Gradient d’une fonction 31/03/2017 Gradient d’une fonction Notion courante; gradient de concentration - de pression avec l'altitude ...

31/03/2017 Généralités La notion de gradient est d’un usage courant : on parle du gradient de température, gradient de concentration... En électromagnétisme on effectue souvent des calculs de variations de grandeurs scalaires ou vectorielles. La variation par rapport à x d’une fonction à plusieurs variables est obtenue en calculant la dérivée par rapport à x de cette fonction en considérant y et z comme des constantes ; on parle alors de dérivée partielle La variation d’une fonction de plusieurs variables qui résulterait de petites variations simultanées des variables x,y et z est la somme des dérivées partielles

le vecteur déplacement 31/03/2017 Produit scalaire de deux vecteurs La variation de la fonction f(x,y,z) s ’écrit Cette expression est identique au produit scalaire de deux vecteurs le vecteur déplacement un vecteur de coordonnées Ce vecteur est confondu avec l’opérateur dérivée partielle appelé gradient de la fonction f(x,y,z) noté Cet opérateur vectoriel n’est qu’un outil mathématique destiné à rendre compte des réalités simples et concrètes.

Caractéristiques du vecteur gradient 31/03/2017 Caractéristiques du vecteur gradient Direction Soit un déplacement dM sur la surface f=constante  f constante  M 

Sens f constante f ’constante > f 31/03/2017 Sens Soit un déplacement dM orthogonal à la surface f dans le sens f vers f ’ > f f ’constante > f f constante

Caractéristiques du vecteur 31/03/2017 f1 constante Caractéristiques du vecteur f 2 > f1 normal à la surface iso-f dirigé dans le sens des f croissants de coordonnées cartésiennes

Système de coordonnées 31/03/2017 Système de coordonnées Coordonnées cartésiennes cylindriques sphériques (x, y, z) (r, q, z) (r, q, j) Vecteur déplacement Vecteur déplacement Vecteur déplacement (dx, dy, dz) (dr, rdq, dz) (dr, rSinj.dq, r.dj) Composantes de l ’opérateur gradient M M z z r.dj M dr dj r j y dq dq q dz q dz x r dy r.dq r.sinj.dq dx dr

opérateur vectoriel agissant 31/03/2017 Remarques Autre notation Opérateur : Nabla Opérateur gradient opérateur vectoriel agissant Fonction scalaire Fonction vectorielle divergence rotationnel

Gradient d ’une fonction 31/03/2017 Gradient d ’une fonction La variation d’une fonction de plusieurs variables Cette expression est identique au produit scalaire de deux vecteurs gradient f déplacement Le vecteur gradient est confondu avec l’opérateur dérivée partielle ou noté perpendiculaire à la surface f constante dirigé dans le sens des f croissants

En coordonnées cartésiennes 31/03/2017 M z r x y Exercice calculer En coordonnées cartésiennes (un) ’=n.un-1.u ’ de la même façon

31/03/2017 suite

31/03/2017 Théorème du gradient Si un vecteur est représentable comme le gradient d’une fonction scalaire f L’intégrale d’un vecteur le long d’un chemin est appelée circulation du vecteur La circulation d ’un tel vecteur est indépendante du chemin suivi ne dépend que du point de départ et d ’arrivée si la boucle est fermée, la circulation est nulle

Potentiel électrique avec Une charge électrique q M 31/03/2017 Potentiel électrique Une charge électrique q M r créé en un point M à la distance r de la charge un champ électrique u q avec V est appelé potentiel électrique créé par la charge q à la distance r de la charge V est une fonction scalaire

31/03/2017 RAPPEL Une charge électrique q créé en un point M à la distance r un champ électrique q M r Le potentiel électrique créé en M par la charge q s ’écrit u fonction scalaire Opérateur gradient

Application du théorème du gradient 31/03/2017 Application du théorème du gradient La tension électrique UAB entre les points A et B est égale à la circulation du champ électrostatique entre ces deux points si la courbe est fermée

Commentaires L ’unité de potentiel électrique est le Volt 31/03/2017 Commentaires L ’unité de potentiel électrique est le Volt Le potentiel est défini à une constante près On ne peut pas mesurer un potentiel V On ne peut que mesurer des différences de potentiel entre deux points Il est souvent plus aisé de déterminer le potentiel créé par une distribution de charges on calcule le gradient du potentiel  le champ par E=-gradV Composante radiale de

Le potentiel créé par une distribution discrète de charges 31/03/2017 Commentaires (suite) Le potentiel créé par une distribution discrète de charges Le potentiel créé par une distribution continue de charges distribution linéique distribution surfacique distribution volumique

Surfaces équipotentielles 31/03/2017 Surfaces équipotentielles Ensembles des points pour lesquels V = constante normal à la surface V constant dirigé dans le sens des V croissants Les équipotentielles sont perpendiculaires aux lignes de champ Les lignes de champ sont orientées dans le sens des potentiels décroissants Ligne de champ + - V1 équipotentielle V1 V2 < V1 V2 > V1