L’objectif est de passer d'un système d'équations aux dérivées partielles (EDP) à la formulation variationnelle du problème (équation intégrale) La présentation est animée, avancez à votre vitesse par un simple clic Les formulations variationnelles sont la base de la MEF elles sont présentées dans le chapitre 4 du cours. Bonne lecture

Méthodes d’approximation : généralités Système physique continu (EDP) Formes différentielles Problème aux limites Mise en équations formulation mathématique du problème Résidus pondérés Discrétisation Formes intégrales Système physique discret Discrétisation du milieu Méthodes des éléments finis Formulation mathématique du problème (éq. de Lagrange) Méthodes Numériques Formulation mathématique du problème (PTV) Forme Variationnelle forme matricielle

Modèle math. posé sur un domaine continu Résidus Pondérés : Modèle math. posé sur un domaine continu  Système d’équations différentielles "EDP" Conditions aux limites Si u solution approchée R(u) : résidu (erreur commise) Résoudre sur D fonction de pondération Annulation du Résidu pondérée sur le domaine 1ère forme intégrale Ne tient pas compte des conditions aux limites du problème Il faudra utiliser une approximation qui vérifie les CL

Comment construire un système matriciel ? Fcts de forme Paramètres Soit une approximation à n paramètres: est une équation à n inconnues Comment construire un système matriciel ? En satisfaisant l’équation pour un nombre fini de fct de pondération Système matriciel Attention u* doit vérifier toutes les conditions aux limites en pratique c’est impossible pour un Pb de l’ingénieur

Formulation variationnelle Problème aux limites Formulation variationnelle 1 Objectif : transformer la Formulation variationnelle 1 pour faire apparaître les CL Fv 1 Fv 2  TH d'Ostrogradsky intégration par parties Fait apparaître les CL sur les « flux » : dérivées spatiales de u

Écoulement d'un fluide visqueux incompressible dans une conduite Applications Écoulement d'un fluide visqueux incompressible dans une conduite Conduction thermique dans un milieu homogène isotrope Avec des applications aux modèles de l’ingénieur barre & poutre : pour faire le lien avec les premiers chapitres contraintes et déformations planes (élasticité 2D) problèmes à symétrie de révolution Formulations variationnelles en mécanique Toutes ces Formulations Variationnelles sont directement utilisables dans la Méthode des Éléments Finis