Intersection de Surfaces de Subdivision Sandrine LANQUETIN

Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002 SOMMAIRE Surfaces implicites Surfaces paramétriques Surfaces de subdivision Modélisation Opérations booléennes Intersection de surfaces Intersection de surfaces de subdivision Conclusion et perspectives 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002 SURFACES IMPLICITES Définition : Avantages : Point intérieur ou extérieur Tangente, normale et courbure Inconvénients : Énumération des points Portion bornée Union Continuité Représentation algébrique Possibilité d’utiliser une équation polynomiale homogène f(x,y,z,w)=0. Polynôme homogène = tous les termes du polynôme ont le même degré. Avantages : Facile de vérifier si un point est intérieur ou extérieur à la surface Pour un point donné, on peut calculer explicitement la tangent, la normale et la courbure Inconvénients : Il est difficile d’énumérer les points de la surface Comment représenter une portion bornée Union de telles surfaces difficile à contrôler Maintien de la continuité et de l’aspect lisse de la surface 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

SURFACES PARAMETRIQUES Définition : Avantages : Enumération des points Différentiable Design Inconvénients : Appartenance à l’objet Calculs de distance Les surfaces sont représentées par des équations paramétriques (par morceaux) sur un domaine borné, par exemple des B-splines. Avantages : Enumération des points Différentiable Bien adaptées au travail de Design Inconvénients : Appartenance à l’objet Calculs de distance 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

SURFACES DE SUBDIVISION Subdivision d’un cube : méthode de Doo Sabin Converge vers une B – spline biquadratique Subdivision d’un cube : méthode de Doo-Sabin 5 itérations Convergence vers une B – spline biquadratique 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

SURFACES DE SUBDIVISION Application répétée de F: Nouveau Réseau de contrôle = F (Ancien Réseau de contrôle) Mailles de plus en plus fines Choix de F pour que : Convergence Ck continuité (C0, C1…) Plis et des pointes Support Normales Choix de F pour que : La surface converge Degré désiré de Ck continuité (C0, C1…) Contrôle des plis et des pointes Petit support Normales à la surface explicitement calculables 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

SURFACES DE SUBDIVISION Avantages : Algorithmes simples Maillages arbitraires Surfaces lisses Géométrie complexe Inconvénient : Pas la vraie surface Choix de F pour que : La surface converge Degré désiré de Ck continuité (C0, C1…) Contrôle des plis et des pointes Petit support Normales à la surface explicitement calculables 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002 Géométrie Complexe Main de Woody dans Toy Story Main de Geri dans Geri’s Game Avec les NURBS, très difficile d’éviter les coutures 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

SURFACES DE SUBDIVISION Loop C2 continuité Catmull – Clark Doo – Sabin C1 continuité Butterfly Loop, Catmull – Clark, Doo – Sabin : Butterfly : principe d’interpolation Loop : principes d’approximation, maillage triangulaire, converge vers une B - spline triangulaire quartique, C2 continuité Catmull - Clark : principes d’approximation, maillage carré, converge vers une b – spline cubique, C2 continuité Doo – Sabin : converge vers une B – spline biquadratique, C1 continuité Butterfly modifié : converge vers une spline de degré 4, maillage triangulaire, C1 continuité 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002 SOMMAIRE Modélisation Opérations booléennes Intersection de surfaces Intersection de surfaces de subdivision Conclusion et Perspectives CSG Conversion 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002 CSG CUBE : C SPHERE : S Primitives : Exemple Toutes les opérations booléennes reviennent à effectuer une intersection des deux primitives, ce qui change, c’est la partie de la surface qui est conservée 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

CONVERSION DE CSG A B-Rep Besoin explicite des cotés et des sommets Algorithme d’évaluation de frontières 1er pas : Calcul des courbes d’intersection 2nd pas : Combinaison des parties Besoin explicite des cotés et des sommets A l’aide d’un algorithme d’évaluation de frontières 1er pas : calcul des courbes d’intersection entre les surfaces des primitives 2nd pas : combinaison des parties des surfaces requises pour obtenir la surface de l’objet composé 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002 SOMMAIRE Modélisation Opérations booléennes Intersection de surfaces Intersection de surfaces de subdivision Conclusion et perspectives 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

INTERSECTION DE SURFACES Il faut : Point (x,y,z) Classer Évaluer Coté frontière 4 catégories principales : Analytique Discrétisation Suivi Subdivision Il faut : Savoir si un point (x,y,z) appartient à la courbe d’intersection Classer les points de cette courbe Évaluer cette courbe L’utiliser comme un coté frontière pour délimiter la surface 4 catégories principales : Méthodes analytiques Méthodes d’évaluation de treillis Méthodes de suivi Méthodes de subdivision 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002 Méthodes analytiques Principe : 1ère surface : 2nde surface : Equation principale obtenue par substitution : i.e. Avantages : Calculs exacts Topologiquement fiable Inconvénients : Mémoire Manque d’efficacité Principe : 1ère surface donnée sous forme implicite 2ème surface donnée sous forme paramétrique Obtention d’une équation principale décrivant l’intersection des deux surfaces en substituant les termes (x,y,z) de l’équation paramétrique dans l’équation implicite Avantages : Si les calculs aboutissent, ils sont exacts Possibilité d’effectuer l’intersection avec une troisième surface Inconvénients : Nécessite beaucoup de mémoire Manque d’efficacité : calcul des racines long Calculs vite lourds et longs Solution : Utiliser des méthodes d’approximation 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

Méthodes de discrétisation Principe : Avantage : Calculs plus simples Inconvénients : Résolution de la grille Systèmes indépendants d’équations non - linéaires Principe : Réduction de la dimension des intersections des surfaces par le calcul des intersections des courbes isoparamétriques d’une surface avec l’autre surface Connexion des points d’intersection obtenus pour former la courbe d’intersection Avantage : Calculs plus simples Inconvénients : Choix de la résolution de la grille déterminant Pour des carreaux paramétriques, revient à résoudre un grand nombre de systèmes indépendants d’équations non - linéaires 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002 Méthodes de suivi Principe : Avantages : Fiable Facile à mettre en œuvre Inconvénients : Incomplète Direction de suivi, taille du pas Principe : A partir d’un point donné, génération d’une suite de points jusqu’à retomber sur ce point ou rencontrer un bord. Utilisation de la géométrie différentielle pour déterminer la direction et d’un pas approprié Les points peuvent être joints par des segments ou par des splines. Avantages : Fiable Faciles à mettre en œuvre Inconvénients : Incomplète : calcul d’un ou plusieurs point de départ nécessaire (discrétisation ou subdivision) Choix de la direction de suivi et de la taille du pas de déplacements déterminants 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002 SOMMAIRE Modélisation Opérations booléennes Intersection de surfaces Intersection de surfaces de subdivision Conclusion et perspectives 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

Méthodes de subdivision Principe : Décomposition du problème Connexion des segments Avantages : Pas besoin de calculer de point de départ Calculs simples Facile à implémenter Inconvénients : Points singuliers Calcul approché et lent Les méthodes de subdivision transforment la représentation de la surface en remplaçant des morceaux de la surface par des petits segments plans. Principe : Décomposition du problème en problèmes semblables plus simple jusqu’à une solution directe (ex : plan/plan) Connexion des segments solutions pour obtenir une approximation polygonale de la courbe d’intersection Avantages : Pas besoin de calculer de point de départ Calculs simples Facile à implémenter Inconvénients : Problème près des points singuliers Calcul approché et lent Pb des méthodes d’approximation : Pour les points singuliers Près des faces coplanaires :::topologie incorrecte, disparition de segments de la courbe d’intersection 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

Intersection par construction Choix du réseau de contrôle Intersection d’objets 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

1ère étape : intersection des faces 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

2ème étape : calcul des segments Différents cas selon que les mailles sont triangulaires ou quadrilatérales 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

3ème étape : connexion des segments 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

3ème étape : connexion des segments 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

Complexité Combinatoire Qualité de l’approximation Degré de subdivision Courbe polygonale Degré élevé 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

Complexité Combinatoire Réduction de la complexité Nombre d’intersections Durée d’une intersection Obrien 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002 Obrien et Manocha Maillage grossier Paires de triangles qui s’intersectent (PQP) Les méthodes de subdivision transforment la représentation de la surface en remplaçant des morceaux de la surface par des petits segments plans. Pb des méthodes d’approximation : Pour les points singuliers Près des faces coplanaires :::topologie incorrecte, disparition de segments de la courbe d’intersection 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002 Obrien et Manocha Triangles Triangles qui influencent les points de contrôle Abandon des autres Les méthodes de subdivision transforment la représentation de la surface en remplaçant des morceaux de la surface par des petits segments plans. Pb des méthodes d’approximation : Pour les points singuliers Près des faces coplanaires :::topologie incorrecte, disparition de segments de la courbe d’intersection 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002 Obrien et Manocha Raffinement Recommencer jusqu’à condition d’arrêt Connexion des paires de triangles par un chemin Les méthodes de subdivision transforment la représentation de la surface en remplaçant des morceaux de la surface par des petits segments plans. Pb des méthodes d’approximation : Pour les points singuliers Près des faces coplanaires :::topologie incorrecte, disparition de segments de la courbe d’intersection 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002 Obrien et Manocha Points d’intersection Connexion par des splines Catmull-Rom Les méthodes de subdivision transforment la représentation de la surface en remplaçant des morceaux de la surface par des petits segments plans. Pb des méthodes d’approximation : Pour les points singuliers Près des faces coplanaires :::topologie incorrecte, disparition de segments de la courbe d’intersection 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

Complexité Combinatoire Réduction de la complexité Nombre d’intersections Durée d’une intersection Obrien Parcours 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002 Ordre de parcours fonctions réorganisation du graphe le long de la courbe d’intersection Ou autre méthode 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

Complexité Combinatoire Réduction de la complexité Nombre d’intersections Durée d’une intersection Obrien Parcours Intersection polygones Suppression 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

Convergence ? = Intersection des réseaux subdivisés Subdivision de la courbe d’intersection ? = On sait calculer l’approximation de la courbe d’intersection à différents niveaux de subdivision On est aussi capable de calculer la subdivision de la courbe d’intersection polygonale du niveau initial La question est : Est-ce qu’on aboutit au même résultat ? Et quelles règles de subdivision faut-il utiliser pou subdiviser la courbe Plusieurs cas : Même règle de subdivision pour les deux surfaces ou non Même niveau de subdivision ou non On connaît déjà des cas où ça ne marche pas : cas de la fausse intersection 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002 Fausse intersection 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002 Autre problème Voisinage 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002 SOMMAIRE Modélisation Opérations booléennes Intersection de surfaces Intersection de surfaces de subdivision Conclusion et perspectives 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

Conclusion et Perspectives Problème de convergence Intersection de réseaux au niveau k Subdivision de la courbe Comparaison Diminuer la complexité Restriction des faces Chemin, ordre de parcours Existence de l’intersection Conditions Nécessaires et Suffisantes Nous allons travailler sur le problème de convergence, tout d’abord sur des exemples pour essayer de conjecturer quelque chose Calcul de la courbe polygonale d’intersection de deux réseaux au niveau k Subdivision de la courbe polygonale initiale des deux réseaux jusqu’au niveau k Comparaison de ces deux courbes Diminuer la complexité Restriction des faces Chemin, ordre de parcours Existence de l’intersection Conditions Nécessaires et Suffisantes 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002

Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002 Fin 28/03/2002 Intersection de surfaces de subdivision - GTMG2002