LA STATIQUE DES FLUIDES MECANIQUE DES FLUIDES LA STATIQUE DES FLUIDES Année universitaire 2003-2004 (Premier semestre)

I. Lois générales de la statique des fluides (Nicolas Battaglia) Forces de pression dans un fluide a. Mise en situation b. Définition c. Remarque 2. Pression en un point d’un fluide

Equations générales de la statique des fluides a. Traduction de l’équilibre des forces - Des forces de volume (pesanteur ou inertie), - Des forces surfaciques (forces de pression). b. La notion de force volumique équivalente de pression c. L’équation fondamentale de la statique d. Remarques

Théorèmes généraux a. Théorème 1 (Pour un fluide en équilibre) Les surfaces équipotentielles sont des surfaces isobares, et réciproquement. b. Théorème 2 (Pour un fluide en équilibre) Les surfaces équipotentielles sont des surfaces isochores (réciproque fausse). c. Théorème 3 (Pour un fluide en équilibre) Les surfaces équipotentielles sont des surfaces isothermes (réciproque fausse).

Théorème d’Archimède a. Mise en situation et démonstration b. Enoncé du théorème c. Cas du solide totalement immergé - Solide homogène, - Solide non homogène. d. Cas du solide partiellement immergé

6. Forces de pression uniforme (Martin Panhard) Entre deux points peu éloignés dans la direction du champ de pesanteur, la pression est uniforme et vaut P0. Théorème : Soit une surface fermée (S) située dans un domaine (D) où règne une pression uniforme p0 ; le système des forces de pression s’exerçant sur la surface constitue un torseur nul. Le théorème précédent nous conduit à négliger l’influence de la pression atmosphérique tant que nous la considérons comme uniforme dans le domaine que nous considérons. Ainsi, supposer la pression uniforme dans un domaine fluide, revient à négliger la poussée sur un corps immergé dans ce domaine.

II. Hydrostatique (statique des fluides à masse volumique constante) Hypothèses de base de l’hydrostatique Le champ des forces à distance se réduit au champ de pesanteur, supposé constant dans la masse fluide considérée. La pression atmosphérique est la même en tout point du petit domaine que l’on considère, ce qui revient, comme on l’a vu, à négliger la poussée de l’air. La masse volumique du fluide est indépendante de sa pression (fluide incompressible).

Théorèmes généraux de l’hydrostatique Surface libre Une masse de liquide a un volume constant. Donc, dans un vase, il existe une surface de séparation avec l’atmosphère, dite surface libre. Relation fondamentale de l’hydrostatique La différence de pression entre deux points B et A est : Transmission de pression Dans un liquide en équilibre, une variation de pression se transmet intégralement. Liquides superposés La surface de séparation de deux liquides non miscibles est plane et horizontale. La stabilité de l’équilibre exige, en outre, que les couches de liquide se placent les unes au-dessus des autres par ordre de densité décroissante.

3. Unités de pression Vincent Rabier Système CGS :la barye = 1 dyne/ cm²   Système MTS : la pièze (pz) = 1 sthène / m² = 104 baryes Système MKSA : le Pascal (Pa) = 1 Newton / m² = 10-3 pièze = 10 baryes Système MKfS : 104 Kgf / m² = 104 mm d’eau = 0.981 hpz 1 atmosphère = 10330 mm d’eau = 1.013 hpz 1 mm d’eau = 1Kgf / m² (unité MKfS)

4. Calcul de la force de pression sur un élément de paroi Pierre Chouteau 4. Calcul de la force de pression sur un élément de paroi Un élément de surface de la face d’un vase rempli et baigné dans l’atmosphère subit deux forces: une exercée par le fluide sur la face, l’autre exercée par l’atmosphère sur l’élément de surface. l’ensemble des deux forces exercées sur l’élément (dS) se réduit à la force , appliquée en M, normale à la paroi, dirigée du fluide vers la paroi et égale en module à : Où z’ est la cote de M par rapport à la surface du liquide dF = ρgz’dA

5. Force de pression sur paroi. a 5. Force de pression sur paroi a. Paroi plane, baignée sur une face par l’atmosphère : Les forces de pression exercées sur une paroi plane baignée, d’un côté par le liquide en équilibre et, de l’autre par l’atmosphère admettent une résultante F :   - normale à la paroi et dirigée du fluide vers l’extérieur - dont le point d’application P est donné par la formule - dont le module F est donné par la formule F = ρg.zG’A

b. Forces de pression sur des parois baignées ,sur une face, par l’atmosphère Théorème : si les forces à distance se réduisent aux forces de pesanteur, les forces de pression exercées par le liquide sur les parois du vase admettent une résultante égale au poids total du fluide contenu dans le vase. Corollaire: la projection Fx sur une direction horizontale Ox de la résultante des poussées élémentaires suivant Ox est égale à la poussée hydrostatique s’exerçant sur la projection Sx de la surface sur un plan perpendiculaire à la direction Ox.

6. Equilibre d’un liquide par rapport à son récipient mobile Vincent Rabier a. mouvement de translation uniformément accéléré. Soit l’accélération constante, supposée horizontale La surface libre est un plan, incliné d’un angle α sur le plan horizontal.   avec b. Vase cylindrique en rotation constante verticale vitesse de rotation constante w autour d’un axe vertical La surface libre et toutes les surface d’égale pression sont donc des paraboloïdes de révolution autour de l’axe zz’ et dont le paramètre commun est g/w².

1. Flotteurs définitions et conventions Rabier Vincent III. Flotteurs 1. Flotteurs définitions et conventions a. Définition Flotteur : solide qui reste en équilibre alors qu’il est partiellement immergé dans un liquide. Carène: partie immergée du flotteur b. Poussée Déplacement = volume de la carène x poids volumique du liquide(ω) Poussée = Résultante des forces de pression exercées par le liquide sur le flotteur -         est verticale -         est dirigée de bas en haut -         a son support qui passe par le centre de poussée -         a un module égale au déplacement

2. Théorème d’Euler : surface de flottaison (Julien Agache) Énoncé : Le centre de flottaison correspondant à une position d’équilibre du flotteur est aussi le centre de flottaison pour une position isocarène infiniment voisine. Autrement dit, au cours d’un déplacement isocarène infiniment petit de flotteur, le centre de flottaison reste fixe. Corollaire : Les flottaisons isocarènes admettent une surface enveloppe qui est touchée par chacune d’elles au centre de flottaison correspondant. Cette surface enveloppe est donc la surface de flottaison. Généralisation : Le théorème précèdent s’applique d’une manière plus générale, à des volumes égaux d’une masse constante que l’on limite en haut par une surface plane horizontale, par exemple, à une masse liquide invariable contenue dans un vase que l’on incline d’un petit angle, la surface intérieur du vase jouant alors le rôle des parois du flotteur.

3. Théorème de Dupin : surface de poussée Énoncé : Le plan tangent à la surface de poussée au centre de poussée P est parallèle à la flottaison correspondant au centre de poussée P Corollaire I : La poussée, qui passe par le centre de poussée P, est une force verticale, donc normale à la flottaison qui est horizontale et, par suite, normale aussi au plan tangent en P à la surface de poussée qui est parallèle à la flottaison. Ainsi, la normale à la surface de poussée en chaque point P est le support de la poussée correspondant à la carène de centre de poussée P. Cette proposition conduit à considérer l’ensemble des supports des poussées correspondant à des positions isocarènes d’un flotteur comme une congruence de droites normales à une même surface qui est la surface de poussée.

Corollaire II Quand le flotteur est en équilibre, le poids et la poussée ont même support vertical. Ce support commun passe par le centre d’inertie du flotteur et est normal à la surface de poussée. Nous trouverons donc les orientations d’équilibre du flotteur pour un arrimage déterminé, c'est-à-dire pour un centre d’inertie déterminé, en menant, du centre d’inertie, les normales à la surface de poussée. Il y a équilibre quand l’une de ces normales est verticale. En désignant par V, le volume de la carène et par v le volume d’un onglet, on a la relation :

4. Métacentres On considère les positions isocarènes déduites les unes des autres par des mouvements tels que l’axe instantanée d’inclinaison soit constamment horizontal et parallèle au plan longitudinal (mouvement de roulis). Au cours de ces mouvements, le centre de poussée reste sensiblement dans un plan vertical et perpendiculaire au plan longitudinal, dit plan transversal ; le lieu de ces centres est une courbe (C), que nous appellerons courbe de poussée de roulis. On considère les positions isocarènes déduites les unes des autres par des mouvements tels que l’axe instantané d’inclinaison soit constamment perpendiculaire au plan longitudinal, nous pouvons définir une courbe métacentrique de tangage, et un métacentre de tangage.

Positions des métacentres de roulis et de tangages: Avec I : le moment d’inertie de la flottaison par rapport à l’axe instantané d’inclinaison Toutefois le rayon métacentrique de tangage est plus grand que le rayon métacentrique de roulis. En effet, le moment d’inertie du tangage est supérieur à celui du roulis et le volume est le même.

5. Stabilités de l’équilibre (Jean Molines) G est au dessus de M,  < 0 R – a < 0 => équilibre instable

=> équilibre stable M est au dessus de G,  > 0 R – a > 0 => équilibre stable

6. Notions sur le mouvement d’un flotteur 1. Équation de mouvement Équation du mouvement: J.d²/dt² = - m.g.(R-a). Mouvement périodique de période

2. Chavirement Si A2>A1, retour en position d’équilibre Si A2<A1, Chavirement

1. Fluides peu compressibles IV. Statique des fluides compressibles 1. Fluides peu compressibles Vincent Rabier L’augmentation ρ –ρ0 que subit la masse volumique ρ0, quand la pression passe, à température constante, de la valeur p0 à la valeur p, peut être caractérisée par le coefficient de compressibilité isotherme χ θ Influence de cette faible compressibilité dans la loi de variation de pression avec la profondeur: Pour l’eau, χ θ =5.10-10 m²/N et ρ0=1000 kg/m3 donc p - p0 = 2,5 .10-6z’

3. Les gaz (Emmanuel Girault) - Loi élémentaire de variation de pression atmosphérique - Loi de variation de pression dans une atmosphère isotherme pz la pression à l’altitude z, Tm la température considéré constante à cette altitude, H0 et p0 l’altitude et la pression de référence. - Loi de variation de pression dans une atmosphère où la température varie linéairement

- Atmosphère-type 0 < z < 11 000 m , Z > 11 000 m, mm de Hg kg/m3 kg/m3 ou tirée des deux équation précédentes

4. Les ballons (Nicolas Moreau) Les ballons fermés : Ballons sondes Rupture d’équilibre avec le poids volumique initial Ballons flasques au sol à enveloppe extensible C’est un ballon dont l’enveloppe se gonfle avec son élévation. Il possède une structure rigide pour maintenir l’enveloppe Ballons toujours tenus à enveloppe inextensible Ce ballon, de par son enveloppe ne peut éclater, il flotte à un altitude plus ou moins constante (variation avec le rayonnement solaire)

Les ballons ouverts Surpression dans un ballon Lorsque l’on se positionne en deux points du ballon, on a : Pouvoir ascensionnel La force ascensionnelle provoquée par les surpressions, rapportée à l’unité de volume est verticale et dirigée vers le haut : avec la densité du gaz par rapport à l’air Plafond La hauteur maximale à laquelle pourra montée le ballon s’écrit : Utilisation