Projet Analyse numérique – 2 Réponse d’un bâtiment soumis à une onde sismique

Introduction Les séismes peuvent détruire aisément des bâtiments Nécessité de les protéger Il existe quatre types d’ondes sismiques Notre projet : étudier la réaction d’un batiment de quatre étages face à une onde sismique de type P

Analyse du problème Modélisation du bâtiment Chaque étage peut être assimilé à un oscillateur Chaque oscillateur possède une masse (mi), un coefficient d’amortissement (Ci) et un coefficient de flexion (ki) En utilisant le principe fondamental de la dynamique, on obtient quatre équations différentielles à résoudre

Analyse du problème Énoncé du problème à résoudre En écrivant le principe fondamental de la statique pour chaque étage (en tenant compte des étages inférieurs et supérieurs) on obtient quatre équations différentielles du second ordre:

Résolution du problème Choix de la méthode Pour résoudre ce problème, nous avons décidé d’utiliser la méthode de Runge Kutta à l’ordre 4 car : elle est stable elle bénéficie d’un bon rapport précision/rapidité de mise en oeuvre

Résolution du problème Mise en œuvre de RK4 Rappels rapides On ramène le problème à des équations différentielles du 1er ordre : on obtient un système à résoudre

Résolution du problème Mise en œuvre de RK4 Rappels rapides On définit la suite en posant :

Résolution du problème Mise en œuvre de RK4 Rappels rapides On écrit les coefficients de RK4 :

Résolution du problème Mise en œuvre de RK4 Mise en œuvre sous Matlab Initialisation du programme Demande à l’utilisateur le temps d’analyse voulu et le pas désiré Création de la matrice contenant les vitesses et deltas des étages : dim(Y)=[8x(t/pas)] Création d’une matrice contenant les coefficients Initialisation du temps

Résolution du problème Mise en œuvre de RK4 Mise en œuvre sous Matlab Résolution en cascade Double résolution en cascade à t donné et à étage donné Création de la matrice colonne « aux » contenant les deltas vitesses augmentés par les coefficients de RK4 Calcul des coefficients de RK4 dans des sous-programmes Mise à jour de la matrice principale à t donné pour l’étage concerné

Résolution du problème Mise en œuvre de RK4 Mise en œuvre sous Matlab Affichage du graphique Calcul de la courbe modélisant l’excitation du sol lors du séisme Superposition à ce graphique des courbes modélisant les réponses des étages à l’excitation du sol Ajout de la légende

Résolution du problème Résultats La courbe obtenue est physiquement correcte. Affiner le pas provoque une légère augmentation de l’amplitude, augmentation qui devient d’autant plus légère que l’on affine d’avantage le pas. Le bâtiment retrouve un équilibre assez lentement