Transformations Montage préparé par : S André Ross Légende Montage préparé par : S Cliquer pour la suite. André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Revenir à la diapositive précédente. Aller à la diapositive suivante.

Introduction Nous avons vu dans la présentation précédente qu’il est possible en imposant des contraintes sur la variation des scalaires. Nous verrons maintenant qu’il est possible par les transformations de déplacer et de déformer ces objets. Cela nous permettra d’établir des relations entre la géométrie, l’algèbre, les systèmes d’équations et les opérations matricielles.

Translations S DÉFINITION Translation Soit V, un espace vectoriel et , un vecteur fixe de V. On appelle translation de vecteur r , qui à un vec-teur , la transformation, notée r Tr , fait correspondre le vecteur v r + v. Soit : Tr (v ) = r + v DÉFINITION Sous-ensemble translaté Soit E est un sous-ensemble de V, on appelle translaté de E par , le sous-ensemble contenant tous les vecteurs de la forme : r r + e , où e Î E S

Exemple 7.3.1 Donner la description vectorielle et la description paramétrique du triangle E construit sur les vecteurs : Donner la description vectorielle et la description paramétrique du triangle E translaté par le vecteur r = (–2; 3). u = (2; 1) et v = (1; 3) Les points du triangle sont décrits vectoriellement par : Les points du triangle translaté sont décrits vectoriellement par : Tr w (w ) = a = u r + b + a v u + b v où 0 ≤ a ≤ 1, 0 ≤ b ≤ 1 et a + b ≤ 1 En coordonnées cartésiennes, cela donne : (x; y) = (–2; 3) + a(2; 1) + b(1; 3) (x; y) = a(2; 1) + b(1; 3) où 0 ≤ a ≤ 1, 0 ≤ b ≤ 1 et a + b ≤ 1 La description paramétrique des points du triangle est : x = –2 + 2a + b y = 3 + a + 3b x = 2a + b y = a + 3b 0 ≤ a ≤ 1, 0 ≤ b ≤ 1 et a + b ≤ 1 où 0 ≤ a ≤ 1, 0 ≤ b ≤ 1 et a + b ≤ 1 S S

Exemple 7.3.2 Donner la description vectorielle et la description paramétrique du parallélépipède translaté par le vecteur Donner la description vectorielle et la description paramétrique du parallélépipède construit sur les vecteurs : r = (0; 2; 5). u = (2; –1; 3), v = (1; 4; 2) et w = (–2; 1; 2) Les points du parallélépipède sont décrits vectoriellement par : (x; y; z) = a(2; –1; 3) + b(1; 4; 2) + c(–2; 1; 2) où 0 ≤ a ≤ 1, 0 ≤ b ≤ 1 et 0 ≤ c ≤ 1 La description paramétrique des points du parallélépipède est : La description paramétrique des points du parallélépipède translaté est : x = 2a + b – 2c y = 2 –a + 4b + c z = 5 +3a + 2b + 2c x = 2a + b – 2c y = –a + 4b + c z = 3a + 2b + 2c où 0 ≤ a ≤ 1, 0 ≤ b ≤ 1 et 0 ≤ c ≤ 1 S S

Transformation DÉFINITION Transformation Soit U et V deux espaces vectoriels sur un corps K, et soit T, une application de U dans V (T : U ® V). On dit que T est une trans-formation de U dans V si et seulement si : de V tel que : Pour tout vecteur de U, il existe un et un seul vecteur u v T( u ) = v Remarque Une application est une fonction dont le domaine est égal à l’ensemble de départ, ce qui signifie que la fonction est définie pour tous les éléments de l’ensemble de départ. En d’autres mots, chaque élément de l’ensemble de départ a une et une seule image. Un élément de l’ensemble de départ ne peut avoir deux images, mais un élément de l’espace d’arrivée peut avoir deux préimages.

Transformations linéaires Jusqu’à maintenant, nous avons considéré les matrices comme de simples tableaux de nombres. Nous allons maintenant les considérer d’un point de vue géométrique et voir qu’elles constituent des outils permettant de transformer les figures géométriques. Pour étudier ces transformations, nous adapterons l’écriture des points et des vecteurs à l’écriture matricielle en les représentant sous forme de matrices colonnes (ou de vecteurs colonnes).

Mise en situation S S S S S S Considérons le triangle construit sur les vecteurs (3; 2) et (–1; 2). Considérons la fonction de R2 dans R2 définie par : T(x; y) = (x – 2y; 2x – y) Les points de ce triangle sont décrits par : x = 3a – b y = 2a + 2b –5 L’image de = (3; 2) est donnée par : 1 –2 –1 E : u , où 0 ≤ a ≤ 1, 0 ≤ b ≤ 1 et a + b ≤ 1 • = De la même façon : T(–1; 2) = 2 –1 2 –4 T(3; 2) = (3 – 2 ´2 ; 2 ´3 – 2) = (–1; 4) Par les propriétés des opérations matricielles, on a alors : On peut représenter les vecteurs et la transformation par des matrices. Ainsi, on a  : 1 –2 3a – b –a – 5b , où 0 ≤ a ≤ 1, 0 ≤ b ≤ 1 et a + b ≤ 1 T(E) = • = 2 –1 2a + 2b 4a – 4b 3 1 –2 1 –2 3 –1 = u = et T = , d’où : T(3; 2) = 1 –2 x • x – 2y 2 2 –1 • 2 –1 = 4 De façon générale, on a : T(x; y) = 2 2 –1 y 2x – y S S S S S S

Propriétés de linéarité Pour calculer l’image du triangle par la transformation, nous avons utilisé deux propriétés des opérations sur les matrices. En effet, l’image du triangle translaté est donné par la combinaison linéaire avec contraintes des images des vecteurs, soit : 1 –2 3 1 –2 –1 , où 0 ≤ a ≤ 1, 0 ≤ b ≤ 1 et a + b ≤ 1 T(E) = a + b 2 –1 2 2 –1 2 1 –2 3a 1 –2 –b , par la multiplication d’une matrice par un scalaire; = + 2 –1 2a 2 –1 2b 1 –2 3a –b = + , par la distributivité; 2 –1 2a 2b 1 –2 3a – b = , par l’addition des matrices. 2 –1 2a + 2b En utilisant la notation des vecteurs, cela signifie que : S S S S a T( u ) + b T( v ) = T(a u + b v ) Cette égalité regroupe les deux propriétés de linéarité.

Propriétés de linéarité Les transformations représentables par des matrices T ont deux propriétés particulièrement intéressantes que l’on appelle propriétés de linéarité. Symboliquement, celles-ci s’écrivent : T( u + v ) = T( u ) + T( v ) T(k u ) = k T( u ) Géométriquement, la première propriété signifie que l’image par T d’une somme de vecteurs est égale à la somme des images par T de ces vecteurs. La deuxième propriété signifie que l’image par T du produit d’un vecteur par un scalaire est égale au produit de l’image du vecteur par ce scalaire. S

Transformation linéaire DÉFINITION Transformation liéaire Soit U et V, deux espaces vectoriels sur un corps K, et soit T, une transformation de U dans V (T : U ® V). On dit que T est une transformation linéaire de U dans V si et seulement si : Pour tout vecteur de U, et pour tout k Î K : u et v a) T( u + v ) = T( u ) + T( v ) b) T(k u ) = k T( u ) THÉORÈME Transformation linéaire et matrice Soit T, une transformation de U dans V, où U et V sont deux espaces vectoriels sur un corps K. T est linéaire si et seulement si elle est représentable par une matrice.

Représentation par une matrice Considérons la situation suivante : Géométriquement, l’effet de la transformation linéaire sur une base est donné par : a b 4 6 5 On doit donc avoir : = c d –2 5 –4 –2 En multipliant les deux membres par la matrice inverse, on obtient : –2 4 5 –1 a b c d –2 4 5 6 –4 5 –2 = –2 4 5 –1 a b c d 6 –4 5 –2 Cela donne : = Les vecteurs (0; –2) et (4; 5) forment une base de R2, et l’image de ces vecteurs par la transformation T est connue. Par la méthode de la matrice adjointe, on trouve : Algébriquement, la transformation linéaire est définie par : En effet, T(0; –2) = (6; –4) et T(4; 5) = (5; –2). 1 8 5 –3 5 x 2 5x – 3y 5 –4 5 –4 det A = 8, cof A = T(x; y) = , adi A = = (5x – 3y; –3x + 2y) et A–1 = = –4 2 2 –3 2 y –3x + 2y a b On cherche donc une matrice A = telle que : On trouve donc : On obtient donc : c d a b c d 1 8 6 –4 5 –2 5 –4 2 1 8 40 –24 5 –3 T(x; y) = (5x – 3y; –3x + 2y) = = = a b 6 a b 4 5 = et = –24 16 –3 2 c d –2 –4 c d 5 –2 S S S

T(5; 3) = (4; –3; 1) et T(2; 1) = (2; –2; 0) Exemple 7.3.3 Décrire par une matrice la transformation linéaire de R2 dans R3 pour laquelle on donne les correspondances suivantes : T(5; 3) = (4; –3; 1) et T(2; 1) = (2; –2; 0) Les vecteurs (5; 3) et (2; 1) étant linéairement indépendants, ils forment donc une base de R2. L’espace de départ étant de dimension 2, la matrice cherchée a donc deux colonnes; l’espace d’arrivée étant de dimension 3, la matrice cherchée a trois lignes. On cherche une matrice de la forme : En multipliant par la matrice inverse, on obtient : b c d e f a = 4 –3 1 2 –2 5 3 2 1 –1 5 3 2 1 La matrice cherchée est donc : a b b c d e f a 4 b c d e f a 2 4 –3 1 2 –2 2 –2 4 –3 1 2 –2 b c d e f a 5 3 2 1 –1 5 1 –1 1 –2 2 c d telle que : = –3 = –2 et –3 4 = = = 3 –3 5 1 e f 1 –1 2 La transformation est alors : b c d e f a 4 –3 1 2 –2 1 –3 1 –2 2 –2 5 3 2 1 2x – 2y ou : det A = 5 – 6 = –1, cof A = , adj A = x = T(x; y) = = = (2x – 2y; –3x + 4y; –x + 2y) –3 4 –2 –3x + 4y 5 –3 5 y –1 2 –x + 2y S S S

T(1; 2; 1) = (9; 3), T(3; 1; –1) = (8; 7) et T(–1; 4; 4) = (14; 0) Exercice Décrire par une matrice la transformation linéaire de R3 dans R2 pour laquelle on donne les correspondances suivantes : T(1; 2; 1) = (9; 3), T(3; 1; –1) = (8; 7) et T(–1; 4; 4) = (14; 0) 1 2 3 –1 4 b c d e f a 8 7 14 3 9 D’où : = Calculons le déterminant dont les éléments sont les composantes des vecteurs (1; 2; 1), (3; 1; –1) et (–1; 4; 4). Par la méthode de la matrice adjointe, on trouve alors : 8 –4 –3 8 –11 13 1 2 L1 L2–3L1 L3 + L1 1 2 det A = –1, cof A = –11 5 4 , adj A = –4 5 –6 3 1 –1 = –5 –4 = 1(–25 + 24) = –1 ≠ 0 13 –6 –5 –3 4 –5 –1 4 On a donc : 6 5 –8 11 –13 Les vecteurs sont donc linéairement indépendants et forment une base de R3. L’espace de départ étant de dimension 3, la matrice cherchée a donc trois colonnes; l’espace d’arrivée étant de dimension 2, la matrice cherchée a deux lignes. On cherche une matrice de la forme : b c d e f a 8 7 14 3 9 2 3 1 = 4 –5 6 = 4 –2 3 3 –4 5 La transformation est alors donnée par: x y z 2 4 3 –2 1 1 2 3 1 –1 –1 4 b c d e f a b c d e f a 2x + 3y + z 3 9 8 7 14 T(x; y; z) = = telle que : = 4x – 2y + 3z et T(x; y; z) = (2x + 3y + z; 4x – 2y + 3z) S S S

Transformations particulières Nous présentons maintenant quelque transformations particulières, ce sont : l’étirement-compression dans une direction; l’homothétie de rapport k; la rotation autour de l’origine. Pour déterminer la matrice associée à la transformation, on déterminera d’abord l’image d’une base, puis on procédera comme dans les situations précédentes.

Étirement-compression dans une direction DÉFINITION Étirement-compression dans une direction , un vecteur non nul. On appelle étirement-compression dans la direction de Soit k, un scalaire et u la transformation linéaire pour laquelle : u T( u ) = k u et T( u^ ) = u^ , pour tout u^ orthogonal à u u^ u k u

T(2; 1) = (4; 2) et T(–1; 2) = (–1; 2) Exemple 7.3.4 Déterminer la transformation linéaire dont l’effet est un étirement de facteur 2 dans la direction du vecteur (2; 1). En multipliant les deux membres par la matrice inverse, on obtient : Algébriquement, la transformation linéaire est définie par : 2 1 –1 a b c d 2 1 –1 4 2 –1 1 5 9 2 x = 9x + 2y 1 5 T(x; y) = = 2 6 y 2x + 6y 2 1 –1 a b c d 4 2 –1 Cela donne : = On obtient donc : Par la méthode de la matrice adjointe, on trouve : Les vecteurs (2; 1) et (–1; 2) forment une base de R2 . De plus : T(2; 1) = (4; 2) et T(–1; 2) = (–1; 2) 1 5 T(x; y) = (9x + 2y; 2x + 6y) 1 5 2 –1 2 1 2 1 det A = 5, cof A = , adi A = et A–1 = 1 2 –1 2 –1 2 a b On trouve donc : On cherche donc une matrice telle que : c d a b c d 1 5 4 2 –1 2 –1 1 1 5 9 2 = = a b 2 –1 4 –1 = 2 6 c d 1 2 2 2 S S S

Étirement-compression dans une direction Regardons l’effet de la transfor-mation sur le triangle construit sur les vecteurs (5; 0) et (0; 5) dont les images sont : T(5; 0) = (9; 2) et T(0; 5) = (2; 6) Cette illustration donne l’image avant et après la transformation. En pratique, la transformation doit se faire graduellement. Remarque On aurait pu définir cette transformation en donnant les correspondances T(5; 0) = (9; 2) et T(0; 5) = (2; 6). On aurait trouvé la même règle de correspondance. Pour savoir dans quelle direction se fait l’étirement-compression, il aurait alors fallu résoudre le système d’équations obtenu en posant : T(x; y) = k(x; y)

Étirement-compression dans une direction Résolvons l’équation donnée par T(x; y) = k(x; y). En substituant dans le système d’équations, on obtient : 1 5 On cherche alors (x; y) tel que (9x + 2y; 2x + 6y) = k(x; y) 4x + 2y = 0 2x + y = 0 –x + 2y = 0 2x – 4y = 0 Pour k = 1, Pour k = 2, Cela donne (9x + 2y; 2x + 6y) = 5k(x; y) d’où : On peut le vérifier par le produit : On obtient une infinité de solutions décrites par : On peut le vérifier par le produit : On obtient une infinité de solutions décrites par : 9x + 2y = 5kx 2x + 6y = 5ky (9 –5k)x + 2y = 0 2x + (6 – 5k)y = 0 1 5 9 2 6 a –2a = 1 5 5a –10a 1 5 9 2 6 2b b = 1 5 20b 10b et {(x; y) | y = x/2 } {(x; y) | y = –2x } dont la forme générale est : dont la forme générale est : = a –2a = 4b 2b Par la méthode de Gauss, on obtient : (2b; b) = b(2; 1) (a; –2a) = a(1; –2) 9 – 5k 2 9 – 5k 2 L1 (9 – 5k)L2 – 2L1 et T(2b; b) = (4b; 2b) et : T(a; –2a) = (a; –2a) ≈ Tous les vecteurs sur la droite d’équation y = –2x sont leur propre image par la transfor-mation T. 2 6 – 5k Tous les vecteurs sur la droite d’équation y = x/2 subissent un étirement d’un facteur 2. 25(k2 – 3k + 2) Le système admet une infinité de solution pour k2 – 3k + 2 = 0, En factorisant, on obtient (k – 1)(k – 2) = 0. Cela donne k = 1 ou k = 2. S S S

Vecteur propre et valeur propre DÉFINITION Vecteur propre et valeur propre Soit T, une transformation linéaire de Rn dans Rn. Un vecteur non nul est appelé vecteur propre de T si son image par T lui est colinéaire. c’est-à-dire s’il existe un scalaire l tel que : u T( u ) = l u Le scalaire l est appelé valeur propre de la transformation T. Remarque Dans l’exemple précédent, la transformation a deux valeurs propres k = 1 et k = 2. Puisqu’il s’agit d’un étirement compression dans une seule direction. On peut cependant avoir un étirement-compression selon un rapport dans une direction et selon un autre rapport dans la direction perpendiculaire. Dans R3, on aura trois valeurs propres.

T(1; 3) = (3; 9) et T(–3; 1) = (–6; 2) Exercice Déterminer la transformation linéaire dont l’effet est un étirement de facteur 3 dans la direction du vecteur (1; 3) et d’un facteur 2 dans la direction perpendiculaire. Les vecteurs (1; 3) et (–3; 1) forment une base de R2 . De plus : T(1; 3) = (3; 9) et T(–3; 1) = (–6; 2) a b c d 1 10 3 9 –6 2 1 –3 3 1 10 21 3 On trouve donc : = = 3 29 Algébriquement, la transformation linéaire est définie par : a b a b c d 1 –3 3 –6 On cherche telle que : = c d 1 10 21 3 x 21x + 3y 9 2 1 10 3 1 T(x; y) = = En isolant la matrice cherchée dans cette équation, on obtient : 3 29 y 3x + 29y 1 3 –3 –1 a b c d 1 10 3 9 –6 2 D’où : T(x; y) = = (21x + 3y; 3x + 29y) Trouvons la matrice inverse par la méthode de la matrice adjointe : 1 10 1 –3 1 3 1 3 det A = 10, cof A = , adi A = et A–1 = 3 1 –3 1 –3 1 S S S S

Homothétie de rapport k DÉFINITION Homothétie de rapport k On appelle homothétie de rapport k une transformation linéaire dont l’effet est un étirement-compression dans toutes les directions.

Homothétie de rapport k Dans R2, l’image d’un vecteur quelconque par une homothétie de rapport k est donnée par T(x; y) = k(x; y). On peut facilement déterminer sa matrice à partir de l’image des vecteurs de la base orthonormée. En effet : T(1; 0) = (k; 0) et T(0; 1) = (0; k) La première colonne est l’image par T du vecteur i = (1; 0). La deuxième colonne est l’image par T du vecteur j = (0; 1). k On trouve donc la matrice scalaire : T = k Remarque Dans le cas d’une homothétie de rapport k, tous les vecteurs sont des vecteurs propres et la valeur propre est l = k.

Rotation autour de l’origine DÉFINITION Rotation autour de l’origine On appelle rotation d’un angle q autour de l’origine la trans-formation linéaire qui a pour effet de faire tourner tous les vecteurs du plan d’un angle q autour de l’origine. Remarque Dans le cas d’une rotation autour de l’origine, il n’y a pas de vecteur propre ni de valeur propre.

Pour déterminer la matrice d’une rotation d’un angle q dans R2, considérons les vecteurs de la base orthonormée : q sin q cos q q i  = (1; 0) et j  = (0; 1) –sin q cos q On constate assez facilement, à partir du graphique ci-contre que : T(1; 0) = (cos q; sin q) et T(0; 1) = (–sin q; cos q) cos q –sin q La matrice est donc : T = sin q cos q

Conclusion La translation d’un objet dans le plan ou dans l’espace se décrit par l’addition d’un vecteur à l’ensemble des vecteurs position des points de cet objet. La déformation d’un objet conservant la linéarité l’alignement de points se fait par une transformation linéaire, ce qui se traduit algébriquement par le produit de matrices. Une transformation conserve la linéarité lorsque les images de points alignés sont des points alignés. Il y a des transformations plus complexes des objets qui font appel à des outils mathématiques plus sophistiqués.

Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 7.3, p. 195 à 202. Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 7.4, p. 211 no. 1 à 19