Bruno DELACOTE Collège de MASEVAUX Savoir factoriser Type d ’activité : leçon illustrée Bruno DELACOTE Collège de MASEVAUX AVERTISSEMENT : Certaines images, dont les images clip art, sont protégées par les droits d ’auteur. Les diapositives ne peuvent être ni dissociées ni redistribuées sans autorisation.

Conseils et méthode de travail Une feuille s’ouvre sur une série d’exercices : A chaque clic (gauche) tu obtiendras des aides ou des indications et finalement la solution. Il faut absolument éviter de cliquer trop rapidement Prépare l’exercice avant de visionner la solution. Vérifie (sans tricher !) Si tu as commis des erreurs, ne les corrige pas avant d ’avoir compris pourquoi tu t’es trompé. Pour naviguer dans la présentation tu peux utiliser les boutons ci dessous ou le clic droit de la souris. Permet de revenir page précédente Permet de revenir au sommaire Ouvre une autre présentation

Sommaire Les rudiments et le vocabulaire Le facteur commun est une variable Le facteur commun est une expression Sommaire Le facteur commun est caché Avec les identités remarquables. Factoriser pour résoudre une équation

3x + 6 est une expression développée Pour retrouver la forme factorisée de 3x + 6 il suffit de remarquer que 3x + 6 = 3 x x + 3 x 2 d'où 3x + 6 = 3( x + 2) 3 est appelé le facteur commun Pour factoriser les expressions suivantes On pense et On écrit 3x + 12 4x - 20 9 - 18x 16x - 4 25x + 15 12x -9 90x - 60y

résoudre l'équation x(x + 6) =0 x² + 6x est une expression développée Pour retrouver la forme factorisée de x² + 6x il suffit de remarquer que x² + 6x = x x x + x x 6 d'où x² + 6x = x( x + 6) x est le facteur commun Pour factoriser les expressions suivantes On pense et On écrit x² + 2x 4x3 - 20x² 9x - 8x² 16x5 - 4x² 25x² + 15x 12x7 - x5 90x3 - 60x

x + 1 est le facteur commun Pour retrouver la forme factorisée de (x + 1)² + 2(x + 1) il suffit de remarquer que (x + 1 )² + 2(x +1) = (x + 1) x (x + 1) + (x + 1) x 2 d'où (x + 1 )² + 2(x +1) = (x + 1) x [(x + 1) + 2] = (x +1)(x+3) x + 1 est le facteur commun Méthode : On peut souligner le facteur commun Pour écrire (x +3)(x+2) - (x + 3)(2x -5) = (x +3)[(x+2) - (2x -5)] penser (x +3) x (x+2) - (x + 3) x (2x -5) = (x +3) x [(x+2) - (2x -5)] = (x +3)[x+2 - 2x + 5)] On peut vérifier la factorisation en développant les deux expressions. Les expressions développées sont identiques. = (x +3)[ -x+7] Attention : pour enlever un couple de parenthèses précédé du signe - il faut changer les signes à l'intérieur du couple de parenthèses ! résoudre l'équation...

Quelques exercices Pas de problème ! Attention ! Attention ! Attention ! Résoudre l'équation ...= 0

(Le facteur commun caché apparaît au premier clic) Mettre les expressions suivantes sous forme d'un produit de deux facteurs du premier degré. (Le facteur commun caché apparaît au premier clic)

Avec les identités remarquables Il faut savoir reconnaître a² + 2ab + b² = (a + b)² donc 9x² + 24x + 16 = (3x)² + 2 x 3x x4 + 4² = (3x + 4)² (2x)² +2x2xx1+1² Ne pas oublier que (2x+1)² = (2x + 1)(2x + 1) Résoudre l'équation

Attention au signe - placé devant la parenthèse Avec les identités remarquables Reconnaître a² - 2ab + b² = (a - b)² (3x)² - 2x3xx2+ 2² Ne pas oublier que (3x-2)² = (3x - 2)(3x - 2) Attention au signe - placé devant la parenthèse Résoudre l'équation

Attention au signe - placé devant la parenthèse Avec les identités remarquables Reconnaître a² - b² = (a - b)( a+ b) (3x)² - 4² Attention au signe - placé devant la parenthèse Résoudre l'équation

(Reconnaître une identité remarquable dans l'expression encadrée) Mettre les expressions suivantes sous forme d'un produit de deux facteurs du premier degré. (Reconnaître une identité remarquable dans l'expression encadrée)

On cherche un facteur commun METHODE Pour résoudre certaines équations il faut mettre l'expression sous forme d'un produit égal à zéro. (2x +3)(x - 5) = x² - 10x + 25 On cherche un facteur commun (2x +3)(x - 5) = (x - 5)² On regroupe tous les termes dans un membre et on factorise (2x +3)(x - 5) - (x - 5)² = 0 (x - 5)[(2x + 3) - (x - 5)] = 0 (x - 5)[2x + 3 - x + 5] = 0 On utilise le théorème : Pour qu'un produit soit nul il faut et il suffit que l'un des facteurs soit nul. (x - 5)(x + 8 ) = 0 (x - 5) = 0 ou (x + 8 ) = 0 L' équation admet deux solutions qui sont x = 5 et x = - 8

Résoudre les équations suivantes (un clic sur l'équation permet de revoir la factorisation) Revoir la méthode x = 0 et x = - 6 x² + 6x = 0 (x + 1)² + 2(x + 1) = 0 (x + 3)(x+ 2) - (x + 3)(2x -5) = 0 x = - 1 et x = -3 x = -3 et x = 7 x = 2 et x = 10 x = 0,5 et x = - 7/3 x = - 4/3 et x = - 32/3 x = 3 et x = 0,6 x = - 0,5 et x = 0,2 x = 2/3 et x = - 3 x = 4/3 et x =3

Résoudre les équations suivantes après avoir mis les expressions sous forme d'un produit de facteurs du premier degré. Revoir la méthode x² + 6x = 0 (x + 1)² + 2(x + 1) = 0 (x + 3)(x+ 2) - (x + 3)(2x -5) = 0

On cherche un facteur commun METHODE Pour résoudre certaines équations il faut mettre l'expression sous forme d'un produit égal à zéro. (2x +3)(x - 5) = x² - 10x + 25 On cherche un facteur commun (2x +3)(x - 5) = (x - 5)² On regroupe tous les termes dans un membre et on factorise (2x +3)(x - 5) - (x - 5)² = 0 (x - 5)[(2x + 3) - (x - 5)] = 0 (x - 5)[2x + 3 - x + 5] = 0 On utilise le théorème : Pour qu'un produit soit nul il faut et il suffit que l'un des facteurs soit nul. (x - 5)(x + 8 ) = 0 (x - 5) = 0 ou (x + 8 ) = 0 L' équation admet deux solutions qui sont x = 5 et x = - 8