Module n°3 : Initiation au raisonnement déductif Le but de ce chapitre est de découvrir la démonstration en mathématiques. On devra faire une démonstration lorsqu’il sera demandé lors d’un énoncé de : « montrer que », « prouver que », « justifier que » …

I – Activités - Vocabulaire 1) Il faut se méfier de ce que l’on voit : http://pat.sage.perso.neuf.fr/ 2) Il faut se méfier des évidences : Le prix d’un meuble est diminué de 50% puis augmenté de 50%. Quel est alors son prix ? Vérifier en prenant 400€ comme prix de départ. Rôle du contre-exemple Un exemple qui ne vérifie pas un énoncé suffit pour prouver que cet énoncé est faux. Cet exemple est appelé contre-exemple

On vient de voir avec ces activités, qu’en mathématiques, on ne peut pas prouver qu’un énoncé est vrai seulement à partir de constatations ou en effectuant des mesures sur un dessin. Elles permettent seulement d’établir une conjecture c’est-à-dire un énoncé qui semble vrai alors qu’on ne l’a pas prouvé. Lorsque cet énoncé est justifié en s'appuyant exclusivement sur les données du problème et des propriétés (ou des théorèmes), alors vous avez élaboré une DÉMONSTRATION.

II – En route vers la démonstration. Il était une fois …. un problème TEXTE DU PROBLEME On distingue deux parties Bla bla bla bla bla bla bla bla Bla bla bla bla bla bla bla bla Bla bla bla bla bla bla bla bla Bla bla bla bla bla bla bla bla Xwzrr tqscx zaxg xsxw ? La description d’une situation Une question Que faire ?

Chercher dans le livre de math Chercher dans le livre de math. si le problème résolu ne serait pas écrit par hasard ??? Chercher sur le Net sur le site élèvesoucieux.com ??? Demander à son cousin Emile de passer à la maison dans les plus brefs délais (il est bon en math, lui !!!) Offrir quelques bonbons au meilleur élève de la classe ??? Ou alors !!!

Comment ? Résoudre ce problème soit même Sans méthode, difficile !!! Avec méthode, cela peut devenir presque facile

1) Lire le texte attentivement . Bla bla bla bla bla bla bla bla Bla bla bla bla bla bla bla bla Bla bla bla bla bla bla bla bla Bla bla bla bla bla bla bla bla Xwzrr tqscx zaxg xsxw ? Comment procéder ? Ce n’est pas nouveau 1) Lire le texte attentivement . 2) Représenter la situation par un dessin . Ça non plus 3) En regardant le dessin, tenter de répondre à la question . Très important de savoir dans quelle direction aller !! D’où l’importance d’une construction soignée Le but de la démonstration est à cet instant fixé . 4) Sortir une à une les informations contenues dans le texte . Ce n’est pas si simple Un petit essai ?

La phase de préparation est maintenant achevée Soit une droite (m) et deux points A et B de (m) . Par A tracer la droite (d) perpendiculaire à (m) et par B la droite (d’) perpendiculaire à (m) . Que peut-on dire des droites (d) et (d’) ? (d) Lire le texte attentivement . (d’) (m) A B Représenter la situation par un dessin . En regardant le dessin, tenter de répondre à la question . Le but de la démonstration est à cet instant fixé . La phase de préparation est maintenant achevée La phase suivante est la démonstration BUT : (d) // (d’) Données Sortir une à une les informations contenues dans le texte . (d) (m) (d’) (m)

Démonstration (m) A B (d) (d’) BUT : (d) // (d’) (d) (m) (d’) (m) Données Démonstration On commence par la fin ! étonnant , non ??? Conclusion Donc (d) // (d’)

Quelles propriétés contient-elle ? Pour construire une démonstration, l’ouvrier mathématicien a besoin d’outils Ces outils portent entre autres le nom de propriétés Ces propriétés nombreuses sont réunies sur des fiches par thème Laquelle de ces fiches contient-elle la précieuse propriété ? C’est bien cette fiche . Quelles propriétés contient-elle ? Fiche :Comment démontrer qu’un triangle est isocèle Fiche :Comment démontrer que deux distances sont égales Fiche :Comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires Fiche :Comment démontrer qu’un quadrilatère est un rectangle Fiche :Comment démontrer que deux droites sont parallèles Fiche :Comment démontrer qu’un triangle est rectangle (m) A B (d) (d’) BUT : (d) // (d’) Données (d) (m) (d’) (m)

Comment démontrer que deux droites sont parallèles ·         Si deux droites sont symétriques par rapport à un point alors elles sont parallèles . ·         Si deux droites déterminent avec une sécante des angles alternes-internes de même mesure alors elles sont parallèles ·         Si deux droites déterminent avec une sécante des angles alternes-externes de même mesure alors elles sont parallèles ·         Si deux droites déterminent avec une sécante des angles correspondants de même mesure alors elles sont parallèles ·         Si un quadrilatère est un trapèze alors ses bases sont parallèles ·         Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles ·         Si deux droites sont parallèles à une même droite alors elles sont parallèles ·         Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles   Quelle propriété semble être le mieux adapté à ce problème ? C’est sûrement la bonne propriété. Observons là (m) A B (d) (d’) BUT : (d) // (d’) Données (d) (m) (d’) (m)

deux droites sont perpendiculaires à une même droite Mais il faut savoir que … Données deux droites sont perpendiculaires à une même droite   Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles Propriété Cette propriété permet de démontrer que deux droites …. Conclusion Sont parallèles

Cet ensemble sera appelé : bloc logique Nous dirons que c’est un problème de niveau 1 Un seul bloc logique a permis de répondre à la question Oui Génial ! Le problème est résolu Ces informations nécessaires étaient-elles données ? Données (d) (m) (d’) (m) BUT : (d) // (d’) INFORMATIONS (m) A B (d) (d’) (d) (m) (d’) (m) Propriété    Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles Conclusion (d) // (d’)

Une démonstration en géométrie est une succession de chainons Résumons : Une démonstration en géométrie est une succession de chainons déductifs qui partent des données et arrivent à la conclusion. Un chainon déductif est un enchainement de phrases qui peut se présenter sous la forme : On sait que Données Or si condition conclusion alors Chainon déductif Propriété conclusion Donc