Le plan des cours d’analyse ‘Etude des phénomènes variables’ CM1-CM2 Décrire les variations étude de fonction - fonctions usuelles CM3 Prendre du recul calculer une Primitive et intégrer une fonction CM4-CM5 Les processus qui provoquent des variations poser et intégrer une équation différentielle MathSV : chapitre 5 Pour integrer une ED, savoir calculer des primitives

Primitives-Intégration Introduction et exemple en pharmaco-cinétique Définitions et propositions Méthodes de calcul

Introduction f(x) f’(x) Intégrer Dériver Définition : F(x) est une primitive de f(x) si F’(x)=f(x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive. Notation : L’ensemble des primitives de f est noté

Exemple en dynamique de population L’étude de l’évolution au court du temps d’une population d’organismes N(t) Dériver Intégrer Dériver Intégrer Vitesse ou accroissement Accélération ou vitesse de l’accroissement

Un exemple en pharmaco-cinétique Modéliser la vitesse d’arrivée et d’élimination dans le sang d’un médicament, en fonction du temps. Question : temps (tmax) pour atteindre la concentration maximale (Cmax) ? Un ensemble de modèles permettant de calculer les paramètres qui décrivent… dans un organisme vivant. La pharmaco-dynamique : décrire, quantifier et expliquer l’ensemble des effets induits par un médicament

Concentration du médicament dans le sang (mg/l) en fonction du temps : f(t) Il faut que Cmax depasse le seuil d’efficacite du medicament, ex un anti-biotique. tmax : le point où la dérivée s’annule (s’il existe)

Injection par voie intraveineuse : modèle exponentiel tmax = 0 MathSV : chapitre 5 (section 7.2)

Questions : ASC = Quantité de médicament dans la circulation générale du sang (heure.mg/l) Q1: ASC dans les 10 heures qui suivent l’injection par voie intraveineuse ? Q2 : quantité moyenne de médicament dans le sang pendant les 10 premières heures ?

Aire sous la courbe ASC : Quantité de médicament dans la circulation générale du sang (heure.mg/l) sur 10 heures C’est l’intégrale de la fonction f (la concentration), sur l’intervalle de temps [0; 10] Ou l’aire sous la courbe…

Q1 : ASC sur les 10 premières heures

Q2 : moyenne sur les 10 premières heures

Définitions et propositions

Définition et notation «La somme de a à b de  est égale à la différence entre les primitives de f au point b et au point a. »

Intégrale : aire sous la courbe L’objectif est de calculer l’aire de surfaces définies par des courbes On se contentera ici des surfaces comprises entre l’axes des x et la courbe représentative d’une fonction continue.

Intégrale : aire sous la courbe L’idée est très simple: on approche la surface hachurée par la réunion de rectangles, comme on sait calculer l’aire d’un rectangle on obtient une approximation de l’aire cherchée.

Intégrale : aire sous la courbe Plus la base des rectangle est étroite meilleure est l’approximation

Intégrale : aire sous la courbe Soit h la largeur de chacun des rectangles et n leur nombre. a et b sont les limites de la surface: b-a = nh a b f(b)

Intégrale : aire sous la courbe Soit h la largeur de chacun des rectangles et n leur nombre. a et b sont les limites de la surface: b-a = nh Soit A(x) l’aire de la surface entre a et x : A(b) - A(b-h) est voisine de h f(b). a f(b) h a b

Intégrale : aire sous la courbe Soit A(x) l’aire de la surface entre a et x: A(b) - A(b-h) est voisine de h f(b). Lorsque h tend vers 0 on a : A(b) - A(b-h) h f(b) Miracle mathématique: A’(b) = f(b) a b f(b)

Propriétés L’aire sous la courbe est nulle Le signe de l’intégrale

Signe de l’intégrale f(x) x a b Intégrale de f = D1-D2

Propriétés Relation de CHASLES (additivité):

L’ASC est additive aire verte + aire jaune

Valeur moyenne x f(x) a b

Aire d’un domaine Calcul au tableau

Méthodes de calcul

Formulaire des dérivées Formulaire des primitives MathSV : cours / formulaires

Dérivées et primitives célèbres

Dérivées et primitives à reconnaître

L’exemple en pharmaco-cinétique

Q1 : ASC sur les 10 premières heures

L’exemple en pharmaco-cinétique sont les primitives de f

L’exemple en pharmaco-cinétique Q1 : quelle est l’ASC sur [0 ; 10] ?

Q2 : moyenne sur les 10 premières heures

L’exemple en pharmaco-cinétique Q2 : Quelle est la quantité moyenne de médicament présente dans le sang pendant les 10 premières heures ?

Méthodes de calcul 1. Intégration par linéarisation 2. Intégration par changement de variable 3. Intégration par partie Cf. synthèse , chapitre 5, section 4

Intégration d’une somme Changement de variable Intégration par parties

Méthodes de calcul Intégration par linéarisation Intégration par changement de variable Intégration par partie Intégration des fractions rationnelles

Intégration des fractions rationnelles Se ramener à ou

Intégration des fractions rationnelles : La croissance pondérale d’un organisme MathSV : chapitre 6, section 7.2.1 Décomposition en éléments simples...