CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D' INÉQUATIONS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Les inéquations Une inéquation prend forme lorsqu’on est en présence d’une inégalité entre deux quantités algébriques. Exemples: ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Les symboles   ≤ ≥ Symboles Signification Plus petit que… Inférieur à…  Plus grand que… Supérieur à… ≤ Plus petit ou égal à… Inférieur ou égal à… Au plus… Au maximum ≥ Plus grand ou égal à… Supérieur ou égal à… Au moins… Au minimum Exemples: 1. « Une équipe de natation admet un maximum de 15 membres. Cette année, le nombre de filles est supérieur au nombre de gars. » _____________________________ _____________________________ 2. « Pierre a décidé de planter des épinettes et des sapins sur sa terre. Il ne croît pas être capable de planter plus de 1000 arbres et il désire que le nombre de sapins soit supérieur au double du nombre d’épinettes. »

Les règles de transformation Lorsqu’on cherche à résoudre une inéquation, il importe de respecter quelques règles afin de conserver des inéquations équivalentes à la première, c’est-à-dire qui conserve le même ensemble-solution. N’oubliez pas le principe de la balance ! Exemples : Note : ________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Représentation graphique Comment s’y prendre !? Isoler le « y » ( toujours le garder positif ! ) Tracer deux points ( aidez-vous d’une table de valeur ) Tracer la droite : Pleine : ≤ , ≥ Pointillée :  ,  Hachurer la bonne section ( ) Exemple : Trace la solution de l’inéquation suivante: 2x + 3y  8x + 9

Et la solution !? On est en présence d’un système : Même démarche que l’on répète deux fois !!! La solution est la section hachurée par toutes les inéquations en même temps ! Exemple : Trace le système d’inéquations suivant: Exemple :

Exemples : Trace les systèmes d’inéquations suivant : 1. 2.

Polygone de contraintes Qu’est-ce que c’est !? « Il s’agit de traduire toutes les contraintes d’une même situation dans un plan cartésien. À l’aide des inégalités, on repère le polygone de contraintes qui contient toutes les parties ombragées de chacune des contraintes1. » Exemple : Trace le polygone de contraintes du système d’inéquations suivant. 1. 1 Sylvain Lacroix 2005-2006

À partir d’une situation... Important Lorsqu’une situation est RÉELLE (qu’on ne peut pas avoir de nombres négatifs), on doit énoncer les contraintes de non-négativité : Qu’est-ce que ça signifie ? Le système sera fait uniquement dans le quadrant I puisqu’on ne peut avoir de nombre négatif.

Traduire une situation en inéquation Démarche : Identifier les variables; Déterminer les expressions algébriques à comparer; Compléter l’inéquation avec le bon symbole. Exemple : « Lors de l’inondation de la Nouvelle-Orléans, on a dû élaborer un plan d’évacuation pour un secteur éloigné. On pouvait utiliser un véhicule pouvant transporter 5 personnes et un bateau pouvant en contenir 12. Le nombre d’évacuation était au plus de 100 personnes pour ce secteur. » 1) Identifier les variables : ___________________________________________________ 2) et 3) Inéquation: __________________________________________

Chaque ceinture "City" nécessite 0,15 h de travail et chaque Schématisation Situation (texte) Identification des variables Inéquation Exemple : « L'entreprise TABEYRE fabrique deux types de ceintures : "City" et "Derby". Dans une journée de travail l'équipe peut fabriquer au maximum 600 ceintures pour 70 h de travail. Chaque ceinture "City" nécessite 0,15 h de travail et chaque ceinture "Derby" 0,10 h. » 1) Identifier les variables : ___________________________________________________ 2) et 3) Inéquations : __________________________________________ __________________________________________ Expressions Symbole

Faire attention d’en « avoir » des deux côtés du symbole ! Attention aux colles ! On est en présence d’un problème qui parle : de temps d’argent… Faire attention d’en « avoir » des deux côtés du symbole ! Exemple : 1. « Lors de son dernier voyage à New York, Isabelle a rapporté des souvenirs. Ne pouvant consacrer qu’un maximum de 30$ pour ces achats, elle a trouvé des t-shirts à 5$ chacun et des porte-clés à 3$ chacun. Elle a réussie à rapporter des souvenirs à au moins 5 de ses amis. » Identifier les variables : ___________________________________________________ ___________________________________________________ Inéquations : __________________________________________ __________________________________________ Exemple :

Du système au polygone Démarche : Identifier les variables; Surligner toutes les contraintes; Les traduire en inéquations; Représenter l’ensemble-solution; Trouver les sommets (sera vu plus tard). Exemple : « Un magasin à rayon qui se spécialise dans la vente de cadeaux veut embaucher des étudiants pour les ventes de fin d’année. Le gérant veut embaucher au moins 12 étudiants et au plus 20 étudiants. Il veut embaucher au plus deux fois plus de filles que de garçons. Il a besoin d’au moins trois filles pour le rayon des bijoux. » Identification des variables : __________________________________________ 2. Surligner dans votre texte, avec un marqueur 3. Les inéquations : ___________________________ ___________________________

__________________ __________________ Donne quelques exemples de points qui feraient parti de l’ensemble-solution de ce polygone de contraintes. __________________ __________________

Identification des contraintes Schématisation Situation Identification des contraintes Inéquations Les sommets L’ensemble-solution Exemple : « Le directeur d’une école secondaire veut acheter des billets pour un spectacle qu’il comte offrir aux meilleurs élèves de son école. Les places au parterre coûtent 10$ et celles au balcon 14$. Il a besoin d’au moins 10 billets, mais son budget ne lui permet pas de dépenser plus de 140$. » Identification des variables : __________________________________________ 2. Surligner dans votre texte, avec un marqueur 3. Les inéquations : ___________________________ ___________________________

__________________ __________________ Donne quelques exemples de points qui feraient parti de l’ensemble-solution de ce polygone de contraintes. __________________ __________________

Exemple : « Au bal de fin d’année, il y avait au moins deux fois plus d’élèves que d’autres participants dans une salle pouvant contenir au plus 200 personnes. » Identification des variables : __________________________________________ 2. Surligner dans votre texte, avec un marqueur 3. Les inéquations : ___________________________ ___________________________

Les sommets Pour résoudre un polygone de contraintes, il suffit de trouver les coordonnées de chacun des sommets. Démarche : 1. Nommer vos sommets avec des lettres majuscules; 2. Identifier les deux droites qui forment le point d’intersection; 3. Résoudre le système formé par ces deux droites; 4. Mettre les réponses sous la forme de couple (x, y) Exemple : x ≥ 0 y ≥ 0 y ≤ 6 – x y ≥ 2x

Une fois les droites identifiées, il faut trouver les coordonnées… La résolution… Une fois les droites identifiées, il faut trouver les coordonnées… Rappel important Deux façons algébriques de résoudre un système : Comparaison Substitution  Exemple : Trouve la solution du système suivant : Comparaison Substitution

Les sommets Exemple : Trouve maintenant les sommets du polygone de contraintes de façon algébrique. x ≥ 0 y ≥ 0 y ≤ 6 – x y ≥ 2x Pour t’aider… Identifie tes sommets Identifie tes droites par le numéro de l’inéquation qui la représente Résolution algébrique (comparaison ou substitution) Solution de forme (x, y) Pour résoudre un polygone de contraintes, il suffit de trouver les coordonnées de chacun des sommets. Démarche : 1. Nommer vos sommets avec des lettres majuscules; 2. Identifier les deux droites qui forment le point d’intersection; 3. Résoudre le système formé par ces deux droites; 4. Mettre les réponses sous la forme de couple (x, y)

L’objectif visé Dans une situation, un problème écrit, on se doit de déterminer s’il faut maximiser ou minimiser la situation. Maximiser : obtenir le maximum Minimiser : obtenir le minimum Exemples : Détermine s’il faut minimiser ou maximiser la situation. a) Les profits d’une compagnie : _________________ b) Le nombre d’élèves acceptés aux activités : _________________ c) Les pertes de production : _________________ d) Les revenus d’une campagne de financement : _________________ e) Les frais de fabrication d’objets : _________________ f) Le nombre de personnes évacuées en cas d’urgence : _________________ g) Le nombre de billets non-vendus : _________________

maximiser ou minimiser. La règle de l’objectif Dans une situation, on a toujours des contraintes, mais on a aussi un objectif : maximiser ou minimiser. Pour vérifier quelle est la situation la plus avantageuse, il s’agit de trouver la règle qui nous permettra de répondre à la question du problème. Exemples : Formule une équation qui permettra de trouver la solution la plus avantageuse. 1. Lors de la campagne de financement pour le bal, les élèves ont le choix de vendre des stylos à 2$ l’unité ou du chocolat à 3$ l’unité. Pour chacun des objets, il gardera en banque une somme de 1,50$. Équation : ________________________________ 2. Pour la fabrication d’objets décoratifs, un élève doit compter 2$ de frais pour une citrouille et 3$ de frais pour un fantôme. Chacun des objets sera vendu pour la campagne de financement.

(c’est-à-dire qu’on maximise ou minimise, selon la situation). Et une fois qu’on l’a !? Une fois que la règle de l’objectif est trouvée, il nous suffit de vérifier avec lequel des sommets antérieurement trouvés on optimise notre situation. (c’est-à-dire qu’on maximise ou minimise, selon la situation). Voici comment s’y prendre : Une fois les sommets définis, on écrit la règle et on détermine l’objectif de la situation. On peut alors optimiser : Objectif ? __________________  Équation : _________________________ Sommets (x, y) Fonction à optimiser: Résultats

Problème d’optimisation Voici un exemple de problème : Notre club de vélo de montagne est en campagne de recrutement. Il s’adresse aussi bien aux adultes qu’aux jeunes d’âge mineur. Le club s’attend à obtenir un minimum de 15 adultes et un minimum de 30 jeunes. On s’attend aussi à obtenir au moins 45 jeunes de plus que d’adultes. Dû à la quantité d’entraîneurs à notre disposition, nous devons limiter les inscriptions à 135 membres. En sachant que le coût d’inscription pour un adulte est de 50$ et qu’il est de 40$ pour un jeune, quel est le revenu maximal que nous pouvons espérer cette année ? Comment le résoudre ? Problème d’optimisation Trouver les contraintes Tracer le polygone Trouver les coordonnées des sommets Trouver la règle Optimiser (avec tableau) Solution

Problème d’optimisation Étape 1: Trouver les contraintes x : _________________________________________ y : _________________________________________  ___________________________  ____________________________  ____________________________  ____________________________  ____________________________  ____________________________ Étape 2 : Tracer le polygone de contraintes Voici un exemple de problème : Notre club de vélo de montagne est en campagne de recrutement. Il s’adresse aussi bien aux adultes qu’aux jeunes d’âge mineur. Le club s’attend à obtenir un minimum de 15 adultes et un minimum de 30 jeunes. On s’attend aussi à obtenir au moins 45 jeunes de plus que d’adultes. Dû à la quantité d’entraîneurs à notre disposition, nous devons limiter les inscriptions à 135 membres. En sachant que le coût d’inscription pour un adulte est de 50$ et qu’il est de 40$ pour un jeune, quel est le revenu maximal que nous pouvons espérer cette année ?

Problème d’optimisation Étape 3 : Trouver les sommets (algébriquement) Sommet A ( , ) Sommet B Sommet C Étape 4 : Trouver la règle Objectif ? _______________  Équation : ___________________________ Étape 5 : Optimiser la situation Étape 6 : La solution (répondre à la question initiale du problème) ______________________________________________________________________________________________________________________________ Voici un exemple de problème : Notre club de vélo de montagne est en campagne de recrutement. Il s’adresse aussi bien aux adultes qu’aux jeunes d’âge mineur. Le club s’attend à obtenir un minimum de 15 adultes et un minimum de 30 jeunes. On s’attend aussi à obtenir au moins 45 jeunes de plus que d’adultes. Dû à la quantité d’entraîneurs à notre disposition, nous devons limiter les inscriptions à 135 membres. En sachant que le coût d’inscription pour un adulte est de 50$ et qu’il est de 40$ pour un jeune, quel est le revenu maximal que nous pouvons espérer cette année ? Sommets (x, y) Fonction à optimiser: Résultats