Travaux pratiques de mécanique analytique Simulation en temps réel du mouvement d’un pendule double

Mise en situation... m g l = 1 m l2 = 1 Positions: Vitesses: X Y Point A: (l sin q, -l cos q) Point B: (l.(sin q + sin f ), -l.(cos q + cos f)) Vitesses: Point A: (l dq/dt cos q, l dq/dt sin q) Point B: (l.(dq/dt cos q + df/dt cos f), l.( dq/dt sin q + df/dt sin f )) m g l = 1 m l2 = 1

Lagrange (1) L = T - V pour toute les masses du système vitesse scalaire de la masse condidérée

Lagrange (2) V = mgh = - mgl cos q - m g l (cos q + cos f ) L = T - V = + mgl cos q + m g l (cos q + cos f )

Système différentiel

Fonction différentielle ODE45 ODE45  Fonction de dérivation décrivant le système différentiel Ordre des équations du système  2 ( , ) Avant Après

Définition des vecteurs utilisés ODE45  Fonction de dérivation décrivant le système différentiel Ordre des équations du système  2 ( , ) Avant Après

Définition des vecteurs utilisés ODE45  Fonction de dérivation décrivant le système différentiel Ordre des équations du système  2 ( , ) Avant Après

Fonction de dérivation function [ dy ] = dp ( t, y )

Variables temporaires function [ dy ] = dp ( t, y ) s = sin(  -  ) c = cos(  -  )

Mise en correspondance function [ dy ] = dp ( t, y ) s = sin(  -  ) c = cos(  -  ) dy(1) = y(2)

Mise en correspondance function [ dy ] = dp ( t, y ) s = sin(  -  ) c = cos(  -  ) dy(1) = y(2) dy(3) = y(4)

Mise en correspondance function [ dy ] = dp ( t, y ) s = sin(  -  ) c = cos(  -  ) dy(1) = y(2) dy(3) = y(4) dy(2) =

Search and replace function [ dy ] = dp ( t, y ) s = sin(  -  ) c = cos(  -  ) dy(1) = y(2) dy(3) = y(4) dy(2) =

Search and replace function [ dy ] = dp ( t, y ) s = sin(  -  ) c = cos(  -  ) dy(1) = y(2) dy(3) = y(4) dy(2) =

Search and replace function [ dy ] = dp ( t, y ) s = sin(  -  ) c = cos(  -  ) dy(1) = y(2) dy(3) = y(4) dy(2) =

Search and replace function [ dy ] = dp ( t, y ) s = sin( y(1) -  ) c = cos(y(1) -  ) dy(1) = y(2) dy(3) = y(4) dy(2) =

Search and replace function [ dy ] = dp ( t, y ) s = sin( y(1) - y(3) ) c = cos(y(1) - y(3) ) dy(1) = y(2) dy(3) = y(4) dy(2) =

Search and replace function [ dy ] = dp ( t, y ) s = sin( y(1) - y(3) ) c = cos(y(1) - y(3) ) dy(1) = y(2) dy(3) = y(4) dy(2) =

Search and replace function [ dy ] = dp ( t, y ) s = sin( y(1) - y(3) ) c = cos(y(1) - y(3) ) dy(1) = y(2) dy(3) = y(4) dy(2) =

Search and replace function [ dy ] = dp ( t, y ) s = sin( y(1) - y(3) ) c = cos(y(1) - y(3) ) dy(1) = y(2) dy(3) = y(4) dy(2) =

Search and replace function [ dy ] = dp ( t, y ) s = sin( y(1) - y(3) ) c = cos(y(1) - y(3) ) dy(1) = y(2) dy(3) = y(4) dy(2) = dy(4) =

Fonction différentielle ODE45 function [ dy ] = dp ( t, y ) s = sin( y(1) - y(3) ) c = cos(y(1) - y(3) ) dy(1) = y(2) dy(3) = y(4) dy(2) = dy(4) =

Résolution numérique options = odeset('RelTol',1e-8); [t,angle] = ode45('dp',[0:0.1:100],[1 1 10 0],options); Temps: de 0 à 100 secondes par pas de 0,1 sec Système à résoudre Conditions initiales:

Variables utilisées plot ( x , y )  ( 0 , 0 ) ( Ax , Ay ) ( Bx , By )

Premier affichage %Allocation mémoire x=zeros(3,1); y=zeros(3,1); %Calcul de coordonnées x(2)=10*sin(angle(1,1)); y(2)=-10*cos(angle(1,1)); x(3)=x(2)+10*sin(angle(1,3)); y(3)=y(2)-10*cos(angle(1,3)); %Préparation session graphique et premier affichage figure; axis([-30 30 -30 30]) hold on; line(x,y,'LineWidth',2);

Boucle d’affichage %Boucle d'affichage for i=1:1000 x(2)=10*sin(angle(i,1)); y(2)=-10*cos(angle(i,1)); x(3)=x(2)+10*sin(angle(i,3)); y(3)=y(2)-10*cos(angle(i,3)); line(x,y,'LineWidth',2); end

Gestion dynamique %Boucle d'affichage for i=1:100 x(2)=10*sin(angle(i,1)); y(2)=-10*cos(angle(i,1)); x(3)=x(2)+10*sin(angle(i,3)); y(3)=y(2)-10*cos(angle(i,3)); clf; axis([-30 30 -30 30]); line(x,y,'LineWidth',2); drawnow;

Temps réel %Boucle d'affichage for i=1:100 tic; x(2)=10*sin(angle(i,1)); y(2)=-10*cos(angle(i,1)); x(3)=x(2)+10*sin(angle(i,3)); y(3)=y(2)-10*cos(angle(i,3)); while toc<0.1; end; clf; axis([-30 30 -30 30]); line(x,y,'LineWidth',2); drawnow; end

Gestion anciennes positions %Allocation mémoire xold=zeros(3,1); yold=zeros(3,1); %Boucle d'affichage for i=1:100 tic; xold(2)=x(2); yold(2)=y(2); xold(3)=x(3); yold(3)=y(3); x(2)=10*sin(angle(i,1)); y(2)=-10*cos(angle(i,1)); x(3)=x(2)+10*sin(angle(i,3)); y(3)=y(2)-10*cos(angle(i,3)); while toc<0.1; end; plot(xold,yold,'w','LineWidth',2); plot(x,y,'LineWidth',2); drawnow; end

Approche “orienté-objet” Objet graphique Adresse Propriété 2 Propriété n Propriété ... Propriété 1 Instruction 1 Instruction 2 Instruction ... Instruction n

Approche “orienté-objet” Objet graphique Adresse XData YData ZData Color Style plot axis

Récupération de l’adresse graph1=plot(x,y,'w*','EraseMode','none'); Objet graphique Adresse = 1.05684523 = graph1 XData YData ZData Color Style Instruction

Données en x graph1=plot(x,y,'w*','EraseMode','none'); Objet graphique Adresse = 1.05684523 = graph1 XData = x YData ZData Color Style Instruction

Données en y graph1=plot(x,y,'w*','EraseMode','none'); Adresse XData = x YData = y ZData Color Style Instruction

Pas de données en z graph1=plot(x,y,'w*','EraseMode','none'); Objet graphique Adresse = 1.05684523 = graph1 XData = x YData = y ZData Color Style Instruction

Couleur graph1=plot(x,y,'w*','EraseMode','none'); Objet graphique Adresse = 1.05684523 = graph1 XData = x YData = y ZData Color = w Style Instruction

Style graph1=plot(x,y,'w*','EraseMode','none'); Objet graphique Adresse = 1.05684523 = graph1 XData = x YData = y ZData Color = w Style = * Instruction

Variable privée graph1=plot(x,y,'w*','EraseMode','none'); Objet graphique Adresse = 1.05684523 = graph1 XData = x YData = y ZData Color = w Style = * EraseMode = none Instruction

Instruction graphique graph1=plot(x,y,'w*','EraseMode','none'); Objet graphique Adresse = 1.05684523 = graph1 XData = x YData = y ZData Color = w Style = * EraseMode = none Instruction = plot

Accès variables membres set(graph1,'XData',xnew,'YData',ynew,'LineWidth',2); graph1 XData YData

Modification données en x set(graph1,'XData',xnew,'YData',ynew,'LineWidth',2); graph1 XData = xnew YData

Modification données en y set(graph1,'XData',xnew,'YData',ynew,'LineWidth',2); graph1 XData = xnew YData = ynew

Modification paramètres divers set(graph1,'XData',xnew,'YData',ynew,'LineWidth',2); graph1 XData = xnew YData = ynew LineWidth = 2

Pour notre problème %Préparation session graphique et premier affichage p=plot(x,y,'EraseMode','none'); q=plot(xold,yold,'w','EraseMode','none'); %Boucle d'affichage set(q,'XData',xold,'YData',yold,'LineWidth',2); set(p,'XData',x,'YData',y,'LineWidth',2);

Approche “orienté-objet” %Préparation session graphique et premier affichage p=plot(x,y,'EraseMode','none'); q=plot(xold,yold,'w','EraseMode','none'); %Boucle d'affichage set(q,'XData',xold,'YData',yold,'LineWidth',2); set(p,'XData',x,'YData',y,'LineWidth',2);