Calcul intégral Comparaison d’aires ? Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ?

Introduction Le calcul d’aires et de volumes, qui est une application importante du calcul intégral, a eu très tôt un intérêt pratique dans les sociétés agraires. Le calcul de la superficie d’un terrain pour partager un héritage ou le calcul du volume d’un contenant de denrées en vrac comme le blé ou le vin revêtent un intérêt commercial indiscutable. Les savants grecs se sont intéressés aux aires et aux volumes d’un point de vue plus désintéressé. Ils voulaient connaître les propriétés des figures géométriques pour le plaisir de connaître. Dans cette présentation, nous verrons les tentatives pour déterminer l’aire délimité par une courbe avant l’avènement de la géométrie analytique.

Calcul d’aires Les géomètres grecs ont posé les premiers problèmes de calcul d’aires, ou plus précisément de comparaison d’aires, de figures délimités par des courbes. Ne disposant pas d’un système de numération aussi sophistiqué que le nôtre, ils cherchaient plutôt à déterminer le rapport des aires de figures. Il est simple de comparer les aires de figures semblables. Les aires de deux figures semblables sont dans le rapport des carrés des lignes homologues. Mais, peut-on comparer l’aire d’un cercle et l’aire d’un carré?

Ménon de Platon Dans le Ménon de Platon, on trouve un premier problème relié au calcul d’aires. Ce problème est le suivant : Construire un carré dont l’aire est le double de celle d’un carré donné. Dans son dialogue, Platon met en scène Socrate et un esclave et, pour faciliter la réflexion, il considère un carré de deux unités de côté. Socrate encourage l’esclave à proposer des solutions et à les critiquer. La première solution envisagée est celle de reproduire le carré sur ses côtés. Par ses questions, Socrate amène l’esclave à rejeter cette solution.

Ménon de Platon L’esclave propose alors de construire un carré dont le côté est une fois et demie celle du carré donné. Les questions de Socrate amènent le rejet de cette solution et une troisième est proposée qui se révèle être la bonne. Le but de Platon dans ce dialogue est de nous convaincre de sa théorie de la Réminiscence. Pour lui, l’Âme a contemplé le monde des Idées entre deux réincarnations et c’est ce souvenir du monde des Idées que l’esclave retrouve en découvrant la solution. Cependant, l’exemple choisi par Platon illustre l’intérêt que l’on portait à la construction de figures dont on peut comparer les aires par des rapports.

Hippocrate et les lunules Le premier à déterminer l’aire d’une surface délimité par des courbes est Hippocrate de Chio (vers 450 av. J.-C.). Il cherchait en fait à réaliser la quadrature du cercle, c’est-à-dire à construire un carré dont l’aire soit la même que celle d’un cercle donné. Hippocrate a déterminé que la somme des aires des lunules construites sur les côtés d’un triangle rectangle est égale à l’aire du triangle. Cependant, il ne savait toujours pas comment trouver l’aire du cercle.

Antiphon le sophiste Le premier à envisager une approche intéressante pour trouver l’aire d’un cercle est Antiphon (vers 430 av. J.-C.), contemporain de Socrate. Le postulat qu’il a énoncé est le suivant : Postulat d’Antiphon En doublant le nombre de côtés d’un polygone régulier inscrit dans un cercle et en répétant successivement l’opération, on peut rendre nulle la différence entre l’aire du cercle et l’aire du polygone. Ce postulat a suscité des critiques de même nature que celles que Zénon avait formulées dans le paradoxe d’Achille.

Eudoxe et la méthode d’exhaustion Le postulat d’Antiphon reconnaît implicitement l’existence d’une limite. Cette notion n’était pas suffisamment bien définie pour qu’il soit possible de l’utiliser. Eudoxe de Cnide (~406 à ~355) va modifier le postulat de la façon suivante : Postulat d’Eudoxe Si on soustrait d’une grandeur donnée une partie supérieure ou égale à sa moitié, et que du reste, on soustrait une partie supérieure ou égale à sa moitié et ainsi de suite, à la longue, la grandeur restante peut être rendue plus petite que n’importe quelle grandeur prédéfinie de même nature.

Rapport des aires de deux cercles Eudoxe modifie donc le postulat en évitant de dire que la somme infinie donne un nombre fini ou que la différence peut être rendue nulle. Il indique plutôt qu’elle peut être rendue aussi petite que l’on veut en doublant le nombre de côtés du polygone. En utilisant ce postulat, Eudoxe démontre, par une double réduction à l’absurde, que le rapport des aires de deux cercles est égal au rapport des carrés de leurs diamètres. Cela donne que le rapport de l’aire d’un cercle au carré de son diamètre est constant.

Archimède et la méthode d’exhaustion Le flambeau est repris par Archimède (287-212 av. J.-C.). À partir de son étude des conditions d’équilibre des leviers, il développe une méthode pour comparer les aires de figures planes et les volumes de solides en considérant qu’ils sont constitués de bandes ou de tranches parallèles et en déterminant à quelle distance du pivot d’un levier ces bandes ou ces tranches seront en équilibre.

Archimède et l’aire du cercle Archimède utilise la méthode d’exhaustion pour montrer que l’aire d’un cercle est égale à l’aire du triangle dont la longueur de la base est égale à la circonférence du cercle et dont la hauteur est le rayon du cercle. En combinant ce résultat avec celui d’Eudoxe, Archimède obtient : Il développe alors une procédure pour déterminer une valeur approchée de ce rapport.

Archimède et le segment de parabole Archimède utilise la méthode du levier pour comparer l’aire d’un segment de parabole à celle du triangle inscrit. Il obtient alors : L’aire du segment parabolique est égale à 4/3 de l’aire du triangle inscrit. Il utilise ensuite la méthode d’exhaustion pour démontrer la validité de cette conjecture.

Aire de la spirale Archimède, dans son étude de la spirale, compare : • l’aire du cercle; • et l’aire comprise entre la spirale et le segment de droite après une révolution; Il obtient alors : L’aire comprise entre la spirale et la demi-droite replacée dans la position d’où elle est partie vaut le tiers de l’aire du cercle décrit de l’extrémité fixe com- me centre et dont le rayon est le segment que le point a parcouru pendant une révolution de la demi-droite.

Volume de la sphère Archimède utilise aussi la méthode du levier pour comparer le volume d’une sphère à ceux du cylindre et du cône de même rayon r et de hauteur h = 2r. Il obtient alors : Lorsqu’un cylindre est circonscrit à une sphère avec un diamètre égal à celui de la sphère, le volume et la surface du cylindre sont une fois et demie le volume et la surface de la sphère. Il utilise à nouveau la méthode d’exhaustion pour démontrer la validité de cette conjecture.

Nicole Oresme Au quatorzième siècle, Nicole Oresme (1323-1382) s’inté- resse au mouvement unifor- mément accéléré qu’il appelle mouvement uniformément dif- forme. Il considère le mou- vement comme une qualité des objets au sens aristotélicien du terme et veut en faire une étude quantitative.

Règle de Merton Toute qualité mesurable peut être imaginée Nicole Oresme adopte la règle de Merton, postulat des philosophes scolastiques d’Oxford. Ceux-ci avaient déjà entrepris l’étude de la quantification des qualités ou étude des formes variables au quatorzième siècle. La règle de Merton s’énonce comme suit : Toute qualité mesurable peut être imaginée comme une quantité continue.

Aire et mouvement Dans les travaux d’Oresme, le mouvement uniformément difforme est représenté par un triangle lorsque la vitesse initiale est nulle. Grâce à cette repré- sentation graphique et à la règle de Merton, Oresme acquit la conviction que la distance parcourue était représentée par l’aire sous la courbe puisque c’est la somme de tous les ac- croissements de distance correspondant aux vitesses instantanées.

Aire et mouvement Les travaux d’Oresme vont éventuellement poser des questions importantes. Si la vitesse initiale n’est pas nulle et que le mouvement est difformément difforme (accélé- ration variable) : Peut-on déterminer la distance parcourue? Peut-on déterminer la vitesse moyenne? Pour répondre adéquatement à ces questions, il faudra développer des moyens pour calculer l’aire délimitée par une courbe.

Galilée et l’étude du mouvement Aux XVIe et XVIIe siècles, certains travaux scientifiques vont contribuer à stimuler les recherches sur le calcul d’aires. C’est le cas notamment de l’étude du mouvement de Galilée et des lois de Kepler. Dans son étude du mouvement, Galilée (1564-1642) montre que les trajectoires des projectiles sont des paraboles et que la chute des corps ne se fait pas à vitesse constante mais que le mouvement est uniformément accéléré. Galilée n’avait à sa disposition, comme outil mathématique, que la théorie des proportions d’Euclide. Ses travaux ont clairement montré qu’il fallait développer de nouveaux outils mathématiques.

Les lois de Kepler La deuxième loi de Kepler (Johannes 1571-1630) s’énonce comme suit : La droite joignant la planète au Soleil balaie des aires égales en des temps égaux. La trajectoire d’une planète étant elliptique, il faut, pour vérifier cette loi, calculer l’aire d’une surface délimitée par une courbe. Kepler a fait plusieurs recherches sur le calcul d’aires et de volumes.

Kepler et l’aire du cercle Kepler considère qu’un cercle est un polygone régulier ayant un nombre infini de côtés. Le polygone régulier à n côtés est formé de n triangles égaux. L’aire de chacun des triangles est le demi-produit de la base b et de l’apothème a. L’aire du polygone est donc égale au demi-produit du périmètre (nb) et de l’apothème(a). Si le nombre de côtés est infini, l’apothème est égal au rayon et le produit du côté du polygone par le nombre de côtés est égal à la circonférence. L’aire du cercle est donc égale au demi-produit de la circonférence et du rayon. Il procède de façon analogue pour trouver l’aire d’un secteur elliptique en le décomposant en triangles.

Kepler et le volume de la sphère Kepler considère que la sphère est constituée d’une infinité de minces cônes ayant tous pour sommet le centre de la sphère. Le volume d’un cône étant le tiers du produit de sa hauteur par l’aire de sa base, il déduit que le volume de la sphère est le tiers du produit de son rayon par l’aire de sa surface. En écriture moderne : Kepler obtient des résultats corrects, même si sa méthode n’est pas très rigoureuse.

Marin Mersenne Au XVIIe siècle, plusieurs savants de différentes nationalités ont travaillé à chercher des méthodes pour calculer l’aire sous une courbe. Chaque nouvelle courbe était un défi intéressant. Par sa cor- respondance avec les savants de son époque, Marin Mersenne (1588-1648) a permis l’échange de procédés et a fait que les problèmes auxquels les uns s’attaquaient étaient connus des autres. Ces recherches ont donné des méthodes intéressantes pour déterminer l’aire sous plusieurs familles de courbes mais les résultats étaient souvent obtenus par des démarches qui n’étaient pas généralisables à d’autres familles de courbes ou dont les fondements mathématiques n’étaient pas assez solides.

Méthode des indivisibles La méthode des indivisibles est due à Bonaventura Cavalieri (1598-1647). Cette méthode, qui n’est pas sans rappeler la méthode du levier d’Archimède, était utilisée pour comparer des aires et pour comparer des volumes. Plusieurs savants de l’époque, alimentés par la correspondance de Mersenne, ont utilisé des variantes de la méthode des indivisibles en cherchant à donner des fondements plus solides à cette méthode. Cette méthode est basée sur la conviction que la matière est constituée de parties insécables (les indivisibles) dont les propriétés sont différentes de celles de la matière.

Comparaison des aires La comparaison des aires par la méthode des indivisibles est basée sur le postulat suivant : Si deux figures planes ont même hauteur et si des sections qui sont obtenues par des lignes parallèles aux bases et à égale distance de celles-ci sont toujours dans un même rapport, alors les aires des deux figures sont aussi dans le même rapport.

Comparaison des volumes La comparaison des volumes est basée sur le postulat suivant : Si deux solides sont compris entre deux plans parallèles, et si les aires des intersections de ces solides avec un plan parallèle aux deux premiers sont toujours dans un même rapport, alors les volumes des deux solides sont dans le même rapport

Volume de la sphère As = π(r2 – h2) car Cavalieri considère une demi-sphère de rayon r et un cylindre de rayon et de hauteur r dont l’intérieur est creusé en forme de cône inversé. Il compare alors les tranches de ces solides. L’aire de la tranche de la demi-sphère à une hauteur h est : As = π(r2 – h2) car L’aire de l’anneau obtenu en tranchant le cylindre creux à la même hauteur est : As = πr2 – πh2 car c’est la différence des aires des cercles.

Volume de la sphère Dans la méthode des indivisibles, le volume du solide est la somme des tranches indivisibles de ce solide. Il en conclut que le volume de la demi-sphère est égal à la différence des volumes du cylindre et du cône, soit : Par conséquent : Galilée a fait remarquer que cette méthode était paradoxale car, à la limite, le point et le cercle de rayon r ont même aire.

La cycloïde La cycloïde est l’une des courbes étudiées à l’époque. C’est la courbe décrite par un point sur la circonférence d’une roue qui roule sur une surface plane. Marin Mersenne avait essayé de trouver l’aire sous la cycloïde. N’y parvenant pas, il a proposé le problème aux savants avec qui il correspondait. Roberval va relever le défi.

Aire sous la cycloïde Roberval a utilisé une approche inspirée de la méthode des indivisibles pour déterminer l’aire sous la demi-cycloïde. Il construit d’abord la compagne de la cycloïde en glissant les segments in-divisibles du demi-cercle pour les aligner sur la cycloïde. La compagne divise l’aire du rectangle (2πr2) en deux parties égales. L’aire sous la demi-cycloïde est alors la moitié de l’aire du rectangle à laquelle on ajoute l’aire entre la compagne et la demi-cycloïde qui est égale à la moitié de l’aire du cercle générateur. L’aire sous la demi-cycloïde est donc 3πr2/2 et l’aire sous la cycloïde est 3πr2.

Conclusion Pour calculer une aire délimitée par une courbe, il faut être en mesure de décrire cette courbe. Cela peut être fait géométriquement comme pour le cercle ou la lunule ou méca-niquement comme pour la spirale d’Archimède et la cycloïde. L’éventail des courbes que l’on peut définir géométriquement ou mécaniquement est cependant assez limité. Les premières méthodes de calcul d’aires reposaient beaucoup sur les propriétés géométriques ou mécaniques de la courbe et chaque nouvelle courbe exigeait beaucoup d’ingéniosité. Les méthodes de calcul n’avaient pas la généralité nécessaire pour être facilement utilisables avec des courbes nouvelles. L’avènement de la géométrie analytique va permettre de définir les courbes algébriquement et de développer des méthodes algébriques de calcul d’aires qui auront cette généralité. Fin

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