés) Influence mutuelle entre plusieurs pièces GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Non linéarité géométrique: exemple Poutre en flexion E = 1.2x109 Pa, L = 10 m Section 1 m x 0.1 m Maillée 10 éléments de poutre Modèle linéaire (HPP) m GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Non linéarité géométrique: exemple1 Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Grands déplacements (COSMOS/M) Déformée modèle non-linéaire/linéaire m m m GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Non linéarité géométrique: exemple Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Évolution de la force 0 – 15 000 N Déplacements en x et y Non linéaire Linéaire N N m m GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Non linéarité géométrique: exemple Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Évolution de la force 0 – 15 000 N Déplacement en y linéaire/non linéaire N Non linéaire m Linéaire GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Non linéarité géométrique: exemple Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Modèle linéaire Effort normal et effort tranchant élément élément GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Non linéarité géométrique: exemple Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Modèle non linéaire Effort normal et effort tranchant élément élément GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Non linéarité géométrique: exemple Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Modèle non linéaire Forces et moments de réaction GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Non linéarité géométrique: exemple Poutre en flexion Éléments de plaque COSMOS/M Modèle linéaire (HPP) Déplacements semblables GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Non linéarité géométrique: exemple Poutre en flexion Éléments de plaque Modèle linéaire (HPP) Contraintes Von-Mises Face dessus Feuillet moyen Face dessous GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Non linéarité géométrique: exemple Poutre en flexion Éléments de plaque (COSMOS/M) Modèle non linéaire Déplacements semblables GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Non linéarité géométrique: exemple Poutre en flexion Éléments de plaque Modèle non linéaire Contraintes Von-Mises Face dessus Feuillet moyen Face dessous GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Non linéarité géométrique: exemple Poutre en flexion Maillée en 3D Modèle non-linéaire (Solidworks) Déplacements semblables GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Non linéarité géométrique: exemple Poutre en flexion Comparaison Modèle non-linéaire Contraintes Von Mises GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Non linéarité matérielle: exemple Plaque trouée en traction Modèle 2D (dimensions en pouces), contraintes planes Pression P (constante) GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Non linéarité matérielle: exemple Plaque trouée (COSMOS/M solveur itératif) Modèle linéaire Modèle non-linéaire (parfaitement plastique à 40 000 Psi) Échelle de couleurs différente P = 10 000 Psi P = 12 000 Psi P = 15 000 Psi P = 20 000 Psi GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Non linéarité matérielle: exemple Plaque trouée : contraintes résiduelles Échelle de couleurs différente P = 12 000 Psi P = 20 000 Psi GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Formalismes Eulerien Lagrangien GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Lagrangien: problématique Déformations trop importantes GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Lagrangien: solutions Remaillage Formalisme ALE GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Tenseur de Green-Lagrange Configurations initiale et déformée GMC 6001- Dynamique des structures

Grandes déformations : exemple Élément de barre L = 1 E = 0.21 1012, A = 0.1 10-3 q = 105 Déplacement Green-Lagrange (linéarisé et non) GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Grandes déformations : exemple Élément de barre L = 1 E = 0.21 1012, A = 0.1 10-3 q = 106 q=107 q = 108 Green-Lagrange linéarisé (rouge) et non linéarisé (vert) GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Décomposition polaire GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Tenseur de Green-Lagrange: exemple Déformation d’un carré GMC 6001- Dynamique des structures

Tenseur de Green-Lagrange: exemple Décomposition GMC 6001- Dynamique des structures

Tenseur de Green-Lagrange: exemple Décomposition GMC 6001- Dynamique des structures

Tenseur des contraintes Configurations initiale et déformée [σ] Tenseur de Cauchy GMC 6001- Dynamique des structures

Tenseur des contraintes Configurations initiale et déformée GMC 6001- Dynamique des structures

Tenseur des contraintes Formule de Nanson GMC 6001- Dynamique des structures

Tenseur des contraintes Tenseur Piola-Kirchhoff 1 (PK1) GMC 6001- Dynamique des structures

Tenseur des contraintes Tenseur Piola-Kirchhoff 2 (PK2) GMC 6001- Dynamique des structures

Formulations Lagrangienne totale Lagrangienne réactualisée 0.2601154286 0.2601154286 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Méthodes numériques Newton-Raphson Newton-Raphson modifiée GMC 6001- Dynamique des structures

Méthodes numériques: exemple Ressort non linéaire F=0.2, k=1-u, u0=0 Valeur théorique: u = 0.2763932023 Itération Substitution Newton-Raphson modifiée 1 0.2000000000 2 0.2500000000 0.2666666667 0.2400000000 3 0.2666666666 0.2761904761 0.2576000000 4 0.2727272728 0.2763931105 0.2663577600 5 0.2750000000 0.2763932022 0.2709464563 6 0.2758620690 0.2734119822 7 0.2761904762 0.2747541120 GMC 6001- Dynamique des structures

Méthodes numériques: exemple Méthode incrémentale (deux incréments de force) Valeur théorique: u = 0.2763932023 Itération Substitution Newton-Raphson modifiée Premier incrément F=0.1 1 0.1000000000 2 0.11111111110 0.1125000000 0.1100000000 3 0.1127016129 0.1121000000 Deuxième incrément F=0.2 0.2253521126 0.2418010927 0.2125664100 0.2581818182 0.2740759692 0.2451844787 0.2696078432 0.2763813187 0.2601154286 GMC 6001- Dynamique des structures