Émergence du calcul des probabilités (I) De l’espérance pascalienne à la théorie laplacienne

1 - La préhistoire Paris et enjeux dans les Jeux de hasard, Le problème du Grand Duc de Toscane : De Vetula et Galilée

La Pirouète Tapisserie, début du 16ème siècle, musée du Moyen Âge Thermes et hôtel de Cluny, Paris 5è

Joueurs de cartes au 17ème siècle

Fresque du 14ème siècle : Dames jouant avec 3 dés Château de Arco di Trento (Italie, pointe nord du lac de Garde)

Les joueurs de dés de Georges de la Tour (1593-1652) Paris sur la somme des faces de trois dés Les jeux de hasard ont eu un rôle important dans la naissance du concept de probabilité.

De Vetula : Un poème médiéval (1260) qui propose l’analyse des jets de 3 dés, comprenant les dénombrements des configurations observables et des résultats possibles pour calculer la valeur à attribuer à chaque issue par les joueurs.

De Vetula : Poème médiéval attribué à Richard de Fournival, recteur de la cathédrale d’Amiens, vers 1260. L’auteur propose l’analyse des jets de 3 dés, comprenant les dénombrements des configurations observables et des résultats possibles pour calculer la valeur à attribuer à chaque issue par les joueurs afin d’organiser des paris équitables. On lance trois dés et on fait le total des points obtenus. On parie sur une des 16 sommes qui peuvent ainsi se présenter. (La traduction qui suit est établie à partir du texte latin transcrit d’une édition de 1534).

Peut-être cependant diras-tu que certaines [sommes] sont plus avantageuses que d'autres Parmi les sommes possibles pour les joueurs, pour la raison que Puisqu’un dé a six faces, avec six numéros Avec trois dés il y en a dix-huit, Dont trois seulement peuvent se présenter sur les dés [une fois jetés]. Ces nombres se présentent diversement, et de là Apparaissent deux fois huit sommes [3 à 10 et 11 à 18], qui cependant ne sont pas également Avantageuses, puisque la plus grande [18] et la plus petite [3] D'entre elles viennent rarement, et les intermédiaires [10 et 11] fréquemment. ……

On le voit en permutant les configurations des points. Et c'est ainsi Qu’en cinquante-six possibilités se répartissent Les configurations des faces ; et ces configurations, en deux cent Seize manières de tomber, lesquelles donnent Les [16] sommes possibles pour les joueurs, Ainsi qu'elles doivent être réparties entre eux, Tu connaîtras pleinement quelle valeur peut avoir L'une quelconque d'entre elles, ou quelle perte. C'est ce que le tableau ci-dessous peut t’indiquer :

Combien de configurations des points [sur les dés] et combien de manières de tomber correspondent à l'une quelconque des sommes [obtenues]: Sommes configurations des manières de tomber points sur les dés 3 & 18 1 1 4 & 17 1 3 5 & 16 2 6 6 & 15 3 10 7 & 14 4 15 8 & 13 5 21 9 & 12 6 25 10 & 11 6 27 Total des possibilités pour l’ensemble des configurations de points : 2 fois 108

Quelques points de repère

Quelques points de repère, suite

Le Maître mathématicien italien Luca Paccioli et son élève De Jacob Walch, dit Iacopo de Barbari, Venise, 1495

Luca Pacioli (1445-1514), en 1492 : Summa de arithmetica geometria proportioni et proportionalita « Une brigade joue à la paume. Il faut 60 pour gagner et chaque coup vaut 10. L’enjeu est de 10 ducats. Un incident survient qui force les soldats à interrompre la partie commencée, alors que le premier camp a gagné 50 et le second 20. On demande quelle part de l’enjeu revient à chaque camp ». Réponse du maître : 50/7 aux uns et 20/7 aux autres !

Galileo Galilei Galilée 1564-1642 Portrait conservé à l’Académie des Lincei

LE PROBLÈME DU GRAND DUC DE TOSCANE : Comment parier sur la somme des points obtenus avec 3 dés ? QUESTION : « Bien que le 9 et le 12 se composent en autant de façon que le 10 et le 11, si bien qu'ils devraient être considérés comme ayant la même chance, on voit néanmoins que la longue observation a fait que les joueurs estiment plus avantageux le 10 et le 11 plutôt que le 9 et le 12 ». Expliquez ce paradoxe.

La réponse de Galilée au Grand Duc de Toscane Extrait de Le Opere de Galileo Galilei , Firenze, 1855.vol.XIV, p. 293-316 (texte original, Mss. Palatini, Par.V11 Tome 3) « Que dans ce jeu de dés certains points soient plus avantageux que d'autres, on en a une explication très évidente, qui consiste dans le fait que ceux-là peuvent sortir plus facilement et plus souvent que ceux-ci, ce qui dépend de leur capacité à se former avec plusieurs sortes de chiffres »… … « Et que le 9 et le 10 se forment (et ce que l'on dit de ceux-ci s'entend pour leurs symétriques le 12 et le 11) se forment, dis-je, avec la même diversité de chiffres, est évident ; en effet le 9 se compose en 1-2-6, 1-3-5, l-4-4, 2-2-5, 2-3-4, 3-3-3, qui sont six triplets, et le 10 en 1-3-6, 1-4-5, 2-2-6, 2-3-5, 2-4-4, 3-3-4, et non d'autres façons ce qui fait aussi six combinaisons »... … « [Deux dés présentent 36 sorties]. Puisque chacune des faces [du troisième dé], qui sont aussi au nombre de six, peut s'accoupler avec chacune des 36 sorties des deux autres dés, nous aurons que les sorties des trois dés sont au nombre de six fois 36, soit 216, toutes différentes »...

Réponse de Galilée, suite « Mais puisque les sommes des tirages des trois dés ne sont qu'au nombre de 16, c'est à dire 3, 4, 5 jusqu'à 18, entre lesquelles on a à répartir les dites 216 sorties, il est nécessaire que pour quelques-unes de ces sommes on ait beaucoup de sorties et, si nous trouvons combien on en a pour chacune, nous aurons ouvert la voie pour découvrir tout ce que nous cherchons, et il suffira de faire une telle recherche du 1 au 10, puisque ce qui conviendra à l'un de ces nombres conviendra encore à son symétrique ». « … Alors on voit que la somme 10 peut se faire par 27 sorties de dés différentes, mais la somme 9 par 25 seulement ». « … Toute personne qui s'entend au jeu pourra mesurer très exactement tous les avantages, pour minimes qu'ils soient, des parties de dés, des tournois et de toute autre règle particulière que l'on observe dans le jeu ».