Comportement à l’infini d’une fonction Le symbole  aurait été crée au XVIIe siècle par le mathématicien britannique John Wallis à partir d ’une version cursive du M latin, c’est à dire 1000. Peut-être a-t-il aussi pensé à la courbe de la même forme (la lemniscate) qui se parcourt sans fin ...

Activité 1. Soit une fonction f définie sur  . On présente ses variations dans le tableau suivant : x f f (x) -¥ + -2 - 2 1 -1 +¥ A l'aide de ce tableau, donner toutes les informations connues.

On propose ici quatre représentations graphiques On propose ici quatre représentations graphiques. Ces courbes peuvent–elles représenter f ? On note f1 la fonction associée à la courbe C1 et on procède de la même manière pour les autres courbes.

x -  -  x +  -  +  +  Quand x se rapproche de +  , alors f1 (x) se rapproche de +  On note : Quand x se rapproche de -  , alors f1 (x) se rapproche de -  On note :

Quel est le comportement à l'infini pour la fonction f3 ? On dit alors que :  la droite d’équation y = 2 est asymptote horizontale à la courbe de la fonction f3 en +   l’axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe de la fonction f3 en - .

Peut–on "distinguer" les fonctions f1 et f4 à l'aide de ces nouveaux renseignements ? NON !!!!!!

Activité 2. On considère la fonction f définie sur  par : Compléter le tableau de valeurs suivant : A l'aide du tableau, on a : f (x) > 1 000 si x > …. f (x) > 10 000 si x > …. A l'aide de la calculatrice, déterminer un entier N tel que : si x > N , alors f (x) > 1015 . On peut émettre la conjecture :

On considère la fonction g définie sur  par : Compléter le tableau de valeurs suivant : A l'aide du tableau, on a : 0 < g (x) < 0,01 si x > …. 0< g (x) < 0,0001 si x > …. A l'aide de la calculatrice, déterminer un entier N tel que : si x > N , alors 0 < g (x) < 10-9 . On peut émettre la conjecture :

On considère la fonction h définie sur  par : Compléter le tableau de valeurs suivant : h (x) peut-il être égal à 3 ? h (x) peut-il être supérieur à 3 ? On peut émettre la conjecture :

alors on dit que f a pour limite +  en +  . On note : Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [ a ; +  [ où a est un réel . Si “  f ( x ) est aussi grand que l’on veut dès que x est assez grand ” , alors on dit que f a pour limite +  en +  . On note : Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grande , la courbe C finit par se situer au dessus de n’importe quelle droite horizontale .

On définit de la même façon : Les nombres f ( x ) deviennent négatifs et de plus en plus grand en valeur absolue

La droite d’équation y = -2 asymptote horizontale Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [ a ; +  [ et l un réel . Si “  f ( x ) est aussi proche que l’on veut de l dès que x est assez grand ” , alors on dit que f a pour limite l en +  . On note : On parle aussi de voisinage de l. Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grande , la courbe C finit par se rapprocher de la droite d’équation y = -2. La droite d’équation y = -2 est appelée : asymptote horizontale de la courbe de f en +  .

A vous de jouer ...