Résoudre des problèmes numériques en maternelle Octobre-novembre 2011 Circonscription de Limoux

Plan de l’animation 1. Que nous disent les programmes? 2. Que mettons-nous en œuvre dans les classes?: échange de pratiques par groupe de 4 ( 1 rapporteur par groupe) 3. Mise en commun 4. Apports théoriques PAUSE

5. Présentation, analyse de situations problèmes 6. Quelle progression au cours de la maternelle? 7. Quelle évaluation? 8. Résolution de problèmes et langage 9. Outils des élèves CONCLUSION

Les programmes de l’école maternelle

6 domaines d’activités à l’Ecole Maternelle S’approprier le langage Découvrir l’écrit Devenir élève Agir et s’exprimer avec son corps Découvrir le monde Percevoir, sentir, imaginer, créer

Découvrir le monde À l’école maternelle, l’enfant découvre le monde proche ; il apprend à prendre et à utiliser des repères spatiaux et temporels. Il observe, il pose des questions et progresse dans la formulation de ses interrogations vers plus de rationalité. Il apprend à adopter un autre point de vue que le sien propre et sa confrontation avec la pensée logique lui donne le goût du raisonnement. Il devient capable de compter, de classer, d’ordonner et de décrire, grâce au langage et à des formes variées de représentation (dessins, schémas). Il commence à comprendre ce qui distingue le vivant du non-vivant (matière, objets).

5 sous-domaines Découvrir les objets Découvrir la matière Découvrir le vivant Découvrir les formes et les grandeurs Approcher les quantités et les nombres

Approcher les quantités et les nombres Dès le début, les nombres sont utilisés dans des situations où ils ont un sens et constituent le moyen le plus efficace pour parvenir au but : jeux, activités de la classe,problèmes posés par l’enseignant de comparaison, d’augmentation, de réunion, de distribution, de partage. La taille des collections, le fait de pouvoir agir ou non sur les objets sont des variables importantes que l’enseignant utilise pour adapter les situations aux capacités de chacun. À la fin de l’école maternelle, les problèmes constituent une première entrée dans l’univers du calcul mais c’est le cours préparatoire qui installera le symbolisme (signes des opérations, signe “égal”) et les techniques.

Les compétences numériques à la fin de l’école maternelle comparer des quantités, résoudre des problèmes portant sur les quantités ; mémoriser la suite des nombres au moins jusqu’à 30 ; dénombrer une quantité en utilisant la suite orale des nombres connus ; associer le nom de nombres connus avec leur écriture chiffrée ;

Echange de pratiques Quelle place accordez-vous à la résolution de problèmes numériques dans l’emploi du temps? Quelles situations mettez-vous en place? Quels outils utilisez-vous? (livres, jeux, etc.) Quelles sont les questions que vous vous posez?

Mise en commun

Faisons le point Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Télé Formation Mathématiques

1/ Donner du sens au nombre c’est savoir dénombrer les objets d’une collection. 2/ Tant que l’élève n’a pas conscience de la conservation de la quantité il est trop tôt pour lui donner des problèmes à résoudre. 3/ Les exercices sur fiches polycopiées sont un bon moyen pour évaluer les connaissances des élèves relatives aux nombres. 4/ Les problèmes de division ne relèvent pas de l’école maternelle.

5/ Pour utiliser correctement une frise numérique pour additionner ou soustraire, il est utile de savoir se déplacer sur une piste du type jeu de l’oie. 6/ Comprendre qu’un nombre peut être pensé comme « un de plus » que son précédent joue un rôle important dans l’acquisition des nombres. 7/ Il ne faut pas laisser les élèves compter sur leurs doigts.

8/ Quelles sont les différentes fonctions des nombres qui doivent être travaillées dès la maternelle à travers la résolution de problème ? 9/ Quelles procédures permettent de comparer des collections d’objets du point de vue de la quantité d’objets qu’elles contiennent ? 10/ Quels types de problèmes préparant l’apprentissage du calcul peut-on donner en GS ?

Qu’est ce qu’un problème?

« Par problème, il faut entendre dans le sens large que lui donne le psychologue, toute situation dans laquelle il faut découvrir des relations, développer des activités d’exploration, d’hypothèses et de vérification pour produire une solution. » G.VERGNAUD

« Un problème est généralement défini comme une situation initiale avec un but à atteindre, demandant au sujet d’élaborer une suite d’actions ou d’opérations pour atteindre ce but. Il n’y a problème que si la solution n’est pas disponible d’emblée mais possible à construire. C’est dire aussi qu’un problème pour un sujet donné peut ne pas être un problème pour un autre sujet, en fonction de leur développement intellectuel par exemple. » J.BRUN

 Un problème c’est une situation « résistante »  La solution n’est pas disponible tout de suite, mais est à possible à construire

Est-ce un problème? Situation A: 1 gobelet contenant 5 jetons. On le retourne et on demande: combien y-a-t-il de jetons? Puis on retourne un gobelet contenant 3 jetons : combien y-a-t-il de jetons? Combien y-a-t-il de jetons en tout sur la table?

Le réel est présent : l'enfant ne fait que dénombrer La réponse fait partie de la consigne: l'enfant ne peut pas faire autre chose que dénombrer.

Est-ce un problème? Situation B 1 gobelet avec 5 jetons. On le retourne et on demande combien il y a de jetons. Puis on remet les jetons dans le gobelet et on retourne celui avec 3 jetons. Alors on demande combien il y a de jetons puis on les remet dans le gobelet (l'information a disparu) et on demande : Maintenant peux-tu me dire combien de jetons sont cachés dans mes gobelets ?

L’élève doit mettre en œuvre des procédures mathématiques parce que: Le réel s’est estompé (cela pose le problème de la manipulation, cf. Goigoux) Le sujet est obligé d’anticiper une réponse La procédure est à la charge du sujet: l’enfant doit retenir mentalement La validation reste possible par le retour au réel L’enfant est obligé de symboliser la situation, de se créer une image mentale

Il ne suffit pas de poser un problème à un enfant pour qu’il s’engage dans une activité de type mathématique. La manipulation est absolument nécessaire mais la construction mathématique ne commence qu’à partir du moment où le réel s’estompe. Les enfants sont obligés de manipuler mais quand ils manipulent ils n’apprennent pas.  nécessité de mettre en place des situations qui mettent le matériel à distance après une phase d’appropriation. (ex. avec 2 dés) C’est parce que l’enfant est privé de la possibilité d’agir directement sur les objets, parce qu’on l’oblige à la réflexion qu’on lui permet d’amorcer une activité de type mathématique Ce qui crée les conditions de l’activité mathématique c’est d’anticiper une réponse plus que de la constater. La réponse ne doit pas être disponible immédiatement tout en étant possible à surmonter.

Plusieurs types de problèmes à l’école élémentaire A l’école élémentaire, il existe quatre types de problèmes : Problèmes de découverte (qui nécessitent que l’enfant, en interaction avec les autres, construise de nouveaux savoirs) Problèmes d’application dans un contexte restreint (qui permettent l’entrainement de ces nouveaux savoirs) Problèmes complexes (qui permettent de mettre en oeuvre les découvertes ou qui contiennent plusieurs étapes) Problèmes pour chercher

A l’école maternelle Seulement 2 catégories de problèmes les problèmes pour apprendre : on vise des connaissances les problèmes pour chercher : on développe l’esprit logique

Les problèmes numériques Ils vont aider à la construction du nombre et permettre de comprendre que le nombre sert à: 1. mémoriser les quantités pour construire des collections 2. comparer les quantités 3. agir sur les quantités (calcul)  Proposer des situations dans lesquelles les nombres sont des outils.

Quels types de situations ?

Construites par l’enseignant(e) : Rituelles : elles se répètent régulièrement voire quotidiennement, par nécessité, par convention sociale (dénombrement des présents et des absents…) Fonctionnelles : pas forcément quotidiennes, mais incluses dans l’organisation et la réalité de la vie de la classe (distribution du matériel, mise au point d’une sortie…) Construites par l’enseignant(e) : ce sont des situations dont l’enjeu est un apprentissage ciblé et voulu, par rapport à des compétences des I.O.

Quelles démarches?

Spécificités de la situation problème  Phase d’appropriation: l’enfant doit clarifier dans sa tête le but à atteindre (la dévolution du problème)  Phase de mise en confiance: inviter l’enfant à accepter de se tromper et à réessayer. L’élève doit être amené à repérer ses erreurs pour pouvoir modifier sa démarche.  Phase de recherche, mise en situation: la solution n’est pas disponible d’emblée. L’élève doit savoir que dans le respect des contraintes de la situation, il peut élaborer sa propre méthode de résolution: favoriser les démarches personnelles. Le même problème peut être résolu par des moyens différents.

 Phase de verbalisation: Importance des échanges entre enfants et de la verbalisation des procédures. Inviter l’élève à prendre du recul, à réfléchir à ce qu’il a fait, à verbaliser ce qu’il a fait, à s’intéresser aux procédures des autres,… pas facile en maternelle…  Phase de validation: Important que l’élève puisse juger par lui-même de la pertinence de sa réponse. Le retour aux objets afin de contrôler la validité de la réponse anticipée est un moment fondamental. Situations auto – validantes

Quelles tâches?

Les élèves doivent s’approprier le problème.  Favoriser l’acceptation de la tâche par l’élève. Faire émerger l’évidence du caractère fonctionnel de la tâche Par la dimension ludique Par le recours à des médiateurs (album, livre à calculer…) Mise en scène, théâtralisation du problème

Des tâches  Qui forcent les opérations mentales, en mettant à distance les procédures sensori-motrices.  Qui sont anticipatrices sur le réel. Il faut donc mettre en place des contraintes qui incitent les élèves à anticiper.  Qui permettent aux élèves de choisir leurs procédures, de les essayer, d’en mesurer si possible leur pertinence, de les rejeter si nécessaire

Quelles procédures ? Les procédures, mises en œuvre par les élèves, peuvent être « débrouillardes », «personnelles », essais-ajustement. Il faut réhabiliter l’idée du tâtonnement . Les mathématiques, c’est aussi tâtonner… L’enseignant (ou l’ATSEM) en faisant «  à la place de l’élève » condamne la procédure par essai et ajustements. Aucune procédure experte ne doit être introduite…Que l’enfant n’arrive pas à la solution experte n’est pas un problème. L’important c’est qu’il s’engage et trouve la solution.

Quels matériels et supports ? Les supports et les milieux organisés doivent, le plus souvent, être composés de matériels effectifs. Les moments réservés à la feuille de papier (espace graphique) doivent être rares et ciblés (travail en autonomie, par exemple, schématisation d’une situation concrète vécue.)…

Présentation de situations problèmes

Typologie de problèmes numériques à l’école maternelle Typologie de problèmes numériques à l’école maternelle Groupe maternelle 11

Réalisation d’une collection équipotente. Aller chercher juste ce qu’il faut de voyageurs pour remplir la voiture. Transformation de collection. J’ai 6 billes j’en perds deux J’ai 6 ans. Quel âge aurai-je dans deux ans ? Transformation de position Je me déplace sur la bande numérique, sur quelle case vais-je arriver ? Réunion de collections Deux billes dans une main trois dans l’autre. Comparaison d’état Ai-je, trop, pas assez ou exactement ce qu’il faut de bouchons pour fermer chacune des bouteilles ? Partage et distribution. Partager équitablement un petit nombre d’objets Partages inexacts Distribution de collection. Problèmes multiplicatifs Aller chercher les queues, oreilles, pattes nécessaires pour reconstituer un animal, en plusieurs voyages, en un seul. Recherche d’un complément. Trouver le cardinal de la partie cachée Complément à 5, à 10.

Problèmes : situations de référence et variables didactiques

COLLECTION ÉQUIPOTENTE à une collection donnée La collection donnée est composée d’objets : non déplaçables disposés dans des configurations non usuelles Chez l’enfant de PS, l’apparence des collections domine la notion de quantité. Par ce genre d’activité, l’enfant est amené à prendre en compte la quantité (il devra à terme compter les objets de la collection donnée pour réussir l’activité), à utiliser la correspondance terme à terme et à constituer une collection.. Habillage de la situation boîte d’œuf et forme quadrillée et carrés de papiers couleur petits objets et cartes constellation COLLECTION ÉQUIPOTENTE à une collection donnée Aller chercher juste ce qu’il faut de voyageurs pour remplir la voiture

Combien de jetons dans la boîte opaque? Augmentation : Il y a x jetons dans la boîte, j’en ajoute y. Réunion : Je mets x jetons et tu mets y jetons. x≤5 et y≤5 →possibilité d’utiliser les doigts x≥5 et x+y≤10 →possibilité d’utiliser les doigts x≥10 et y≤5 →utilisation du surcomptage x>10 et y≤10 x+y≤20 →utilisation du surcomptage Habillage de la situation œufs marrons fruits légumes cailloux perles Habillage de la situation boîte d’œuf panier qui ferme coffre du trésor LA BOITE Combien de jetons dans la boîte opaque? Diminution : Il y a x jetons dans la boîte, j’en enlève y. x≤5 et y=1 →possibilité d’utiliser les doigts ou décompter x≤5 et y≤5 →possibilité d’utiliser les doigts x≤10 et y≤5 →utilisation des deux mains x≤10 et y≤10 →utilisation des deux mains x≤20 et y≤5 →utilisation de jetons ou décomptage x≤20 et y≤10 →utilisation de jetons ou décomptage

Sur quelle case arrive le pion ? Transformation de position : Je suis sur la case x et j’avance de y cases. Un dé ou une carte nombre donne la valeur de l’avancement. x=0 et y≤10 →pistes parallèles : 1 lancer de dé = 1 course x≥40 et y≤2 →utilisation des doigts ou du surcomptage x≥40 et y≤5 → utilisation des doigts ou du surcomptage x≥40 et y≤10 →utilisation des doigts ou du surcomptage x≥40 et y≤10 →utilisation du surcomptage Habillage de la situation visiter chercher une adresse rebrousser chemin Habillage de la situation les maisons dans la rue le facteur le promeneur LA PISTE Sur quelle case arrive le pion ? Transformation de position : Je suis sur la case x et j’avance ou je recule de y cases selon les indications des dés ou des cartes. Mêmes variables mais utilisation possible du décomptage pour trouver la position après le recul.

Combien de bouquets de y fleurs puis-je constituer avec n fleurs ? Distribution et partage : J’ai n fleurs. Je veux faire des bouquets de y fleurs. Combien de bouquets puis-je faire ? x n est un nombre multiple de y et il n’y aura pas de reste n n’est pas un nombre multiple de y et il y aura un reste y=2 on travaille les doubles . Habillage de la situation remplir les voitures les sacs de bonbons les parts de trésor les colliers de perles LES BOUQUETS DE FLEURS Combien de bouquets de y fleurs puis-je constituer avec n fleurs ?

Il y a x bouchons et y bouteilles. x=y : il y en a autant Comparer deux états : Il y a x bouchons et y bouteilles. x=y : il y en a autant x>y →il y a n= x-y bouchons de plus x<y →il y a n= y-x bouchons de moins Pour trouver n : Utiliser la correspondance terme à terme. Utiliser la bande numérique. Habillage de la situation Casquettes et bonhommes Enfants et cadeaux Stylos et capuchons Enfants et cerceaux BOUTEILLES ET BOUCHONS Combien y a-t-il de bouchons de plus ou de moins que de bouteilles ?

Problèmes multiplicatifs: Il y a n cochons qui rient ; il faut les reconstituer. 2≤ n ≤4 Plusieurs voyages sont autorisés. Réussir à construire la collection en un seul voyage Habillage de la situation • Crête et pattes de coq • Chapeau et chaussures de poupées • Queue, oreilles et pattes de lapins • Antennes et pattes du scarabée LE COCHON QUI RIT Combien de queues, d’oreilles et de pattes pour reconstituer n cochons ?

Trouver combien (y) de poules sont cachées dans le poulailler. Trouver un complément : n≤10 n=5 n=10 (décomposition de 5 et 10 utile pour le CP) Donner x≤10 Commencer par x≥y puis l’inverse. Habillage de la situation Colliers à compléter Enfants répartis entre dortoir et salle de classe Bougies et gâteau LES POULES CACHEES DANS LE POULAILLER Il y a n poules dans la ferme. Il y en a x dans la cour et y dans le poulailler (cachées). Trouver combien (y) de poules sont cachées dans le poulailler.

Quelle progression?

Progression résolution de problèmes numériques Situations problèmes PS MS GS Constituer une collection équipotente : Mettre un seul jeton par boîte. Collection ≤5 Objets déplaçables, visibles Plusieurs, puis un seul trajet Collection ≤10 Objets déplaçables ou non, visibles ou non Collection ≤30 Objets déplaçables ou non, non visibles Réunion d’état, augmentation, diminution Combien de jetons dans la boîte ? Résultat ≤ 3 Résultat ≤ 10 (minimun 6) Résultat ≤ 20 Transposition de position : Sur quelle case arrive le pion ? Avancer de 1 en 1 Avancer jusqu’à 6 Avancer et reculer (Jusqu’à 6) Comparaison d’état : Combien y-a-t-il de bouchons de plus ou de moins que de bouteilles ? Milieu moyenne section Ecart ≤ 3 Ecart ≤ 10 Distribution et partage : Combien de bouquets de fleurs puis-je constituer avec n fleurs ? Partages inéquitables : répartir les poupées dans les chambres. Aucune chambre vide. Partages équitables : sans reste. Partages équitables : sans ou avec reste. Multiplication : Combien de chapeaux et souliers pour habiller les Mathoeufs ? Habiller deux « cochons qui rient » ou plus. Plusieurs ou un seul trajet. Trouver un complément : Il y a 5 places dans la voiture. Une personne est assise, combien y-a-t-il de places libres ? Varier le nombre de personnes assises et l’enfant ne peut pas dénombrer pour trouver la solution. Même activité avec une boîte de 10 œufs.

Petits mots : pronoms, adverbes Lexique Situation problème Petits mots : pronoms, adverbes verbes noms Constitution de collections équipotentes Juste ce qu’il faut, exactement ce qu’il faut, assez, pas assez, combien (à ne pas dire au départ) Aller chercher, remplir, mettre, se rappeler, ne pas oublier, retenir Aller, retour, trajet, voyage Réunion, augmentation, diminution Combien, en tout, ensemble, en plus, en moins Mettre, compter, ajouter, enlever, additionner, soustraire, ôter, retrancher, rester total, en totalité, En fonction du matériel utilisé : jeton, pion Transformation de position Avant, après, entre, juste avant, juste après, un de plus, un de moins, plus loin, plus près, premier, deuxième, troisième Avancer, reculer, lancer le dé, lire le dé, partir, arriver, attendre son tour, passer son tour, jouer, sauter, aller Face du dé, point, constellation, case, chiffres (sur le dé), départ, arrivée Comparaison de deux états De plus, de moins, plus que, moins que, beaucoup, peu, pas beaucoup, plus grand, plus petit, combien, autant que, pareil, pas pareil, le même Comparer, avoir, faire correspondre, manquer, falloir L’écart entre, la différence Distribution et partage Combien, autant, pareil Pouvoir, distribuer, faire, constituer, donner, rester, répartir, En fonction du matériel utilisé : voiture, trésor… Paquet, groupe, part, partie, reste Résolution de problèmes multiplicatifs Combien, plusieurs, juste (ce qu’il faut), à chacun, assez, suffisamment Reconstituer, mettre, falloir, aller chercher Trouver un complément Combien, nécessaire, juste ce qu’il faut Cacher, répartir, compter, mettre, manquer, ajouter, compléter, voir, falloir En fonction de la situation

Pour conclure Pour mettre en place des situations de résolution de problème, il faut: ►un climat favorable: droit à l’erreur ►un investissement personnel dans l’action ► une situation qui permette de résoudre le problème par l’action ► des temps de formulations et de vérifications d’hypothèses ► des temps de formalisation guidés par l’enseignant (mise en mots de la situation)

1/ Donner du sens au nombre c’est savoir dénombrer les objets d’une collection. FAUX. S’il est nécessaire d’enseigner la comptine numérique et les techniques de dénombrement, cela n’est pas suffisant pour donner du sens aux nombres. Il ne s’agit pas seulement de faire en sorte que les élèves connaissent la suite des nombres et sachent dénombrer des collections. Il est plus essentiel encore de les aider à prendre conscience de l’utilité des nombres, du pouvoir qu’ils donnent dans la maîtrise de certaines situations et la résolution de certains problèmes. Les nombres doivent donc devenir des outils efficaces pour résoudre des problèmes mais aussi pour contrôler une réponse et débattre de sa validité.

2/ Tant que l’élève n’a pas conscience de la conservation de la quantité il est trop tôt pour lui donner des problèmes à résoudre. FAUX. La conservation des quantités n’est plus considérée aujourd’hui comme un pré-requis aux activités numériques. Cependant, les raisonnements implicites ou explicites que doit mener l’élève pour se convaincre de l’invariance de la quantité d’objets quand on les éloigne, qu’on les rapproche, ou qu’on les empile participent à la construction des concepts de quantité et de nombre. Cette compétence se construit principalement au travers de la résolution de problèmes.

3/ Les exercices sur fiches polycopiées sont un bon moyen pour construire et évaluer les connaissances des élèves relatives aux nombres. FAUX. Pour différentes raisons. Ces exercices sur fiches introduisent des sources de difficultés parasites dues aux difficultés de l’écrit, au repérage dans l’espace de la feuille, à la perte de vue de la consigne à cause d’une centration sur des tâches pratiques comme le coloriage ou le collage de gommettes, etc. D’autres part, la perception de la quantité ne peut se construire qu’avec des activités dans lesquelles les élèves manipulent les objets de différentes collections pour pouvoir, à terme, comprendre que 4 pommes, 4 crayons ou 4 enfants c’est la même quantité. Par ailleurs, le dénombrement par comptage un par un est plus aisé lorsque les objets sont déplaçables et que, ainsi, les objets déjà comptés peuvent être isolés des objets qui restent à compter. Enfin, les potentialités des nombres ne peuvent être comprises par les élèves qu’à travers la résolution de problèmes concrets dans lesquelles les collections ne sont plus manipulables ou visibles, mais peuvent être mises à disposition au moment de la validation de la réponse

4/ Les problèmes de division ne relèvent pas de l’école maternelle. Faux. Des problèmes de distribution et de partage peuvent être proposés en Grande Section. Ils seront résolus en manipulant les objets de la collection en jeu, en mimant la situation avec des objets ou par un dessin. Ces résolutions permettront de forger les images mentales des procédures de distribution ou de partage et éventuellement de mémoriser quelques premiers résultats. Pour autant, il ne s’agit pas d’enseigner la division précocement, mais de proposer des problèmes qui, plus tard, permettront de mieux comprendre cette opération difficile.

5/ Pour utiliser correctement une frise numérique pour additionner ou soustraire, il est utile de savoir se déplacer sur une piste du type jeu de l’oie. Vrai. La bande numérique peut être assimilée à une piste de jeu type jeu de l’oie. Ces jeux peuvent aider à la prise de conscience que plus un nombre est loin sur la bande numérique plus il est grand, peuvent aussi aider au surcomptage et décomptage sur la frise en évitant les erreurs courantes : piétinement, enjambement de cases, non adéquation entre le geste et l’énonciation de la comptine, poursuite au-delà du nombre désiré (pour ajouter 4, l’élève continue à surcompter au-delà de 4).

6/ Comprendre qu’un nombre peut être pensé comme « un de plus » que son précédent joue un rôle important dans l’acquisition des nombres. Vrai. Il est important de construire les relations arithmétiques entre les nombres, en particulier de faire prendre conscience qu’un nombre c’est un de plus que son précédent. Certains enfants  ne parviennent, par exemple, que tardivement à affirmer directement que 5 plus 1, c’est 6 sans afficher 5 doigts et 1 doigt pour recompter tous les doigts levés.

7/ Il ne faut pas laisser les élèves compter sur leurs doigts. Faux. Des travaux récents révèlent une corrélation entre les performances perceptivo-tactiles des enfants et leurs performances futures en calcul. Ils conduisent à émettre l’hypothèse selon laquelle, dans le domaine des nombres, le passage à l’abstraction et le développement du calcul seraient facilités par l’habileté développée dans l’usage des doigts. En effet certaines de ces recherches montrent que la qualité de la représentation des doigts augure des réussites arithmétiques.

8/ Quelles sont les différentes fonctions des nombres qui doivent être travaillées dès la maternelle à travers la résolution de problème ? On peut retenir trois grandes classes de problèmes dans lesquelles le nombre a des fonctions différentes qui doivent être reconnues par les élèves : - Les problèmes dans lesquels les nombres sont utilisés comme mémoire d’une quantité ou mémoire d’une position sur une piste graduée. - Les problèmes de comparaison de collections ou de positions. - Les problèmes d’anticipation du résultat d’une action (regroupement de collections, augmentation ou diminution de quantités, partage ou distribution de collections, déplacements sur une piste…) qui seront résolus plus tard par le calcul. Les nombres prendront leur sens lorsque les objets des différentes collections ne seront plus disponibles pour la résolution du problème posé.

9/ Quelles procédures permettent de comparer des collections d’objets du point de vue de la quantité d’objets qu’elles contiennent ? Lorsque les objets des collections sont similaires et les quantités nettement différentes, la perception immédiate (subitizing ou estimation) permet de comparer les cardinaux des deux collections, le subitizing permettant de comparer des collections de moins de cinq objets. La perception peut aussi reposer sur la reconnaissance de constellations du dé si les objets sont disposés ainsi. Si les cardinaux sont trop proches ou supérieurs à cinq, la correspondance terme à terme permet la comparaison. Attention toutefois, les élèves peuvent avoir des difficultés à faire certains appariements. Par exemple, ils associeront bien plus facilement 4 boutons aux 4 points d’une constellation que 4 camions à ces mêmes points. Si les collections sont importantes, on peut procéder à une correspondance paquet par paquet avec des paquets égaux dans chacune des deux collections. Si la disposition, l’éloignement et la quantité des objets ne permettent plus les procédures précédentes, alors le dénombrement devient nécessaire. Les nombres sont alors utilisés pour comparer les cardinaux. Cette comparaison peut se faire en utilisant la suite numérique (plus le nombre est loin dans la suite plus il est grand) et en élémentaire, en ayant recours à l’écriture chiffrée des nombres, comparaison basée sur les connaissances en numération (23 c’est plus que 17 car 2 dizaines c’est plus qu’une seule).

10/ Quels types de problèmes préparant l’apprentissage du calcul peut-on donner en GS ? Plusieurs types de problèmes peuvent être traités : -  des problèmes de regroupement de collections dans lesquels on s’interroge sur la quantité d’objets de la nouvelle collection ainsi obtenue ou sur le nombre d’objets à ajouter pour obtenir la quantité souhaitée ; -  des problèmes d’augmentation ou de diminution de quantités dans lesquels l’élève doit prévoir la quantité d’objets que contiendra la collection lorsqu’on aura soit ajouter soit enlever n objets. -  des problèmes de partage ou de distribution de collections. Il s’agit de trouver le nombre de parts connaissant la valeur d’une part (partage) soit, à l’inverse, de trouver la valeur d’une part connaissant le nombre de parts (distribution) avec ou sans reste. On peut aussi proposer des situations de partage en parts inégales. -  des problèmes liés à des déplacements sur une piste graduée : où arrive-t-on si on avance ou on recule de n cases ? De combien de cases et dans quels sens faut-il se déplacer pour arriver sur telle graduation ? Ces problèmes doivent permettre de construire des procédures mentales de résolution à partir de procédures moins expertes comme le dénombrement. L’objectif est de favoriser le passage des procédures faisant appel au matériel ou au dessin aux procédures faisant appel à des outils.

Bibliographie Situation problème Références Constitution de collections équipotentes Le nombre au cycle 2, CNDP, en ligne sur Eduscol, p27, 28 Vers les maths, Accès Editions, PS,MS, GS Découvrir le monde des mathématiques, D. Valentin Réunion, augmentation, diminution Apprentissages numériques en GS, ERMEL, Hatier Transformation de position Le nombre au cycle 2, CNDP, en ligne sur Eduscol, p37 Voir module Comparaison de deux états Premiers pas vers les maths, Rémi Brissiaud, Retz, 2007 Distribution et partage Découvrir le monde des mathématiques, D. Valentin (le dortoir) Vers les maths, Accès Editions, GS (les pots et les bulbes) Résolution de problèmes multiplicatifs Découvrir le monde des mathématiques, D. Valentin (poules et lapins) Vers les maths, Accès Editions, GS (les maisons et les cadeaux) Trouver un complément Guide du maître, l’album à calculer, Rémi Brissiaud, Retz Découvrir le monde des mathématiques, D. Valentin (jeux de cartes) Vers les maths, Accès Editions, GS (l’arbre à feuilles) Module le complément à 5

Liste des outils ressources Matériel de récupération : Boîtes d’œufs, boîtes à chaussures, boîtes d’allumettes, barquettes de la cantine, jetons, bouchons, boutons, marrons, cailloux, perles, bouteilles, feutres et capuchons, pots de yaourt. Matériel et jeux du commerce : Matériel du coin cuisine (vaisselle, aliments), pièces de monnaie du coin marchande. Jeux de plateau (jeux de l’oie, petits chevaux…) Jeux de cartes Dominos, triominos L’arbre aux cerises (Jocatop) Atelier de résolution de problèmes (Jocatop) Mathoeufs (Asco-Celda) Jeu de voitures (Asco-Celda) Cubes à empiler pour construire des tours. Millemaths Gs Boite Activites 1, Jean-Luc Bregeon L’album à calculer de Rémi Brissiaud, Retz Numéris (Atelier de l’Oiseau Magique) CD-ROM « jeux mathématiques à l’école maternelle » AGEEM

Albums : Les 10 petits cochons sales, Carol Roth, Editions Nord-Sud La chèvre qui savait compter jusqu’à 10, Alf Proysen, l’école des loisirs Maman, Mario Ramos, Pastel, l’école des loisirs La Famille Souris, Kazuo Iwamura, Ecoles des Loisirs (Série d’environ 10 albums avec 10 souriceaux. Les doubles pages permettent de travailler sur la décomposition du nombre, les compléments à dix, les groupements de 10.) Comptines : Un éléphant se balançait… (ajouter 1) Ils étaient cinq dans le lit… (enlever 1) Les petits lapins

FIN