Produit vectoriel Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Mise en situation Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur. Cela signifie que pour définir le produit, il faut donner la direction, le sens et le module du vecteur obtenu. Lorsque les vecteurs algébriques sont exprimés dans la base orthonormée usuelle, le produit vectoriel de deux vecteurs peut être obtenu par un calcul de déterminant. Nous verrons d’abord le produit vectoriel de deux vecteurs algébriques de R3 en cherchant à déterminer un vecteur perpendiculaire à deux vecteurs donnés. Nous généraliserons par la suite par l’interprétation géométrique de ce produit.

Produit vectoriel Définition Produit vectoriel de vecteurs géométriques Soit u et v deux vecteurs géométriques. Alors, le produit vectoriel u ´v donne un vecteur w tel que : • sa direction est perpendiculaire au plan défini par u et v; • son sens est obtenu en appliquant la règle de la main droite en tournant de u vers v; • sa longueur est égale au produit des modules des vecteurs u et v et du sinus de l’angle entre ces vecteurs.

Produit vectoriel Propriétés du produit vectoriel Pour tout vecteur u, v et w et pour tout scalaire p et q : 1. Anticommutativité u ´ v = –(v ´ u) 2. Associativité pour la multiplication par un scalaire (pu) ´(qv) = pq(u ´ v) 3. Distributivité sur l’addition vectorielle u ´ (v + w) = u ´ v + u ´ w (u + v) ´ w = u ´ w + v ´ w

Exemple Dans la figure ci-contre, les vecteurs géométriques e1, e2 et e3 forment une base. e1 ´u = 2 e2 Effectuer, en utilisant cette base, les produits vectoriels indiqués. Exprimer le vecteur obtenu en fonction des vecteurs de la base. a) e1 ´ u b) u ´ v a) Le produit vectoriel donne un vecteur perpendiculaire au plan défini par e1 et u. b) En exprimant les vecteurs u et v en fonction des vecteurs de la base, on obtient : S S Par la règle de la main droite, le sens du produit est le même que le vecteur e2. u = 2 e1 + 2 e3 et v = 2 e1 + e2 En utilisant les propriétés et le fait que sin 0° = 0 et sin 90° = 1, on obtient : De plus, e1 = 1, u = 22 + 22 = 8 = 2 2 et sin 45° = 2 u ´ v = (2 e1 + 2 e3) ´(2 e1 + e2 ) On a donc, e1 ´ u = 2. = 4 (e1 ´ e1) + 2 (e1´ e2) + 4 (e3´ e1) + 2 (e3´ e2) = 4 (0) + 2 (–e3) + 4 (–e2) + 2 (e1) Par conséquent, e1 ´ u = 2 e2. = 2 e1 – 4 e2 – 2 e3

Interprétation géométrique du module Dans le produit vectoriel, le module est égal au produit des modules et du sinus de l’angle entre ceux-ci. Théorème Aire du parallélogramme Soit u et v deux vecteurs de R3. Alors, le module du produit vectoriel u ´v donne l’aire du parallélogramme construit sur les vecteurs u et v.

Produit vectoriel nul S Considérons u et v, deux vecteurs géométriques non nuls tels que u ´ v = 0, Alors : u ´ v = 0 Û u ´ v = 0 Û u v sin q = 0 Û sin q = 0, car u ≠ 0 et v ≠ 0 Û q = 0° ou q = 180° Û u et v ont la même direction (ou sont colinéaires). S Théorème Produit vectoriel nul Soit u et v deux vecteurs non nuls. Alors, u ´ v = 0 si et seulement si les deux u et v ont la même direction (ou sont colinéaires).

Exemple Dans la figure ci-contre, les vecteurs géométriques e1, e2 et e3 forment une base orthonormée. Utiliser le produit vectoriel pour calculer l’aire du parallélogramme ABCD. Pour déterminer l’aire du parallélo-gramme, il faut calculer le module du produit vectoriel AB ´ AD. En exprimant ces vecteurs dans la base, on a : On a donc : AB ´ AD = 2 e1 + 2 e2 + 4 e3 AB = 2 e2 – e3 et AD = 2 e1 – e3 S S Le module est alors : Le produit vectoriel donne alors : AB ´AD AB ´ AD = (2 e2 – e3) ´(2 e1 – e3) = 22 + 22 + 42 = 24 ≈ 4,90 = 4 (e2´ e1) – 2 (e2´ e3) – 2 (e3 ´ e1) + (e3 ´ e3) Par conséquent, l’aire du parallélogramme est d’environ 4,90 unités d’aire. = 4 (e3) – 2 (–e1) – 2 (–e2) + 2 (0) = 2 e1 + 2 e2 + 4 e3

Produit vectoriel des vecteurs orthonormés Il nous reste à voir comment effectuer le produit vectoriel de vecteurs algébriques. Pour le déterminer, nous aurons besoin du produit des vecteurs de la base orthonormée. Considérons d’abord le produit i ´ j. Considérons maintenant le produit j ´ k. Considérons maintenant le produit k ´ i. Considérons maintenant le produit j ´ i. i j k 1 i j k 1 i j k 1 i j k 1 k ´i = j ´ i = j ´k = i ´j = = 0 i + 1 j k + 0 = 0 i + 0 j k – 1 = 1 i – 0 j k + 0 = 0 i – 0 j k + 1 S S S S On peut de la même façon, considérer les autres produits. La règle de la main droite permet toujours d’indiquer le sens du produit vectoriel. Plaçons la main droite pour qu’elle pointe dans le sens du vecteur à gauche du symbole d’opération et de telle sorte que l’on puisse fermer la main en tournant vers le vecteur qui est à droite du symbole d’opération. Le pouce indique alors le sens du produit vectoriel.

Produit vectoriel de vecteurs algébriques Soit u = ai + bj + ck et v = di + ej + fk, deux vecteurs de R3. Par les propriétés du produit vectoriel , on a : u ´v = (ai + bj + ck ) ´(di + ej + fk) = ad(i ´i) + ae(i ´j) + af(i ´k) + bd (j ´i) + be(j ´j) + bf(j ´k)+ cd (k ´i) + ce(k ´j) + cf(k ´k) S = (bf – ce)i – (af – dc)j + (ae – db)k Pour ne pas avoir à apprendre cette formule, on procède en disposant les composantes des vecteurs de la façon suivante : On développe selon la première ligne en alternant les signes : i b e j k i j c f k i a d j k j k i j k a b c d e f u ´v = b c e f a c d f a b d e = i – – j – + k – = i (bf – ce) – j (af – cd) + k (ae – bd) En pratique, on fait les calculs directement.

Exemple 9.3.1 Déterminer un vecteur w perpendiculaire aux vecteurs u = (3; –2; 5) et v = (2; 4; –3). i j k u ´v = 3 –2 5 = i (6 – 20) – j (–9 – 10) + k (12 + 4) 2 4 –3 = –14 i + 19 j + 16 k Le vecteur cherché est donc : w = (–14; 19; 16). S Remarque Les composantes du vecteur à gauche du symbole d’opération occupent la deuxième ligne et celles du vecteur à droite du symbole d’opération occupent la troisième ligne. En permutant ces deux lignes, on change le signe, donc le sens, du vecteur obtenu.

Exercice Déterminer un vecteur w perpendiculaire aux vecteurs u = (2; –3; –4) et v = (–3; 2; 2). Vérifier que le vecteur obtenu est bien perpendiculaire aux vecteurs donnés. i j k u ´v = 2 –3 –4 = i (–6 + 8) – j (4 – 12) + k (4 – 9) –3 2 2 = 2 i + 8 j – 5 k Le vecteur cherché est donc : w = (2; 8; –5). On peut vérifier la perpendicularité des vecteurs par le produit scalaire. S S u • w = (2; –3; –4) • (2; 8; –5) = 4 –24 + 20 = 0 v • w = (–3; 2; 2) • (2; 8; –5) = –6 + 16 – 10 = 0 Puisque les deux produits scalaires sont nuls, le vecteur obtenu est bien perpendiculaire aux deux vecteurs donnés.

Exemple 9.3.2 S S Effectuer le produit vectoriel u ´ v , sachant que : u = 2 i – 3 j + k et v = –5 i + 2 j + 3 k Calculer l’aire du parallélogramme construit sur ces vecteurs. Le produit vectoriel est donné par : i j k 2 –3 1 –5 3 u ´v = = (–9 – 2) i – (6 + 5) j + (4 – 15) k = –11 i – 11 j k –11 On sait que ce vecteur est perpendiculaire aux deux vecteurs donnés et que son module donne l’aire du parallélogramme construit sur ceux-ci. S S u ´ v = (–11)2 + (–11)2 + (–11)2 = 3 ´112 ≈ 19,05 Par conséquent, l’aire du parallélogramme est d’environ 19,05 unités d’aire.

Distances dans R3 Distance d’un point Q à une droite dont on connaît un vecteur directeur. On détermine un point R de la droite ainsi que le vecteur RQ. La distance cherchée est alors la hauteur du parallélogramme construit sur les vecteurs RQ et D. Le module du produit vectoriel donne l’aire de ce parallélogramme et on divise par la longueur de la base, soit le module du vecteur directeur. Distance d’un point Q à une droite dont on connaît deux points R et P. On procède de la même façon en considérant D = RP.

Exemple S S Trouver la distance du point Q(7; –2; 5) à la droite ∆ : x = 3 + 2t y = 6 – 3t z = –5 + 4t Le vecteur directeur de ∆ est : = (2; –3; 4)  D  En posant t = 0 dans l’équation de ∆, on obtient le point R(3; 6; –5). = (7;–2; 5) – (3; 6; –5 ) = (4; –8; 10). RQ On a alors le vecteur Le produit vectoriel donne : i j k 4 –8 10 2 –3 RQ ´D = + (–12 + 16) = (–32 + 30) i – (16 – 20) j k = –2 i + 4 j k S S La distance est alors donnée par : d(Q, ∆) = RQ  D  ´ D   = 6 29 ≈ 1,11 La distance du point au plan est donc d’environ 1,11 unités.

Distance d’un point à une droite de R3 Procédure pour trouver la distance d’un point Q à une droite dans R3 1. Déterminer le vecteur directeur de la droite. 2. Construire le vecteur allant d’un point R quelconque de la droite au point Q. 3. Calculer l’aire du parallélogramme construit sur ces deux vecteurs (module du produit vectoriel). 4. Diviser l’aire du parallélogramme par la longueur de sa base (module du vecteur directeur) pour en obtenir la hauteur qui est la distance cherchée. Remarque : Lorsque deux points de la droite sont connus, on peut déterminer un vecteur directeur en considérant le vecteur dont l’origine est un de ces points et dont l’extrémité est l’autre point.

Exercice S S Trouver la distance du point Q(5; 4; –7) à la droite ∆ : x = 8 – 5t y = 2 – 6t z = 3 + 7t Le vecteur directeur de ∆ est : = (–5; –6; 7)  D  En posant t = 0 dans l’équation de ∆, on obtient le point R(8; 2; 3). = (5; 4; –7) – (8; 2; 3) = (–3; 2; –10). RQ On a alors le vecteur Le produit vectoriel donne : i j k –3 2 –10 –5 –6 7 RQ ´D = + (18 + 10) = (14 – 60) i – (–21 – 50) j k = –46 i + 71 j k + 28 S S La distance est alors donnée par : d(Q, ∆) = RQ  D  ´ D   = 7 941 110 ≈ 757,14 La distance du point au plan est donc d’environ 757,14 unités.

Conclusion Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs dont on effectue le produit, dont le sens est donné par la règle de la main droite et dont le module est égal au produit des modules et du sinus de l’angle entre les vecteurs. Lorsque les vecteurs sont donnés dans la base orthonormée usuelle, on peut trouver ce vecteur, exprimé dans cette même base, en effectuant le calcul d’un déterminant. Le module du produit vectoriel de deux vecteurs donne l’aire du parallélogramme construit sur ceux-ci.

Lecture Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 9.3, p. 270 à 273. Exercices Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 9.4, p. 286.