Chapitre 5: Propriétés des systèmes optiques

5.1 Foyers Le faisceau lumineux issu d’un point objet situé à l’infini est un faisceau parallèle. Si ce point objet est sur l’axe optique du système optique, ce faisceau est parallèle à l’axe optique. Foyer objet (F): Point de l’axe optique conjugué d’une image réelle située à l’infini sur l’axe optique Foyer Image (F’): Point de l’axe optique conjugué d’un objet réel situé à l’infini sur l’axe optique

Foyers Objet à l’ Image à l’

5.2 Plans focaux Plan Focal Image (F’) : Plan perpendiculaire à l’axe optique passant par le foyer image F’ : c’est l’ensemble des points conjugués des points objets situés à l’infini. Tout faisceau parallèle mais non parallèle à l’axe optique converge en un point du plan focal image hors de l’axe optique (différent du foyer image).

5.2 Plans focaux Plan Focal Objet (F) : Plan perpendiculaire à l’axe optique passant par le foyer objet F : c’est l’ensemble des points conjugués des points images situés à l’infini. Tout faisceau passant en un point du plan focal objet donnera après traversée du système optique un faisceau parallèle mais non parallèle à l’axe optique.

5.3 Grandissement On considère un système optique (SO) donnant l’image A’B’ d’un objet AB. Les points A et A’ appartiennent à l’axe optique et on admet que les conditions de Gauss sont vérifiées (petits objets, petits angles).

Grandissement Grandissement linéaire : On appelle grandissement linéaire le rapport algébrique de la taille de l’image sur la taille de l’objet. On appelle aussi g le grandissement transversal Grandissement angulaire On appelle grandissement angulaire le rapport algébrique de l’angle du rayon émergent sur l’angle du rayon incident. On appelle aussi G le rapport de convergence.

On utilisera les conventions de signe suivantes : Grandissement On utilisera les conventions de signe suivantes :

5.4 Aplanétisme Le stigmatisme rigoureux assure qu’un objet ponctuel donne une image ponctuelle à travers le système optique. Cependant, les objets sont usuellement étendus. Aplanétisme Un système optique est aplanétique si un objet plan, perpendiculaire à l’axe optique donne une image plane perpendiculaire à l’axe optique.

Aplanétisme On admet les conditions de Gauss vérifiées (petits objets, petits angles). On démontre alors la relation d’Abbe : Une condition d’aplanétisme selon l’axe optique peut aussi être définie. C’est la relation de Herschel :

Démonstration de la relation d’Abbe: Les chemins optiques sont : L(AA’) = n AI + L(II’) + n’ I’A’ L(BB’) = n BJ + L(JJ’) + n’ J’B’ mais d’après les conditions de Gauss, on a aussi L(AA’) = L(BB’) + dL En admettant aussi le stigmatisme approché, tout rayon issu du point objet B parvient au point image B’, en particulier le rayon issu de B et incident sur le dioptre en I, émergent en I’ et arrivant en B’. Dans ce cas, le chemin optique L(BB’) s’écrit : L(BB’) = n BI + L(II’) + n’ I’B’

Démonstration de la relation d’Abbe: Et donc pour la différence de chemin dL  = L(AA’) – L(BB’): dL = n AI + L(II’) + n’ I’A’ - n BI - L(II’) - n’ I’B’ = n (AI – BI) + n’ (I’A’ – I’B’) Au 1er ordre (approximation de Gauss) nous avons : AI – BI ~ AH = AB cos(p/2 - a) = AB sin a De même on obtient I’A’ – I’B’ ~ H’A’= A’B’ cos(p/2 - a') = - A’B’ sin a' H H’

Démonstration de la relation d’Abbe: Finalement, on obtient pour la différence de chemin optique : dL = n AB sin a - n’ A’B’ sin a’ Pour tout point B du plan objet, le point B’ sera dans le plan image si cette différence de chemin optique est constante. On écrit donc : dL = Constante Cette constante peut donc être calculée en un point particulier, par exemple pour a = a’ = 0. Il vient alors : dL = n AB sin a - n’ A’B’ sin a' = 0 Cette relation est connue sous le nom de relation d’Abbe.

5.5 Invariant de Lagrange-Helmholtz Avec les deux relations de grandissement : On peut écrire la relation d’Abbe appliquée aux distances AB etA’B’ et aux angles u et u’ en utilisant l’approximation de Gauss: il vient finalement la relation simple:

H H’

Démonstration de la relation de Herschel : B’ A B A’ H’

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