La Quatrième Dimension Hoang Son Nguyen Matteo Malacarne Thomas Van Himbeeck Frédéric Van Naemen Congrès Dédra-Math-isons 2009-2010

Table des matières Introduction : Escher et ses salamandres Une approche visuelle : la tesselation Une approche géométrique De la deuxième à la troisième dimension Une nouvelle dimension Une approche analytique Des recherches, des calculs et des dessins … Introduction : Escher et ses salamandres

Introduction : Escher et ses salamandres

Introduction : Escher et ses salamandres

Table des matières Introduction : Escher et ses salamandres Une approche géométrique De la deuxième à la troisième dimension Une nouvelle dimension Une approche analytique Des recherches, des calculs et des dessins … Une approche visuelle : la tessellation

Une approche visuelle : la tesselation Point Segment Polygone Polyèdre

Une approche visuelle : la tesselation Un hypercube : projection parallèle Polychore Un hypercube : projection interne

Table des matières Introduction : Escher et ses salamandres Une approche visuelle : la tesselation De la deuxième à la troisième dimension Pavages de polygones : polyèdres réguliers Les solides de Platon Une nouvelle dimension Paver en trois dimensions Angles diédraux Les six polychores réguliers Une approche analytique : la quatrième dimension interceptée par la nôtre ? Des recherches, des calculs et des dessins … Une approche géométrique

Une approche géométrique De la deuxième à la troisième dimension: Pavages de polygones : polyèdres réguliers

Une approche géométrique De la deuxième à la troisième dimension: Pavages de polygones : polyèdres réguliers

Une approche géométrique De la deuxième à la troisième dimension: L’angle interne

Il n’existe alors que 5 combinaisons {p,q} possibles Une approche géométrique De la deuxième à la troisième dimension Les solides de Platon Nœud du pavage Formule de l’angle interne On isole p et q Il n’existe alors que 5 combinaisons {p,q} possibles

Une approche géométrique De la deuxième à la troisième dimension: Les solides de Platon

Une approche géométrique Une nouvelle dimension: Paver en 3 dimensions

Une approche géométrique Une nouvelle dimension: Angles diédraux

Une approche géométrique Une nouvelle dimension: Les six polychores réguliers

Il n’existe alors que 6 combinaisons {p,q,r} possibles Une approche géométrique Une nouvelle dimension: Les six polychores réguliers Nœud du pavage Par la formule des angles diédraux On isole p et q dans le même membre et r dans l’autre Il n’existe alors que 6 combinaisons {p,q,r} possibles

Une approche géométrique Une nouvelle dimension: Les six polychores réguliers L’hypertétraèdre (ou pentachore) : - 5 cellules tétraédriques - 10 faces triangulaires (triangles équilatéraux) - 10 arêtes - 5 sommets {3,3,3}

Une approche géométrique Une nouvelle dimension: Les six polychores réguliers L’hyperoctaèdre (ou hexadécachore) : - 16 cellules tétraédriques - 32 faces triangulaires (triangles équilatéraux) - 24 arêtes - - 8 sommetss {3,3,4}

Une approche géométrique Une nouvelle dimension: Les six polychores réguliers L’hypericosaèdre (ou hexacosichore) : - 600 cellules tétraédriques - 1200 faces triangulaires (triangles équilatéraux) - 720 arêtes - 120 sommets {3,3,5}

Une approche géométrique Une nouvelle dimension: Les six polychores réguliers L’hypercube (ou tesseract) : - 8 cellules cubiques - 24 faces carrées - 32 arêtes - 16 sommets {4,3,3}

Une approche géométrique Une nouvelle dimension: Les six polychores réguliers L’icositétrachore (pas d’analogue en 3 dimensions) : - 24 cellules octaédriques - 96 faces triangulaires (triangles équilatéraux) - 96 arêtes - 24 sommets {3,4,3}

Une approche géométrique Une nouvelle dimension: Les six polychores réguliers L’hyperdodécaèdre (ou hecatonicosachore) : - 120 cellules dodécaédriques - 720 faces pentagonales (pentagones réguliers) - 1200 arêtes - 600 sommets {5,3,3}

Une approche géométrique Une nouvelle dimension: Les six polychores réguliers

Table des matières Introduction : Escher et ses salamandres Une approche visuelle : la tesselation Une approche géométrique De la deuxième à la troisième dimension Pavages de polygones : polyèdres réguliers Les solides de Platon Une nouvelle dimension Paver en trois dimensions Angles diédraux Les polychores réguliers Des recherches, des calculs et des dessins … Une approche analytique

Une approche analytique Des recherches … Elements analytiques de l’hypercube

Une approche analytique Des recherches … Intersections

Une approche analytique Des calculs et des dessins … Intersections d’un hypercube avec un espace