Algèbre vectorielle Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction Dans la partie algèbre vectorielle, nous avons fait l’étude des vecteurs et des opérations sur ceux-ci. Cette étude a débuté par les vecteurs géométriques. Nous avons vu qu’à l’aide de vecteurs linéairement indépendants, on peut décrire différents lieux géométriques. En effectuant des opérations sur des vecteurs, on constate que, lorsque ceux-ci sont exprimés comme combinaison linéaire d’une base, les opérations ne portent que sur les scalaires des combinaisons linéaires. Cette constatation nous amène à introduire la notion de vecteur algébrique qui est un couple (R2) ou un triplet (R2) composé des scalaires exprimant le vecteur dans la base orthonormée usuelle du plan cartésien ou de l’espace cartésien. De plus, la définition de vecteur algébrique est généralisable pour obtenir Rn.

Vecteurs géométriques Dans cette première section, nous reverrons quelques notions sur les vecteurs géométriques.

Vecteur géométrique DÉFINITION Vecteur géométrique Un vecteur géométrique est un segment de droite orienté, noté , où A est l’origine et B l’extrémité du vecteur. AB Il possède les caractéristiques suivantes : • une longueur, appelée le module du vecteur, et notée AB ; • une direction, définie par la droite ∆s, qui lui sert de support, ou par toute droite qui lui est parallèle, par exem-ple ∆d; • un sens, indiqué par une pointe de flèche à l’extrémité du segment de droite.

Addition S DÉFINITION Addition de vecteurs géométriques , deux vecteurs géométriques libres. Le vecteur somme ou vecteur résultant, noté Soit u et v , peut être obtenu par deux méthodes, que l’on appelle méthode du parallélogramme et méthode du trian-gle. + Méthode du parallélogramme Méthode du triangle Les vecteurs étant libres, on peut faire coïncider l’origine de l’un avec l’extrémité de l’autre. Le vecteur somme a alors la même origine que le premier et même extrémité que le second. Les vecteurs étant libres, on peut faire coïncider leurs origines. Le vecteur somme est alors donné par la diagonale du parallélogramme construit sur les deux vecteurs en partant de l’origine commune. De plus, u – v = u + (– v) S

Multiplication par un scalaire DÉFINITION Multiplication d’un vecteur géométrique par un scalaire , un vecteur géométrique non nul et p, un scalaire non nul. La multiplication du vecteur par le scalaire p donne un nouveau vecteur, noté p Soit u u, dont les caractéristiques sont : sa direction est la même que u; p son module est u = soit le produit de la valeur absolue de p et du module du vecteur u; son sens est : – le même que , si p > 0; u – opposé à celui de , si p < 0; u pour tout De plus, p = pour tout p , et 0 u u.

Combinaison linéaire DÉFINITION Combinaison linéaire de vecteurs On appelle combinaison linéaire des vecteurs toute expression de la forme : Soit v1 , v2 v3 , …, vn , des vecteurs. a1 v1 v2 v3 vn + a2 + a3 + … + an si et seulement s’il existe des scalaires a1, a2, a3, … an tels que : est une combinaison linéaire des vecteurs On dit qu’un vecteur w v1 , v2 v3 , …, vn w = a1 v1 v2 v3 vn + a2 + a3 + … + an On dit également que w est engendré par les vecteurs v1 , v2 v3 , ... vn

Vecteurs engendrés En considérant un vecteur et un point comme origine, on peut, par combi-naison linéaire, engendrer tous les vecteurs ayant la même droite support. En considérant deux vecteurs non colinéaires (linéairement indépen-dants) ayant une origine commune, on peut, par combinaison linéaire, engendrer tous les vecteurs du plan de ces vecteurs. En considérant trois vecteurs non coplanaires (linéairement indépendants) ayant une origine commune, on peut, par combinaison linéaire, engendrer tous les vecteurs de l’espace.

Dépendance et indépendance linéaire DÉFINITION Dépendance linéaire Soit V = { v1 , v2 v3 , …, vn }, un ensemble de vecteurs. On dit que les vecteurs de V sont linéairement dépendants si et seulement si il existe des scalaires a1, a2, a3, … an non tous nuls tels que : a1 v1 v2 v3 vn + a2 + a3 + … + an = DÉFINITION Indépendance linéaire Soit V = { v1 , v2 v3 , …, vn }, un ensemble de vecteurs. On dit que les vecteurs de V sont linéairement indépendants si et seulement si l’égalité : a1 v1 v2 v3 vn + a2 + a3 + … + an = est vérifiée uniquement lorsque : a1 = a2 = a3 = … = an = 0. S

Base de l’espace DÉFINITION Base de l’espace } est une base de l’espace si et seulement si les vecteurs Un ensemble B = { e1 sont linéairement indépendants. e2 , e3 et Tous les vecteurs de l’espace peuvent s’exprimer comme combinaison linéaire des vecteurs d’une base. On est donc en mesure d’effectuer les opérations sur les vecteurs en les exprimant dans la base. On constate que l’on peut effectuer les opérations en ne considérant que les scalaires. On note alors : – u = (1; 0; 1) et v = (1; 1; –2), d’où : u + v = (1; 0; 1) + (1; 1; –2) = (2; 1; –1) Considérons les vecteurs u et v. C’est cette constatation qui nous amè-nera à introduire la notion de vecteur algébrique qui dans R3 est le triplet exprimant le vecteur dans la base naturelle. Cette notion de vecteur algébrique peut alors être généralisée. e1 e2 e3 + – 2 u = et v u + v = ( e1 e3 ) + ( e2 – 2 ) = ( e1 + ) + e2 e3 + ( – 2 ) = (1 + 1) e1 + e2 + (1 – 2) e3 = 2 e1 + e2 – e3

Base et repère d’une droite DÉFINITION Base d’une droite Repère d’une droite Un ensemble B = { Un ensemble {P, e e1 } est un repère de la droite ∆ si et seulement si : } est une base de la droite ∆ si et seulement si : • le vecteur • P est un point de la droite ∆; e est non nul; • tout vecteur de ∆ est une combinaison linéaire de • B = { e } est une base de ∆. e1. On dit que {P, e } est un repère d’origine P et de base e. Un vecteur non nul forme une base de plusieurs droites. Pour décrire une droite particulière, il faut, en plus de la base, en donner un point. La base de la droite n’est pas nécessai-rement un sous-ensemble de la base de l’espace. Il faut avoir un vecteur non nul définissant la direction de cette droite. On peut encore décrire tout point de la droite dans le repère de celle-ci et dans la base de l’espace. OQ = OP + PQ = OP + a u On peut alors décrire tout point Q de cette droite dans son repère. = ( e1 + e2 ) + a( e1 – e2 + e3 ) où a est un scalaire. Dans cet exemple, on a : OQ = OP + PQ = OP + a e1 = ( e1 + 2 e3 ) + a e1 , où a est un scalaire.

Base et repère d’un plan DÉFINITION Repère d’un plan Base d’un plan Un ensemble {P, Un ensemble B = { } est une base d’un plan si et seulement si les vecteurs e1 e1 e2 , e2 , } est un repère d’un plan si et seulement si : • P est un point de l’espace; e1 et e2 sont linéairement indépendants. • B = { e1 , e2 } est une base ordonnée du plan. Deux vecteurs linéairement indépen-dants forment une base de plusieurs plans. Pour décrire un plan parti-culier, il faut, en plus de la base, en donner un point. La base d’un plan n’est pas nécessai-rement un sous-ensemble de la base de l’espace. Il faut avoir deux vecteurs linéairement indépendants parallèles à ce plan. On peut encore décrire tout vecteur du plan dans le repère de celui-ci ou dans la base de l’espace. OQ = OP + PQ = OP + a u + b v On peut alors décrire tout point Q de ce plan dans son repère. = ( e1 + e2 ) + a( e1 + e3 ) + b(– e1 + e3 ) où a et b sont des scalaires. Dans cet exemple, on a : OQ = OP + PQ = OP + a e1 + b e2 où a et b sont des scalaires (nombres réels).

Vecteurs algébriques Notre étude des vecteurs géométriques nous a permis de constater que les opérations sur ceux-ci ne portent que sur les scalaires exprimant ces vecteurs comme combinaisons linéaires de la base considérée. Cela permet de redéfinir les opérations en ne considérant que les scalaires exprimant les vecteurs dans cette base. Parmi toutes les bases possibles, il est avantageux de considérer une base constituée de vecteurs unitaires, perpendiculaires deux à deux. On peut alors représenter un vecteur de R2 en donnant le couple des scalaires exprimant le vecteur comme combinaison linéaire de cette base. De la même façon, on caractérise un vecteur de R3 par un triplet et, on peut alors généraliser et définir des vecteurs dans Rn.

Plan cartésien Dans un repère, on peut exprimer tout vecteur comme combinaison linéaire des vecteurs de la base. Les opérations peuvent alors être définies sur les scalaires de ces combinaisons linéaires. Dans le plan, on utilise le repère orthonormé suivant. DÉFINITION Plan cartésien Le plan cartésien (ou plan réel) est un plan de repère orthonormé {O, i , j }, où i est horizontal et orienté vers la droite et j est vertical et orienté vers le haut. Tout vecteur du plan peut alors s’écrire sous la forme : v i = v1 j + v2 ou sous la forme : v = (v1; v2). En particulier : i = 1 j + 0 = (1; 0) et j i = 0 + 1 = (0; 1)

Espace cartésien Dans l’espace, on utilise le repère orthonormé suivant. DÉFINITION Espace cartésien L’espace cartésien est un espace de repère orthonormé {O, i , j , k }. Les vecteurs du repère sont orientés comme dans l’illustration ci-contre. Tout vecteur de l’espace peut alors s’écrire sous l’une des formes suivantes : k u i = u1 j + u2 + u3 ou u = (u1; u2 ; u3). En particulier : i = 1 j + 0 = (1; 0; 0) k j i = 0 + 1 = (0; 1; 0) k + 0 et k i = 0 j + 0 = (0; 0; 1) + 1

Espace R3 On désigne par R3 l’espace tridi-mensionnel dans lequel chaque point est caractérisé par trois coordonnées qui forment un triplet. Les axes sont désignés par x, y et z et représentés comme dans l’illustration ci-contre. Pour représenter un triplet dans cet espace, on procède comme dans R2, en reportant perpendiculairement les coordonnées sur les axes. Représentons les triplets (3; –4; 4) et (–4; 3; 4). On peut, par la relation de Chasles, considérer un vecteur dont l’origine est un point A et l’extrémité un point B, et déterminer un vecteur algébrique égal dont l’origine est au point (0; 0; 0). Dans R3, un vecteur algébrique est un triplet de la forme : u = (u1; u2; u3) Il est caractérisé par les coordonnées du point à son extrémité.

Vecteur algébrique dans Rn La notion de vecteur algébrique est généralisable à des suites de n composantes. Nous ne rappelons ici que les définitions des opérations sur de telles suites. Pour les opérations dans R2 ou R3, il suffit de considérer n = 2 ou n = 3. On ne peut donner de repré-sentation géométrique d’un vecteur algébrique de Rn. Cependant, tout phénomène comportant n variables se traite avec des vecteurs de Rn. DÉFINITION Vecteur algébrique dans Rn Un vecteur algébrique de Rn est une suite (u1; u2; …; un), où les composantes sont toutes des nombres réels, ce que l’on note ui Î R pour tout i. Le module ( ou la norme) du vecteur algébrique de Rn est : u =  u12 +  u22 + … +  un2

Égalité de vecteurs algébriques de Rn Pour définir des opérations sur les objets d’un ensemble, il faut préalablement donner un sens à l’égalité entre deux éléments de cet ensemble. DÉFINITION Égalité de vecteurs algébriques dans Rn sont égaux (ou équipollents) si et seulement si leurs composantes respectives sont égales. Symboliquement : Deux vecteurs de Rn, u = (u1; u2 ; ….; un) et v = (v1; v2 ; …; vn) Û u1 = v1, u2 = v2, … et un = vn u = v

Opérations dans Rn DÉFINITION Addition de vecteurs algébriques dans Rn deux vecteurs algé-briques dans Rn. Soit u = (u1; u2; …; un) et v = (v1; v2; …; vn), Le vecteur somme est défini par l’égalité suivante : u v + = (u1; u2; …; un) + (v1; v2; …; vn) = (u1+ v1; u2+ v2 ; …; un+ vn) DÉFINITION Multiplication d’un vecteur algébrique par un scalaire dans Rn = (u1; u2;…; un) un vecteur algébrique dans Rn et k un scalaire. Soit u La multiplication du vecteur par le scalaire k donne le vecteur défini par l’égalité suivante : k u = k(u1; u2; …; un) = (ku1; ku2; …; kun)

Vecteurs algébriques et systèmes d’équations Dans Rn, comme dans R2 et R3, c’est à l’aide d’un système d’équations linéaires non homogène que l’on exprime un vecteur comme combinaison linéaire des vecteurs d’une base. En effet, il faut alors déterminer la valeur des scalaires de cette combinaison linéaire. Il faut chaque fois, après avoir échelonné la matrice, interpréter le résultat : aucune solution, infinité de solutions, solution unique. Pour déterminer si des vecteurs sont linéairement indépendants ou linéairement dépendants, il faut résoudre un système d’équations homogène. Il faut chaque fois, après avoir échelonné la matrice, interpréter le résultat : infinité de solutions, solution unique.

Espace vectoriel et sous-espace vectoriel Lorsqu’un ensemble est muni d’opérations et que celles-ci satisfont à certaines propriétés, on dit que l’ensemble est doté d’une structure. La structure que l’on étudie en algèbre linéaire est celle d’espace vectoriel. Nous avons déjà rencontré plusieurs ensembles qui possèdent une structure d’espace vectoriel. C’est le cas de l’ensemble des matrices de même dimension, des vecteurs géométriques et de vecteurs algébriques.

Structure d’espace vectoriel K, un corps de scalaires Un ensemble V Multiplication par un scalaire, Ä Addition, Å Addition, + Fermée sur V, Fermée sur K, associative, associative, Fermée sur V, possède un neutre, possède un neutre, distributive sur +, chaque élément a un opposé, chaque élément a un opposé, distributive sur Å , commutative. Multiplication, ´ associative avec ´, commutative. Fermée sur K, Le neutre de ´est neutre pour Ä . V a une structure de groupe abélien. distributive sur +, associative, possède un neutre, Les éléments de K sont appelés scalaires. Les éléments de V sont appelés vecteurs. chaque élément, sauf 0, a un inverse.

Sous-espace vectoriel Pour déterminer si un sous-ensemble d’un espace vectoriel forme un sous-espace vectoriel (si le sous-ensemble a la même structure), on applique le théorème suivant. Il est important de relire les exemples de l’ouvrage illustrant cette procédure. THÉORÈME Sous-espace vectoriel Soit U, un sous-ensemble d’un espace vectoriel V. Le sous-ensemble U est un sous-espace vectoriel de V si et seulement si les trois conditions suivantes sont satisfaites : 1. U est non vide. 2. L’opération d’addition de vecteurs est fermée sur U : u v Pour tout Î U, et Å Î U 3. L’opération de multiplication d’un vecteur par un scalaire est fermée sur U : Î U u Pour tout et pour tout k Î K, (k u) Ä

Base et dimension d’un espace vectoriel Définition Base d’un espace vectoriel Soit V, un espace vectoriel sur K, et B, un ensemble de n vecteurs de V. L’ensemble B forme une base de V si : 1. les vecteurs de B sont linéairement indépendants; 2. tout vecteur de V peut s’écrire comme combinaison linéaire des vecteurs de B (tous les vecteurs de V sont engendrés par les vecteurs de B). Définition Dimension d’un espace vectoriel Soit V, un espace vectoriel sur K. La dimension de V, notée dim V, est définie comme suit : n si une base de V contient n vecteurs. dim V = 0 si le seul élément de V est le vecteur nul.

Sous-espace engendré THÉORÈME Sous-espace engendré }, un ensemble non vide de vecteurs d’un espace vectoriel V sur un corps K. Soit U = { v1 v2 v3 vn , , …, Alors, l’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de U, noté L(U), forme un sous-espace vectoriel de V. Pour décrire le sous-espace engendré par un ensemble de vecteurs de R3, il faut déterminer à quelles conditions un vecteur (a; b; c) est engendré par combinaison linéaire des vecteurs donnés. On doit alors appliquer la méthode de Gauss. La ou les conditions sont alors des équations à partir desquelles on peut déterminer la forme générale des vecteurs engendrés et en déterminer une base plus simple à visualiser, puisque les vecteurs sont alors dans les plans du système d’axes. La dimension du sous-espace est alors donnée par le nombre de vecteurs dans cette base.

Lieux géométriques On peut décrire des sous-ensembles d’un espace vectoriel comme combinaison linéaire de vecteurs en imposant des contraintes au domaine de variation des scalaires. Considérons les vecteurs : v1 = (2; 0; 4), v2 = (1; 4; 0) et v3 = (–2; 1; 2) Les points du parallélépipède construit sur ces vecteurs sont décrits par : (x; y; z) = r(2; 0; 4) + s(1; 4; 0) + t(–2; 1; 2), où 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ s ≤ 1 et 0 ≤ t ≤ 1. La description paramétrique des points du parallélépipède est : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ s ≤ 1 et 0 ≤ t ≤ 1 x = 2r + s – 2t y = 4s + t z = 4r + 2s , où 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ s ≤ 1 et 0 ≤ t ≤ 1.

Conclusion Cette présentation avait pour but de rappeler certains éléments importants de la partie sur l’algèbre vectorielle et les applications qui ont été faites de ces notions dans l’ensemble du cours. Vous devriez normalement avoir identifié, grâce à cette présentation, les notions et applications que vous ne maîtrisez pas. Il est important pour votre préparation à l’examen synthèse que vous preniez le temps de relire les exemples et refaire des exercices sur les notions et applications que vous ne maîtrisez pas.

Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. Chapitres 5 à 7 et 13.