Démonstration Théorème de Thalès
Soit deux triangles ABC et ADE en configuration de Thalès :
AC × h1 AB × h2 AireABC = AireABC = 2 2 (1) Soit h1 la hauteur issue de B du triangle ABC Soit h2 la hauteur issue de C du triangle ABC AC × h1 AB × h2 AireABC = AireABC = 2 2 Comme il s'agit du même triangle, on peut conclure que : (1)
BC × h BD × h2 AireBDC = AireBDC = 2 2 On remarque que la hauteur On procède de la même façon dans le triangle BDC : On remarque que la hauteur issue de C du triangle BDC est h2, précédemment utilisée. Soit h la hauteur issue de D du triangle BDC BC × h BD × h2 AireBDC = AireBDC = 2 2
BC × h CE × h1 AireBCE = AireBCE = 2 2 Comme, par hypothèse, …puis dans le triangle BCE : Comme, par hypothèse, les droites sont parallèles, la distance qui les sépare ne change pas. Et donc h est également la hauteur issue de E du triangle BCE La hauteur issue de B du triangle BCE est la même que celle du triangle ABC, soit h1. BC × h CE × h1 AireBCE = AireBCE = 2 2
Récapitulons... BC × h BC × h AireBDC = AireBCE = 2 2 CE × h1 BD × h2 On remarque que l'aire du triangle BDC est la même que celle du triangle BCE , on peut donc conclure : AireBDC = AireBCE BD × h2 CE × h1 = 2 2 BD × h2 = CE × h1 (2)
Conclusion, d’après (1) et (2) : D’où Donc Et enfin
Démonstration de la deuxième égalité : Plaçons sur le dessin le point N sur (DE) tel que BCND soit un parallélogramme • (EA) et (DE) sont sécantes en E. • C (EA) et N (DE). • CNDB est un plg donc (CN)//(BD). Or A, B et D sont alignés donc (CN)//(AD). Donc d’après ce que l’on vient de montrer, on peut dire :
Or BCND est un plg donc DN = BC Et donc pour conclure :