Comportement du solides déformable Suite Comportement du solides déformable Résistance des matériaux (RDM) AGIR Chaîne d’information Chaîne d’énergie ACQUERIR TRAITER COMMUNIQUER ALIMENTER DISTRIBUER CONVERTIR TRANSMETTRE

I But de la RDM Suite La résistance des matériaux est l'étude de la résistance et de la déformation des solides (arbres de transmission, bâtiments, fusées). Cela permet donc de : Déterminer les dimensions fonctionnelles de la pièce Choisir le matériau constituant la pièce Vérifier la résistance à la "casse" de la pièce : (Dépassement de la limite à la résistance élastique du matériau) Vérifier la résistance à la "déformation" de la pièce Vérifier la résistance à la "fatigue" de la pièce : (Rupture après un certain nombre de cycles de déformation) Optimiser le coût de la pièce par changement des formes, des dimensions, des matériaux, ...

I But de la RDM Contraintes subies par l’aile d’avion Suite Contraintes subies par l’aile d’avion Déformations subies par l’aile d’avion

I But de la RDM Suite Vérification de la résistance d’une aile d’avion

Répartition des contraintes dans la pièce sous charges I But de la RDM Suite Répartition des contraintes dans la pièce sous charges

II Les hypothèses de la RDM Suite 1  La géométrie des pièces : Pour tous les calculs RDM, on utilise le modèle « Poutre » (solides dont une dimension est très supérieure aux deux autres). Si la pièce à étudier ne peut pas être modélisée par une poutre, on utilise le calcul par éléments finis qui ne peut-être que logiciel.

II Les hypothèses de la RDM Suite 2  Les matériaux étudiées: Ils doivent être : Isotropes : on admet que les matériaux ont, en un même point, les mêmes propriétés mécaniques dans toutes les directions.. Elle n'est pas vérifiée pour les matériaux tels que le bois, les matériaux composites...etc. Homogènes : On admet que les matériaux ont les mêmes caractéristiques (composition) en tout point. Continus : pas de fissure, pas de creux ...

II Les hypothèses de la RDM Suite 3  Les charges appliquées: Les charges sont contenues dans le plan de symétrie Plan de symétrie Elles sont concentrées ou réparties

II Les hypothèses de la RDM Suite 4  Les déformations : - Au cours de la déformation, les sections droites restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne). - Les déformations restent faibles comparativement aux dimensions de la poutre

III Torseur de cohésion Suite 1 Principe de calcul:

III Torseur de cohésion Suite 𝑇 𝑐𝑜ℎ = 𝐺 𝑅 𝐺 𝑀 𝐺

III Torseur de cohésion Suite Deux conventions d’écriture sont possibles. Conventions 1 : le torseur de cohésion modélise les actions mécaniques de la partie (2) sur la partie (1) ; Conventions 2 : le torseur de cohésion modélise les actions mécaniques de la partie (1) sur la partie (2).

III Torseur de cohésion Suite Pour la suite, nous adopterons la CONVENTION 1 tout à fait arbitrairement. 𝑇 𝑐𝑜ℎ = 𝐺 𝑅 = 𝑅 2/1 𝑀 𝐺 = 𝑀 𝐺,2/1  

III Torseur de cohésion Suite Equilibre du tronçon (1).   𝑇 𝑐𝑜ℎ + 𝑇 𝐹1→1 + 𝑇 𝐹3→1 = 0 𝑇 𝑐𝑜ℎ =− 𝑇 𝑒𝑥𝑡/1  

III Torseur de cohésion Suite Equilibre du tronçon (1). Définition 1 : Le torseur de cohésion au centre de surface G d’une surface droite de poutre se défini en effectuant la somme des torseurs, au même point G, des actions mécaniques agissant à gauche de la section droite, somme précédée du signe -.  

III Torseur de cohésion Suite Equilibre du tronçon (2). Rappel : principe des actions réciproques : 𝑇 2/1 = − 𝑇 1/2 𝑇 1/2 + 𝑇 𝐹2→2 + 𝑇 𝐹4→2 = 0 − 𝑇 2/1 + 𝑇 𝑒𝑥𝑡/2 = 0 − 𝑇 𝑐𝑜ℎ =− 𝑇 𝑒𝑥𝑡/2 𝑇 𝑐𝑜ℎ = 𝑇 𝑒𝑥𝑡/2

III Torseur de cohésion Suite Equilibre du tronçon (2). Définition 2 : Le torseur de cohésion au centre de surface G d’une surface droite de poutre se défini en effectuant la somme des torseurs, au même point G, des actions mécaniques agissant à droite de la section droite, somme précédée du signe +.

III Torseur de cohésion Suite 2 Exemple de calcul: Soit une poutre reposant sur 2 appuis et soumise à une force 𝐹 de longueur l = 4,2 m Détermination du torseur de cohésion : On décompose la poutre en deux zones : [AC] et [CB]. Zone [AC] : a = 1,2m Nous allons déterminer le torseur de cohésion au centre de surface G1 d’une section de poutre située entre A et C, repérée par l’abscisse x. Le torseur de cohésion au point G1 se détermine en effectuant la somme des A.M. agissant à gauche de la coupure, somme précédée du signe « - »

III Torseur de cohésion Suite 2 Exemple de calcul: Zone [AC] : a = 1,2m

III Torseur de cohésion Suite 2 Exemple de calcul: Zone [CB] : b = 3 m Pour la détermination de ce torseur de cohésion, il est préférable d’utiliser la définition 2

III Torseur de cohésion Suite 3 Composantes du torseur de cohésion 𝑇 𝑐𝑜ℎ = 𝐺 𝑅 𝐺 𝑀 𝐺 (𝑥,𝑦,𝑧) = 𝐺 𝑁 𝑀𝑡 𝑇𝑦 𝑀𝑓𝑦 𝑇𝑧 𝑀𝑓𝑧 (𝑥,𝑦,𝑧) N : effort normal Mt : moment (ou couple) de torsion Ty : Effort tranchant suivant y Mfy : moment fléchissant ou moment de flexion suivant y Tz : Effort tranchant suivant z Mfz : moment fléchissant ou moment de flexion suivant z

III Les différentes sollicitations simples Suite Une poutre peut être soumise à plusieurs sollicitations qui dépendent de la nature et de la direction des actions mécaniques.

III Les différentes sollicitations simples Suite Traction x y N N N>0 Exemples: Tirant Biellette Courroie N

III Les différentes sollicitations simples Suite Compression x y N N<0 Exemples: Tirant Biellette Ressort N

III Les différentes sollicitations simples Suite Cisaillement x y T T T/2 Exemples: Axe Clavette Goupille Rivet

III Les différentes sollicitations simples Suite Torsion x y Mt Mt Exemples: Arbre de transmission Tuyauterie

III Les différentes sollicitations simples Suite Flexion x y T Exemples: Arbre Axe Plongeoir Aile d’avion T d

IV Traction 1 Essai de Traction: Suite 1  Essai de Traction: L’essai de traction est une expérimentation qui a pour objet la détermination des caractéristiques de résistance du matériau testé.

IV Traction Suite On applique progressivement et lentement à une éprouvette, de formes et de dimensions normalisées, un effort de traction croissant dont l’intensité varie de 0 à F jusqu’à la rupture.. Le tableau ci-contre montre l’évolution de la déformation de l’éprouvette en fonction de la charge appliquée

IV Traction 2 Résultats de l’essai Suite 2  Résultats de l’essai Allongement en mm F(N) r F Fr : Charge limite à la rupture F Fe Charge limite élastique e Zone de déformation plastique Point de rupture Zone de déformation élastique Graphe de l’allongement en fonction de la charge appliquée

IV Traction Résistance élastique Re avec Re en MPa, Fe en N, Suite Résistance élastique Re avec Re en MPa, Fe en N, So section de la pièce en mm2 Résistance à la rupture Rr avec Rr en MPa, Fr en N, So section de la pièce en mm2.

IV Traction Coefficient d’allongement A% Suite Coefficient d’allongement A%   avec Lu longueur ultime après rupture, Lo longueur initiale. Allongement relatif    avec L allongement total de la poutre; Lo longueur d’origine; L allongement relatif suivant l’axe

IV Traction Coefficient de Poisson Suite Coefficient de Poisson Pour les matériaux élastiques, la diminution des sections droites est proportionnelle à l’allongement relatif, ce coefficient est noté et appelé coefficient de Poisson. en notant on obtient Ce coefficient caractérise la déformation transversale.

V Contrainte 1 Définition du vecteur contrainte : Suite 1  Définition du vecteur contrainte : Une coupure est effectuée au niveau de la surface S (le plan de coupe peut ne pas être perpendiculaire à la ligne moyenne). Considérons un point M de cette surface et dS un élément de section droite aussi petit que possible entourant le point M. Soit l’effort élémentaire transmis par dS exercé par la matière de la partie droite sur la partie gauche de la poutre. On appelle vecteur contrainte au point M pour la coupure de normale le vecteur : Unités : en MPa ou N/mm2. La contrainte est homogène à une pression.

V Contrainte 2 Contrainte normale et contrainte tangentielle : Suite 2 Contrainte normale et contrainte tangentielle : Soit le repère local affecté à la coupure suivant la section droite S de normale . Projetons le vecteur contrainte Cm dans le repère (G x y z) :    : Contrainte normale (projection du vecteur contrainte sur la normale à la coupure). : Contrainte tangentielle (projection du vecteur contrainte dans le plan YZ).

V Contrainte 3 Contrainte en traction: Suite 3 Contrainte en traction: Lorsqu’une poutre est sollicitée en traction la contrainte tangentielle est nulle et la contrainte normale vaux : avec en N/mm²(MPa), F en N, S en mm². L’expérience montre qu’il y a proportionnalité dans la zone élastique entre la contrainte  et l’allongement relatif . Loi de Hooke : avec E module de Young en N/mm². (aciers E = 210000Mpa)

V Contrainte 4 Condition de résistance Suite 4 Condition de résistance Pendant toute la durée de son service, une pièce doit conserver un comportement élastique. Cette condition s'exprime par l'inégalité suivante : Les problèmes d'incertitude sur la valeur de Re, de la contrainte, de la modélisation de l'étude…, nous amènent donc à exprimer la condition de résistance par : avec Re: résistance limite élastique en MPa s: coefficient de sécurité (s>1) Rpe: résistance pratique de limite élastique en Mpa

V Contrainte 5 Coefficient de concentration de contraintes : Kt Suite 5 Coefficient de concentration de contraintes : Kt La plupart des pièces industrielles ne sont pas cylindriques, elles possèdent des singularités de formes (perçages, gorges, rainures, filetages…). On définit un coefficient de concentration de contrainte appelé Kt tel que : La contrainte maximale a pour valeur : Avec : = contrainte atteinte au voisinage de la singularité = contrainte moyenne nominale calculée

V Contrainte Suite 5 Coefficient de concentration de contraintes : Kt

V Contrainte 5 Coefficient de concentration de contraintes : Kt Suite 5 Coefficient de concentration de contraintes : Kt Les valeurs de Kt sont expérimentales. Exemple 1 : Pour un filetage triangulaire ISO : Kt = 2.5 Exemple 2 : Arbre de section circulaire épaulé.

V Cisaillement 1 Relation sollicitation - Contrainte Suite 1 Relation sollicitation - Contrainte T : effort tranchant en N S : surface de la section en m2 La contrainte tangentielle engendrée est identique dans toute la section  2 Loi de comportement élastique G : module de Coulomb en Pa  : glissement transversal relatif (sans unité)

V Torsion 1 Relation sollicitation - Contrainte Suite 1 Relation sollicitation - Contrainte Mt : moment de torsion en Nm IG : moment quadratique polaire de la section en m4  : distance au centre de la section en m 2 Moment quadratique polaire Le moment quadratique polaire de la surface (S) par rapport au point O est : Io = 2 . DS

V Torsion Quelques expressions usuelles Suite Quelques expressions usuelles 3 Loi de comportement élastique G : module de Coulomb en Pa angle de torsion unitaire en rad/m IG : moment quadratique polaire de la section en m4

V Flexion 1 Relation sollicitation - Contrainte Suite 1 Relation sollicitation - Contrainte Mfz : moment de flexion en Nm IGz : moment quadratique de la section par rapport à l’axe (Gz) en m4 y : distance par rapport à l’axe (Gz) en m La contrainte normale engendrée est nulle le long de l’axe (Gz) (fibre neutre) et est de plus en plus élevée lorsqu’on s’en éloigne. 2 Moment quadratique par rapport à un axe

V Flexion Quelques expressions usuelles Fin Quelques expressions usuelles 3 Loi de comportement élastique Mfz : moment de flexion en Nm E : module de Young en Pa IGz : moment quadratique par rapport à l’axe z de la section en m4 f : flèche (écart verticale par rapport à la position sans sollicitation) en m f’’ : dérivée seconde de la flèche par rapport à l’abscisse x