Le programme de 6° organisé autour de la notion de grandeur Recherche du Groupe Collège IREM de POITIERS « Les mathématiques ont pour objet de mesurer, ou plutôt de comparer les grandeurs ; par exemple les distances, les surfaces, les vitesses, etc. » Bossut, 1784 IREM de POITIERS - LYON 05 09

Organisation générale du travail Structurer le programme de 6° autour de PER PER construits sur 6 grandeurs permettant de recouvrir les contenus du programme de 6° Chaque PER est construit autour de grandes questions qui organisent l’étude de la grandeur. IREM de POITIERS - LYON 05 09

Mises en œuvre présentées Aires 2008 Angles 2009 « Mais l’étude des aires et des volumes a une utilité plus haute qu’il faut envisager : elle fait comprendre comment, pour des fins pratiques, les hommes ont pu être conduits à construire la géométrie et elle justifie leur effort. » Lebesgue, La mesure des grandeurs, 1935 « L’art de prendre la valeur des Angles est une opération d’un grand usage & d’une grande étendue dans l’Arpentage, la Navigation, la Géographie, l’Astronomie, &c. » L’Encyclopédie, art. Angle 1751 IREM de POITIERS - LYON 05 09

ANALYSE Pourquoi ces choix ? & Un questionnement Un constat IREM de POITIERS - LYON 05 09

Un constat : présentation des programmes (1) Une myriade de connaissances et de capacités IREM de POITIERS - LYON 05 09

Présentation des programmes (2) Quelques grands domaines Collège Organisation et gestion de données, fonctions Nombres et Calculs Géométrie Grandeurs et mesures IREM de POITIERS - LYON 05 09

Un questionnement sur les raisons d’être des mathématiques • Des techniques sans raison d’être : − ajouter des fractions − développer, factoriser − rendre rationnel un dénominateur − étudier des figures − calculer une longueur, un angle… • Savoir d’où viennent et à quoi servent ces techniques, et pourquoi les hommes les ont inventées permet de comprendre ce que sont les mathématiques, c’est pouvoir donner du sens à leur enseignement. IREM de POITIERS - LYON 05 09

Conséquence Recontextualiser les techniques dans l’étude des problèmes dont s’occupent les mathématiques. D’où, recherche sur les questions et les outils. – Quelles sont les questions dont s’occupent les mathématiques ? – Quels sont les outils qu’elles ont élaborés pour y répondre ? « Il n’y a pas des problèmes qu’on se pose, il y a des problèmes qui se posent. Il n’y a pas de problèmes résolus, il y a seulement des problèmes plus ou moins résolus. » H. Poincaré   IREM de POITIERS - LYON 05 09

Les deux axes de la recherche Revenir aux sources du savoir : histoire, épistémologie Chercher où vivent les mathématiques dans notre société : écologie des savoirs Cerner les enjeux des grands domaines des mathématiques IREM de POITIERS - LYON 05 09

Les grands domaines des mathématiques Arithmétique Géométrie Algèbre Analyse Statistiques et probabilités Collège Organisation et gestion de données, fonctions Nombres et Calculs Géométrie Grandeurs et mesures Seconde Statistiques, Calcul et fonctions, Géométrie IREM de POITIERS - LYON 05 09

Les grands domaines des mathématiques ► La classification de Bossut, 1784 (1) « Les mathématiques ont pour objet de mesurer, ou plutôt de comparer les grandeurs ; par exemple les distances, les surfaces, les vitesses, etc. Elles se divisent en mathématiques pures et en mathématiques mixtes. • Les mathématiques pures considèrent la grandeur d’une manière simple, générale et abstraite … Elles comprennent : 1°) L’arithmétique ou l’art de compter 2°) La géométrie qui apprend à mesurer l’étendue 3°) L’analyse, science des grandeurs en général 4°) La géométrie mixte, combinaison de la géométrie ordinaire et de l’analyse IREM de POITIERS - LYON 05 09

Les grands domaines des mathématiques ► La classification de Bossut, 1784 (2) • Les mathématiques mixtes empruntent de la physique … 1°) La méchanique, science de l’équilibre et du mouvement des corps solides 2°) L’hydrodynamique qui considère l’équilibre et le mouvement des corps liquides 3°) L’acoustique ou la théorie des sons 4°) L’optique ou la théorie des mouvements de la lumière 5°) L’astronomie, science du mouvement des corps célestes. » IREM de POITIERS - LYON 05 09

I. Arithmétique. Définitions (1) Encyclopédie Méthodique, Bossut, 1734 « C’est l’art de dénombrer, ou cette partie des Mathématiques qui considère les propriétés des nombres. On y apprend à calculer exactement, facilement, promptement. L’arithmétique est la base de toutes les Sciences mathématiques, car les rapports de toutes les espèces de quantités se réduisent finalement en nombres. Quelques auteurs définissent l’Arithmétique la Science de la quantité discrète. » IREM de POITIERS - LYON 05 09

I. Arithmétique. Définitions (2) Bézout, 1739 « On appelle en général, quantité, tout ce qui est susceptible d’augmentation ou de diminution. L’étendue, la durée, le poids, etc. sont des quantités. Tout ce qui est quantité est de l’objet des Mathématiques ; mais l’Arithmétique qui fait partie de ces Sciences, ne considère les quantités, qu’en tant qu’elles sont exprimées en nombres. L’Arithmétique est donc la science des nombres : elle en considère la nature et les propriétés ; et son but est de donner des moyens faciles, tant pour représenter les nombres, que pour les composer et décomposer, ce qu’on appelle calculer. » IREM de POITIERS - LYON 05 09

I. Arithmétique: ses origines Besoins sociaux : échanges, partages, commerce, évaluation des biens, impôts, héritages, salaires, calendrier… Besoins toujours actuels IREM de POITIERS - LYON 05 09

I. Arithmétique: les grandes questions − Comment dénombrer ? (un troupeau, une récolte…) − Comment calculer ? (un prix, une durée, un nombre d’ouvriers…) − Comment comparer ? (des masses, des prix, … : problèmes de conversions, de comparaison absolue et relative …) − Comment partager ? (des richesses, des biens, des ressources, des productions…) IREM de POITIERS - LYON 05 09

I. Arithmétique : les réponses… − Les réponses à ces questions ont amené à élaborer des notions et des techniques et à les améliorer : bases de numération, techniques de calcul, format des nombres, système métrique … − Les questions sont toujours actuelles : l’arithmétique est toujours très présente dans notre vie sociale. IREM de POITIERS - LYON 05 09

II. Géométrie : définitions - Mesurer « L’objet principal de la géométrie est de mesurer les différentes espèces d’étendues que l’esprit considère. » Montucla. Histoire des Mathématiques, 1758 - Construire « Dès qu’on a fait de la géométrie, comme on tendait vers des buts concrets, on a effectué des constructions … » Lebesgue. La mesure des grandeurs, 1935 ˗ IREM de POITIERS - LYON 05 09

II. Géométrie : origine « Mais l’étude des aires et des volumes a une utilité plus haute qu’il faut envisager : elle fait comprendre comment, pour des fins pratiques, les hommes ont pu être conduits à construire la géométrie et elle justifie leur effort. » Lebesgue, La mesure des grandeurs, 1935) − Arpentage : bornage, partage des terrains, travaux publics (routes, canaux, déblais, remblais…) − Construction d’édifices, de décors… − Besoins de l’astronomie, cartographie, géographie, navigation, fortification… IREM de POITIERS - LYON 05 09

II. Géométrie : Les grandes questions − Comment mesurer une grandeur ? (longueur, aire, volume, angle) − Comment mesurer des grandeurs inaccessibles ? (distances…) − Comment construire ? (une figure, un solide… ayant des caractéristiques données, avec des instruments donnés) − Comment se repérer ? (à la surface de la Terre, sur mer, dans les airs, par rapport au Ciel) − Comment représenter l’espace sur un plan ? (perspective, peinture, écran) IREM de POITIERS - LYON 05 09

II. Géométrie : les réponses… (1) − Les réponses à ces questions ont amené à élaborer tout un corpus de notions, techniques et instruments : angle, parallèles, tangente, symétries, cercles, triangles, polygones, polyèdres, corps ronds, constructions, lieux, triangles isométriques, figures semblables…, compas, astrolabe … − Questions toujours actuelles, et qui se renouvellent : GPS, images numériques… IREM de POITIERS - LYON 05 09 21

II. Géométrie : les réponses… (2) Clairaut : Elemens de Géométrie, 1741   PREMIERE PARTIE (pages 1 à 72) Des moyens qu’il était le plus naturel d’employer pour parvenir à la mesure des Terrains. DEUXIEME PARTIE (pages 73 à 102) De la méthode géométrique de comparer des figures rectilignes. TROISIEME PARTIE (pages 103 à 144) De la mesure des figures circulaires et de leurs propriétés. QUATRIEME PARTIE (pages 145 à 215) De la manière de mesurer les solides et leurs surfaces. IREM de POITIERS - LYON 05 09

III. Algèbre : définition  « Science du calcul des grandeurs considérées généralement. On a choisi pour représenter les grandeurs ou les quantités les lettres de l’alphabet comme étant d’un usage plus facile et plus commode qu’aucun autre signe. L’algèbre a deux parties : La méthode de calculer les grandeurs, en les représentant par les lettres de l’alphabet, La manière de se servir de ce calcul pour la solution des problèmes (partie la plus étendue et la principale). » Encyclopédie Méthodique, D’Alembert, 1734 IREM de POITIERS - LYON 05 09

Nullum non problema solvere III. Algèbre : origines − Algèbre numérique : résolution de problèmes par mise en équation, puis résolution des équations. − Algèbre littérale : outil pour résoudre tous les problèmes. Nullum non problema solvere « L’Art analytique s’attribue justement le magnifique problème des problèmes qui est : résoudre tout problème. » Viète. Introduction à l’Art analytique, 1591 IREM de POITIERS - LYON 05 09

III. Algèbre : les grandes questions − Comment résoudre un problème à l’aide d’équations ? − Comment exprimer des relations entre grandeurs ? (formules générales, équations de courbes, équations différentielles…) − Comment calculer sur les grandeurs ? IREM de POITIERS - LYON 05 09

III. Algèbre : les réponses (1) Les réponses à ces questions ont fait de l’algèbre le langage universel de la science. Elle a remplacé en ce sens la Géométrie. IREM de POITIERS - LYON 05 09 26 26

III. Algèbre : les réponses (2) Clairaut. Elemens d’Algèbre, 1768, 4° éd. − « Je me suis proposé de suivre dans cet ouvrage la même méthode que dans mes Elemens de Géométrie. J’ai tâché d’y donner les règles de l’Algèbre dans un ordre que les Inventeurs eussent pu suivre. Nulle vérité n’y est présentée sous forme de théorème. Toutes, au contraire, semblent être découvertes en s’exerçant sur les problèmes que le besoin ou la curiosité ont fait entreprendre de résoudre. » − « Parmi les différents Problèmes dont les premiers Mathématiciens qui ont noms d’Algébristes se sont occupés, je choisis celui-ci, comme un des plus propres à faire voir comment ils sont parvenus à former la Science qu’on nomme Algèbre ou Analyse ; » <Partager une somme, par exemple 890 à trois personnes, en sorte que la première…> IREM de POITIERS - LYON 05 09 27 27

IV. Analyse : définition « ANALYSE est proprement la méthode de résoudre les problèmes mathématiques, en les réduisant à des équations. L’analyse, pour résoudre tous les problèmes, emploie le secours de l’Algèbre, ou le calcul des grandeurs en général : aussi ces deux mots, analyse, algèbre, sont souvent regardés comme synonymes. /…/ L’analyse est divisée, par rapport à son objet, en analyse des quantités finies, et analyse des quantités infinies. Analyse des quantités finies, est ce que nous appelons autrement Arithmétique Spécieuse ou Algèbre. Analyse des quantités infinies ou des infinis, appelée aussi la nouvelle Analyse … Encyclopédie Méthodique, D’Alembert, 1734 IREM de POITIERS - LYON 05 09

IV. Analyse : origine − Méthodes infinitésimales pour le calcul des longueurs de courbes, aires, volumes, centres de gravité. − Étude des mouvements et trajectoires (astronomie, mécanique, optique, physique…) − Recherche de lois inconnues (problèmes de mécanique et de physique) IREM de POITIERS - LYON 05 09

IV. Analyse : les grandes questions − Comment étudier les variations d’une grandeur ? − Comment comparer des grandeurs variables ? − Comment construire une courbe (trajectoire…) ? − Comment résoudre un problème d’optimisation ? − Comment trouver une courbe astreinte à des conditions (trajectoire, … : calcul différentiel) ? − Comment mesurer des grandeurs liées à des courbes ? (longueur, aire, volume, … : calcul intégral). IREM de POITIERS - LYON 05 09

IV. Analyse : les réponses ►Les réponses à ces questions ont amené à élaborer tout un corpus de notions, méthodes, techniques : équations, graphiques, fonctions, dérivées, intégrales… IREM de POITIERS - LYON 05 09 31 31

V. Statistiques et probabilités : définitions − « La Géométrie du hasard » Pascal, 1654 − « Qu’y a-t-il de commun entre la statistique, ensemble de routines administratives nécessaires pour décrire un état et sa population, et le calcul des probabilités, subtile façon d’orienter les choix en cas d’incertitude, imaginée vers 1660 par Huygens et Pascal, et les estimations de constantes physiques et astronomiques à partir d’observations empiriques disparates, effectuées vers 1750 ? » A. Desrosières. La politique des grands nombres. Histoire de la raison statistique, 1993, rééd. 2000 IREM de POITIERS - LYON 05 09

V. Statistiques et probabilités : origine - Statistique allemande : recueil et organisation de données pour gouverner, gérer l’État - Arithmétique sociale anglaise : extrapoler à partir de données (population) pour rentes, assurances, … − Probabilités : - Jeux de hasard : jeu équitable, partage équitable - Contrôle des estimations - Aide à la décision juste (Condorcet, Laplace, Poisson) - Théorie des erreurs IREM de POITIERS - LYON 05 09

V. Statistiques et probabilités : les grandes questions − Comment mesurer l’incertain ? − Comment recueillir et transmettre de l’information ? − Comment situer un individu dans une population? (« L’homme moyen ») − Comment estimer une population à partir d’un échantillon ? − Comment prévoir ? IREM de POITIERS - LYON 05 09

V. Statistiques et probabilités : les réponses − Les réponses à ces questions ont amené à l’utilisation de tableaux et de graphiques, aux notions de moyenne, médiane, fréquence, espérance, probabilité, et à leurs calculs. − « Le chômage, l’inflation, la croissance, la pauvreté, la fécondité ; ces objets et leurs mesures statistiques constituent des points d’appui pour décrire des situations économiques, dénoncer des injustices sociales, justifier des actions politiques. Ils fournissent une langue stable et largement acceptée pour exprimer le débat. » A. Desrosières. 1993, 2000. − «  Ce calcul délicat s’étend aux questions les plus importantes de la vie qui ne sont, en effet, pour la plupart, que des problèmes de probabilités. » Laplace. 1812 IREM de POITIERS - LYON 05 09

Bilan 1. Quelques grandes questions Comment comparer ? Comment partager ? Comment dénombrer ? Comment mesurer ? Comment calculer ? Comment construire ? Comment prévoir ? IREM de POITIERS - LYON 05 09

2. Bilan général Questions : ►enracinées dans la vie sociale et dans l’étude des grandeurs (commerce, propriété, navigation, calendrier, astronomie, géographie, mécanique, religion …) ►transversales à plusieurs domaines. D’où : ►des méthodes et des outils transférables aux différents domaines, ►la fabrication d’outils et de méthodes généraux. C’est ainsi que ce sont constitués des domaines aux objets et méthodes très généraux : Arithmétique, Algèbre et Analyse (Nombre, équations, fonctions). IREM de POITIERS - LYON 05 09

1. Organisation générale 2. Un exemple : LES ANGLES MISE EN ŒUVRE EN 6° 1. Organisation générale 2. Un exemple : LES ANGLES IREM de POITIERS - LYON 05 09

MISE EN ŒUVRE (1a) « L’oubli de la notion de grandeur ferme les mathématiques sur elles-mêmes. En sens inverse, l’exploration de l’univers des grandeurs constitue le point de départ de l’exploration mathématique de la diversité du monde. L’introduction mathématique au monde qui nous entoure suppose donc prise de contact et familiarisation avec l’univers des grandeurs. » Y. CHEVALLARD, M BOSCH, 2002 IREM de POITIERS - LYON 05 09

MISE EN ŒUVRE (1b) Organisation de l’année autour de l’étude de 6 grandeurs (angles, durées, aires, prix, volumes, longueurs), thèmes transversaux aux 4 grandes parties du programme, et donc aux différents domaines des mathématiques Organisation de l’étude de chaque grandeur autour de quelques grandes questions : Comment comparer ? Comment mesurer ? Comment calculer ? (qui en entraînent d’autres : comment multiplier, diviser ou partager … ?) F4T IREM de POITIERS - LYON 05 09 40

MISE EN ŒUVRE (2) Un exemple : LES ANGLES en 6° IREM de POITIERS - LYON 05 09

Un parcours en 3 moments 1) Comparer des angles 2) Partager des angles 3) Mesurer des angles IREM de POITIERS - LYON 05 09

LES ANGLES en 6° Éléments d’analyse IREM de POITIERS - LYON 05 09

I. Sources de réflexion I.1. Qu’est-ce qu’un angle ? I.2. Pourquoi des angles ? I.3. Comment construire le chapitre ? IREM de POITIERS - LYON 05 09

I.1. Qu’est-ce qu’un angle ? « ANGLE, s. m. (Géom.) c’est l’ouverture que forment deux lignes ou deux plans, ou trois plans qui se rencontrent : tel est l'angle BAC, tab. de Géom. fig. 91, formé par les lignes AB, AC, qui se rencontrent au point A. Les lignes AB, AC, sont appellées les jambes ou les côtés de l’angle ; & le point d’intersection A en est le sommet. Les angles se marquent quelquefois par une seule lettre, comme A, que l’on met au sommet ou point angulaire, & quelquefois par trois lettres, dont celle du milieu marque la pointe ou sommet de l’angle, comme BAC. La mesure d’un angle, par laquelle on exprime sa quantité, est un arc tel que DE, décrit du sommet A entre les côtés AC, AB, avec un rayon pris à volonté. Voyez ARC & MESURE. D’où il s’ensuit que les angles se distinguent par le rapport de leurs arcs à la circonférence du cercle entier. Voyez CERCLE & CIRCONFERENCE. Ainsi l’on dit qu’un angle est d’autant de degrés qu’en contient l’arc DE, qui le mesure. Voyez DEGRE. /… /» Encyclopédie, 1751, p. 461-464 T TO IREM de POITIERS - LYON 05 09

I.2. Pourquoi des angles ? A. A. Arpentage Les Elemens de Geometrie de CLAIRAUT (1753) XXVII Si on ne pouvoit mesurer que deux des trois côtés du triangle ABC (FIG. 3.), les deux côtés AB, BC, par exemple ; il est clair qu’avec cela seul, on ne pourroit pas déterminer un second triangle égal & semblable à ABC. Car quoiqu’on eût pris DE, égal à BC, & DF égal à BA on ne sçauroit quelle position donner à celle-ci, relativement à l’autre. Pour lever cette difficulté, la ressource qui se présente est simple : on fait pancher DF, de la même maniere sur DE, que AB panche sur BC ; ou, pour s’exprimer comme les Géomètres, on donne à l’angle FDE la même ouverture qu’à l’angle ABC. (FIG. 3. & 4) (L’orthographe de l’époque a été conservée) T Pl.III Pl.V IREM de POITIERS - LYON 05 09

Rose des vents et navigation I.2. Pourquoi des angles ? B. B. Navigation Rose des vents et navigation Carte marine de 1559 IREM de POITIERS - LYON 05 09

Comment construire le chapitre Regard sur des manuels anciens Nathan, (Plessier & Morlet, 1965) Chapitre 3. Angles, cercles et arcs de cercles. I. Plan. Demi-plan. Angles. Égalité et addition des angles. Multiples et sous multiples. III. Cercles et arcs de cercles. Chapitre 4. Mesure des angles et des arcs. Longueur du cercle. I. Mesure des angles et des arcs. Longueur du cercle. II. Calculs sur le nombre mesurant angles et arcs de cercle. Longueur d’un arc de cercle. Longueur du cercle. Hachette, (Cahen, 1958) Chapitre 2. Angles. I. Notion d’angle. II. Opérations sur les angles. III. Mesure des angles. IV. Opérations sur les mesures d’angles en degrés. IREM de POITIERS - LYON 05 09

LES ANGLES en 6° Mise en œuvre IREM de POITIERS - LYON 05 09

Introduction : les 3 questions 1) Quand parle-t-on d'angle ? 2) Quand utilise-t-on des angles ? 3) Qu'a-t-on besoin de savoir faire avec les angles ? IREM de POITIERS - LYON 05 09

Étude 1 : comparer des angles 1) Rugby : angle de tir (définition, comparaison) Cours : 1. Définitions, méthodes de comparaison 2) Cerf volant et charpente (angles égaux, figures symétriques, codage) Construction de figures symétriques (programmes de construction). Cours : 1. Angles égaux et symétrie 3) Éventail et spirale Cours : 1. Addition des angles, multiple d’un angle IREM de POITIERS - LYON 05 09

Étude 2 : partager des angles 1) Rose des vents (boussole, compas de navigation) Partager en 2,4,8,12... Rapporteur "binaire". Équerres et menuiserie : demi-triangle équilatéral, demi-carré Cours : 2. Bissectrice, axes de symétrie, angles des triangles rectangle isocèle et équilatéral. 2) Le rapporteur Trisection de l’angle. Partager un cercle en 360. Cours : 2. Rapporteur 3) Polygones réguliers A partir du partage du cercle et de 360° (division, diviseur, quotient exact, approché) Cours : 2. partager un angle en n parties IREM de POITIERS - LYON 05 09

Étude 3 : mesurer des angles 1) L'aviateur : prendre le cap pour faire le tour de France (s'orienter) Cours : 3. mesurer un angle 2) Largeur d'une baie (mesurer l'inaccessible) Cours : 3. reproduire un angle de mesure donnée 3) Reproduire une figure (à l'échelle) Constructions de figures, dictées géométriques 4) Les robots : construire un trajet 5) Rose des vents et navigation IREM de POITIERS - LYON 05 09

Bibliographie sur les angles ENCYCLOPÉDIE OU DICTIONNAIRE RAISONNÉ DES SCIENCES, DES ARTS ET DES METIERS par une société de gens de lettres ; mis en ordre et publié par M. Diderot,... et quant à la partie mathématique, par M. d’Alembert,… Paris : Briasson, David, Le Breton. Tome 1, 1751. gallica. 4 CD-Rom : L’Encyclopédie de Diderot et d’Alembert. Redon éditeur, 26740 MARSANNE. ENCYCLOPÉDIE MÉTHODIQUE – MATHÉMATIQUES. Par MM. d’Alembert, l’Abbé Bossut, de la Lande, Le Marquis de Condorcet, &c. Tome premier, Paris : Panckoucke et Leyde : Plomteux 1784. Réédition du Bicentenaire, Paris : ACL-éditions 1987. gallica CLAIRAUT Alexis. Les Éléments de Géométrie de Clairaut Paris : Lambert et Durand, 1741. Rééd. Paris : J. Gabay, 2006. Fac simile de l’édition de 1753, Laval : éd. Siloë, 1987. GAMBIN Marie-Thérèse. « Des cartes portulans à la formule d’Edward Wright : l’histoire des cartes à « rhumbs ». M : A.T.H., MNEMOSYNE n° 11. IREM de Paris VII 1996, pp. p. 31-62. Repris en partie dans L’histoire des cartes à « rhumbs ». In ASSP Rouen 2005, Sciences et Techniques aux 15e et 16e siècles, disponible en document pdf, 10 p., sur le site : http://assprouen.free.fr/publications/sciences_et_techniques.php « La cartographie dieppoise ». In É. Hébert (dir.), Instruments scientifiques à travers l’Histoire, Paris Ellipses 2004, p. 43-55 et 1996, p. 31-62. STOLL André. « Les spirales ». In L’Ouvert n° 96 et 97, resp. p 1-13 p 1-15, IREM de Strasbourg 1999 et Repères IREM, n° 39, Metz 2000, Topiques éditions p. 73-99. En document pdf, 27 p., sur le site Le Portail des Irem : http://www.univ-irem.fr/commissions/reperes/consulter/39stoll.pdf IREM de POITIERS - LYON 05 09

Bibliographie générale CHARNAY R. (2006) Quelle culture mathématique partagée à la fin de la scolarité obligatoire ? Repères IREM n° 64 ( article en ligne) CHEVALLARD Y. (2006) Les mathématiques à l’école. Bulletin APMEP n° 471, 2007 CHEVALLARD Y., BOSCH M. (2000), Les grandeurs en mathématiques au collège. Partie I. Une Atlantide oubliée. Petit x, 55, p. 5-32. CHEVALLARD Y., BOSCH M. (2000), Les grandeurs en mathématiques au collège. Partie II. Mathématisations. Petit x, 59, p. 43-76. DAHAN-DALMEDIC0 A. et PEIFFER J. (1982) Une histoire des mathématiques. Routes et dédales. Le Seuil, Points Sciences N° 49, 1986. Grandeurs. N° spécial. Repères-IREM n° 68, juillet 2007. LEBESGUE H. (1935). « La mesure des grandeurs ». Monographies de L’Enseignement Mathématique n° 1 Genève. Rééd. A. Blanchard, Paris 1975. PRESSIAT A. Grandeurs et mesures.IUFM .Equipe DIDIREM – INRP. ROUCHE N. Le sens de la mesure " Des grandeurs aux nombres rationnels ". Collection Formation, Edition DidIer Hatier, 1992. IREM de POITIERS - LYON 05 09

Le programme de 6° organisé autour de la notion de grandeur FIN IREM de POITIERS - LYON 05 09

Clairaut Pl.III Pl.V IREM de POITIERS - LYON 05 09

Clairaut Pl.V Pl.III IREM de POITIERS - LYON 05 09

Cours. Chapitre 1 ANGLES 1. Comparer des angles 1) Définition : on appelle angle l’ouverture formée par deux demi droites de même origine. Cette origine s’appelle le sommet de l’angle et les demi droites les côtés de l’angle. Illustrer To IREM de POITIERS - LYON 05 09

Spirales - construction Spirale de Théodore donnée à construire aux élèves 2.Spirale d’Archimède 1) A quoi te fait penser cette figure ? 2) Comment construire cette figure ? Voici la méthode donnée par Archimède : On fait tourner une demi-droite autour d’un point O en décrivant des angles égaux Sur le deuxième côté du premier angle on place un point A1 (près de O). Quand la demi-droite tourne, le point s’éloigne de O avec pour règle : sa distance à O est égale à celle de OA1 multipliée par le nombre d’angles dont on a tourné. Choisis un angle et construis une spirale d’Archimède avec au moins 10 angles égaux. IREM de POITIERS - LYON 05 09

La Rose des Vents Plusieurs instruments de mesure sont basés sur les mesures des angles, la rose des vents est l’un d’entre eux. La rose des vents n’est pas une fleur, c’est une étoile à plusieurs branches indiquant les points cardinaux. Les marins l’utilisaient pour s’orienter en mer. La marche d’un bateau dépendant de sa position face au vent, ils identifiaient le vent dominant qui soufflait puis fixaient leur route en conséquence. Pour indiquer la direction des vents, on a dessiné sur un cadran une sorte de rosace dont les flèches rayonnent autour du centre comme les pétales d’une rose. Mais ce dessin ne ressemble guère à une rose. 1. 2. 3. 4. 1) Observe bien. Combien de directions sont indiquées sur la rose des vents n°1 ? sur la n°2 ? sur la n°3 ? sur la boussole n°4 ? 2) Comment construire les flèches de la rosace ? 3) Sur papier uni, construis une rose des vents à partir d’un cercle de 3,5 cm de rayon. IREM de POITIERS - LYON 05 09

Mesurer la largeur d'une baie 1. ● La construction du triangle en réduction À l'aide de son schéma et de ses mesures, le géomètre va construire avec soin sur un bout de terrain plat ou sur une feuille de papier un modèle réduit du triangle ABC : c'est le triangle EFG que l'on voit à droite sur la gravure. Tu vas faire son travail sur ton cahier. 4. Il dessine une échelle bien divisée en graduations égales (elle est représentée en D, en bas et au centre de la gravure). Combien de graduations faut-il prévoir ? 5. Il construit le triangle EFG. Écris les étapes de sa construction. Justifie. 6. Pour tracer l'angle FEG, comment fait-il ? (observe l'instrument placé en E sur la gravure) La réponse au problème --------- On veut connaître la distance entre la porte A et la porte C, distance inaccessible directement ● Les mesures du géomètre sur le terrain 1. Où se place le géomètre ? Pourquoi ? Que mesure-t-il ? (observe la gravure) 2. Comment fonctionne l'instrument qu'il est en train d'utiliser ? (Observe les gravures du graphomètre) 3. En H est représenté son mémento (ou bloc note) : c'est une feuille de papier qu'on roule (appelée à l'époque mémorial). Que note-t-il sur sa feuille ? TO IREM de POITIERS - LYON 05 09

Mesurer la largeur d'une baie 2. ● La réponse au problème 7. Comment, avec son triangle EFG, le géomètre va-t-il trouver la distance entre la porte A et la porte C ? Combien trouve-t-il ? En situation Son limbe est gradué de la même façon que celui du rapporteur, en 180 parties appelées degrés. La ligne 0°-180° est appelée la ligne de foi. L'instrument du géomètre : le graphomètre L'instrument pour reporter l'angle sur le papier : le rapporteur TO IREM de POITIERS - LYON 05 09

Les robots Devoir sur feuille pour le jeudi 24 mai 2007 Le robot Sexto est programmé pour avancer de 30 cm puis tourner à gauche de 60°, et continuer ainsi sans jamais s'arrêter. Il part d'un point A. Dessine avec précision son trajet (à l'échelle 1/10). Que peux-tu dire de son trajet ? Explique. Le robot Quinto, lui, avance de 40 cm et tourne à droite de 72°. Dessine et explique de la même façon son trajet. Le robot Spirou avance de 50 cm et tourne à gauche de 100°. Dessine et explique de la même façon son trajet. Peux-tu prévoir les trajets de tous les robots que l'on pourrait inventer sur le même modèle ? Pour quels angles peut-on programmer le robot pour qu'il s'arrête en A? T.él IREM de POITIERS - LYON 05 09

Les robots (2) IREM de POITIERS - LYON 05 09