Econométrie de la Finance STA202 Michel Béra Professeur du Cnam Chaire de modélisation statistique du risque 26/05/2018

Analyse statistique des rendements - Alain Monfort – I Plan : 1 – rendement d’un actif 2 – rendement d’un portefeuille 3 – statistique des rendements 4 – performance de Sharpe 5 – value at Risk (VaR) 26/05/2018

Rendement d’un actif (1) Actifs : il y en a , indicés par Temps (date) représenté par t Au temps t l’actif i a le prix p[i,t], au temps t+1 le prix est p[i,t+1] Rendement de l’actif i (return) : R[i,t+1] = (p[i,t+1] – p[i,t]) / p[i,t] R[i,t+1] = p[i,t+1]/p[i,t] – 1 On l’appelle aussi : taux de rendement, rate of return 26/05/2018

Rendement d’un actif (2) Rendement brut de l’actif i : p[i,t+1]/p[i,t] = 1 + R[i,t+1] R[i,t+1] est inconnu à la date t, c’est une variable aléatoire Mise en place d’un actif sans risque : on lui fait correspondre l’indice i=0 p[0,t+1] est connu à la date t, il est déterministe R[0,t+1] = p[0,t+1]/p[0,t] – 1 Rendement net de l’actif risqué i : RN[i,t+1] = R[i,t+1] – R[0,t+1] pour i=1,..,n On l’appelle aussi : excess return 26/05/2018

Rendement d’un portefeuille (1) Définition d’un portefeuille composé d’actifs i : Définition par les pondérations en volume (quantités) a[i] = nombre d’unités de l’actif i dans le portefeuille a[i] peut être positif ou nul, ou négatif Définition par les pondérations en valeur (capitalisation) ~[i] = somme consacrée à l’actif i dans le portefeuille ~[i] peut être positif ou nul, ou négatif Cas de la pondération en volume (allocation) Portefeuille a = (a[0],a[1], ..,a[n]) a est un vecteur à n+1 composantes Prix en t : ∑{a[i].p[i,t] | i=0,..,n} Prix en t+1 : ∑{a[i].p[i,t+1] | i=0,..,n} 26/05/2018

Rendement d’un portefeuille (2) Calculons le rendement du portefeuille, appelé R[t+1](a) : R[t+1](a) = ∑{a[i].p[i,t+1] | i=0,..,n} / ∑{a[i].p[i,t] | i=0,..,n} R[t+1](a) = (∑[i,t].p[i,t+1]/p[i,t])–1 Où [i,t] = a[i].p[i,t]/(∑{a[i]p[i,t]|i=0,..,n}] On a bien entendu ∑{[i,t] |i=0,..,n}=1 [i,t] est la part en valeur de l’actif i, ≥0 ou <0 26/05/2018

Rendement d’un portefeuille (3) Alors R[t+1](a) = ∑{[i,t].(R[i,t+1]+1)-1 | i=0,..,n} Et donc R[t+1](a) = ∑{[i,t].R[i,t+1] | i=0,..,n} Cas de la pondération en valeur (allocation) On a un vecteur (~[0],..,~[n]) mais ~[i] = p[i,t].a[i,t] comme [i,t] = a[i,t].p[i,t] / ∑{a[i,t]p[i,t]|i=0,..,n} On a [i,t] = ~[i] / ∑{~[i] | i=0,..,n} = ~[i] qui est indépendant de t 26/05/2018

Rendement d’un portefeuille (4) En conclusion : Soit un portefeuille fixe dans le temps en volume : il a un rendement qui est la moyenne des R[i,t+1], avec des poids variables, [i,t] Soit un portefeuille fixe dans le temps en valeur, avec des parts représentées par le vecteur  = (([0],..,[n]), et ∑{[i] | i=0,..,n} =1, ce portefeuille a un rendement qui est la moyenne pondérée des R[i,t+1], avec des poids fixes [i] pour l’actif i 26/05/2018

Rendement d’un portefeuille (5) Rendement net RN[t+1]() On a : RN[t+1]() = ∑{[i,t].R[i,t+1]|i=0,..,n} – R[0,t+1] = ∑{[i,t].(R[i,t+1] – R[0,t+1]|i=0,..,n} = ∑{[i,t].RN[i,t+1]|i=0,..,n} 26/05/2018

Statistique des Rendements (1) Hypothèse statique forte : Soient les rendements nets RN[t] RN[t] = (RN[1,t],..,RN[n,t])’, pour t=1,..,T Ils forment T vecteurs aléatoires de dimension n, iid et leur distribution est une loi normale à n dimensions N(µ,Ω) µ est un vecteur à n dimensions Ω est une matrice [n,n] symétrique définie positive 26/05/2018

Statistique des rendements (2) Considérons R[t] = (R[1,t],..,R[n,t])’; t=1,..,T R[t] suit approximativement une loi normale IN(µ + R[0,t].e,Ω), e est le vecteur (1,..,1)’ à n composantes Il y a IN et non IIN car R[0,t], bien que déterministe, varie à chaque t 26/05/2018

Statistique des rendements (3) Estimateurs du maximum de vraisemblance de µ,Ω : (voir Chapitre II) µ*[T] = (1/T).∑{RN[t] | t=1,..,T} = RNm[T] Ω*[T] = (1/T). ∑{(RN[t] - RNm[T]).(RN[t] - RNm[T])’ | t=1,..,T} 26/05/2018

Statistique des rendements (4) Propriétés de µ*[T], Ω*[T] µ*[T], Ω*[T] sont indépendants Quand T->∞, µ*[T] -> µ, Ω*[T] -> Ω La loi de √T.(µ*[T] - µ) tend vers N(0,Ω) √T.(Ω*[T] - Ω) est asymptotiquement normal covas(√T.(Ω*[T] - Ω).a, √T.(Ω*[T] - Ω).b) = a’Ωb Ω + Ωba’Ω 26/05/2018

Statistique des rendements (5) covas(√T.(ω*[i,j;T] – ω[i,j]), √T.(ω*[k,l;T] – ω[k,l])) = ω[i,k].ω[j,l]+ ω[j,k].ω[i,l] Démonstration : Soit e[j] le vecteur de dimension n où la jième composante est 1, les autres nulles On prend a=e[j], b=e[l] et on cherche le terme (i,k) de covas(√T.(Ω*[T] - Ω).a, √T.(Ω*[T] - Ω).b) 26/05/2018

Statistique des rendements (6) Il vient : e’[j].Ω.e(l).Ω + Ω.e[l].e[j]’.Ω = ω[j,l].Ω + Ω[l].Ω[j]’ CQFD (ou QED pour les latinistes) Cas particulier : √T.(ω*[i,i;T] – ω[i,i]) tend en loi quand T->∞ vers N(0,2ω[i,i]²), où ω[i,i] est la variance de RN[i,t] Démonstration : prendre a=b=e[i]’ 26/05/2018

Statistique des rendements (7) Estimation du rendement net moyen d’un portefeuille Portefeuille fixe dans le temps en valeur RN[t]() = ∑{[i].RN[i,t] | i=1,..,n} RN[t]() = ’.RN[t], où  = ([1],..,[n])’ Les T variables RN[t]() sont IIN(’µ,’Ω) Attention : ∑{[i] | i=1,..,n} ≠1, sauf si [0]=0 26/05/2018

Statistique des rendements (8) Le rendement net moyen ’µ noté m() est estimé par m*() = ’.µ*[T] On a par ailleurs : √T(’. µ*[T] - ’.µ) ~ N(0, ’Ω) Et donc √T(’. µ*[T] - ’.µ) / √(’.Ω*T.) converge asymptotiquement en loi vers N(0,1) On en déduit l’intervalle de confiance pour m() ’.µ*[T] ± (2/√T).√(’.Ω*T.) 26/05/2018

Statistique des rendements (9) Estimation de la variance d’un portefeuille On a : Variance σ²() = ’.Ω. Elle est estimée par ’.ΩT*. = σT*²() On a la convergence asymptotique en loi suivante : √T.(σT*²() - σ²()) -> N(0,2(’Ω)²) Car (slide 13) : Vas(√T.(ΩT* - Ω). ) = ’.Ω..Ω + Ω..’.Ω Vas(√T.’.(ΩT* - Ω). ) = ’.(’.Ω..Ω + Ω..’.Ω). = 2(’Ω)² D’où l’intervalle de confiance à 95% de σ²() : σT*²() ± 2.√2. (’.ΩT*.) /√T 26/05/2018

Statistique des rendements (9) Remarque : soient deux actifs risqués i=1,2 On se donne µ1=µ2=µ, ω[1,1]=ω[2,2]=ω, ω[1,2]=ρ.ω Soit un portefeuille composé à partir de ces deux actifs, décrit par  = (1,2) avec 1+2=1 On a alors : RN() ~ N(µ,’.Ω.) ’.Ω. = (1²+2²).ω + 2ω[1,2].1.2 = ((1+2)².ω – 2ω.1.2 + 2ρ. 1.2 = ω – 2ω.1.2.(1-ρ) < ω si les i sont positifs, i=1,2 C’est la théorie de la diversification 26/05/2018

Performance de Sharpe (1) Soient n actifs risqués de rendements nets respectifs : RN[t] = (RN[1,t],..,RN[n,t])’ RN[T] ~ N(µ,Ω) Et en particulier : RN[i,t] ~ N(µ[i],ω[i,i]) Alors la performance de Sharpe de l’actif i est : s[i] = µ[i]²/ω[i,i] Plus généralement, pour un portefeuille décrit par un vecteur  s() = (’.µ)²/(’.Ω.) = m²()/σ²() s() = m²()/v(), où v() = σ²(), σ() est la volatilité 26/05/2018

Performance de Sharpe (2) Performance de Sharpe de l’ensemble des actifs s* = µ’.Ω-1.µ Remarques : la performance du portefeuille décrite par  est homogène de degré 0 en  la performance de l’ensemble des actifs peut s’interpréter comme la performance du portefeuille défini par * = Ω-1.µ, car m(*) = µ’. Ω-1.µ v(*) = µ’. Ω-1.µ = m(*) 26/05/2018

Performance de Sharpe (3) Estimation de s() sT*() = (mT*())²/vT*() avec : mT*() = ’.µT* vT*() = ’.ΩT*. Comportement asymptotique de sT*() On différentie (Δ méthode) pour développer l’expression de sT*(), autour de s(), en omettant  dans les expressions pour simplifier ΔsT* = 2m.ΔmT*/v – m². ΔvT*/v² √T.(sT*-s) ~ 2m.√T.(mT*-m)/v – (m²/v²).√T.(vT*-v) 26/05/2018

Performance de Sharpe (4) Or on a vu : √T.(mT*-m, vT*-v)’ tend en loi asymptotiquement vers N(0,G), où g11 = v, g22 = 2v², g12 = g21 =0 Donc : √T(sT* - s) tend en loi asymptotiquement vers N(0,4m²v/v²+m4.2v²/v4) = N(0,4m²/v + 2m4/v²) = N(0, 2s.(2+s)) 26/05/2018

Performance de Sharpe (4) Construisons l’intervalle de confiance à 95% de s() : sT*() ± (2√2/√T).[sT*().(sT*()+2)]1/2 Regardons en particulier la performance s*=s(*) de l’ensemble des actifs, définie pour * = Ω-1.µ Elle est estimée par s*T=µ*’T.(Ω*T)-1.µ*T = s*T.(*T), *T= (Ω*T)-1.µ*T 26/05/2018

Performance de Sharpe (5) Comportement asymptotique de s* : c’est le même que celui de sT*(*), car : √T.(sT*(T*)- sT*(*)) ~ (∂s/∂’)(*).√T.(T* - *) Or (∂s/∂)(*) = 0 car * est homogène de degré 0 en  On en déduit que √T.(sT* - s*) tend asymptotiquement en loi vers N(0,2s*.(2+s*)) Ce qui donne l’intervalle de confiance : sT* ± (2√2/√T).[sT*.(sT*+2)]1/2 26/05/2018

Performance de Sharpe (6) Cas de deux portefeuilles Soient 1 et 2 les parts en actifs risqués, et considérons s(1),s(2),sT*(1),sT*(2) On montre que le vecteur √T.(sT*(1)- s(1), sT*(2)- s(2)) suit asymptotiquement la loi normale d’espérance (0,0), et de matrice de variance-covariance 2x2 Q définie par q11 = 2s1.(2+s1), q22=2s2.(2+s2), q12=q21=2s12.(2+s12), avec s12 = A/B, la coperformance, où A = [(1’.µ1).(2’. µ2).(1’.Ω.2)] B = [(1’.Ω.1).(2’.Ω.2)] 26/05/2018

Performance de Sharpe (7) Cas particulier : √T.[sT*(1)-sT*(2) – (s(1)-s(2))] tend asymptotiquement en loi vers N(0,q), q = 2s1.(2+s1)+2s2.(2+s2)-4s12.(2+s12) Ceci permet de faire un test d’égalité de s(1) et de s(2), par la statistique de Wald (familière en régression logistique, basée sur la normalité asymptotique des estimateurs ML des coefficients) On calcule la statistique de Wald ξTW = T.[sT*(1)-sT*(2)]²/q* On rejette si ξTW ≥ c²0.95(1) ~ 4 26/05/2018

Performance de Sharpe (8) Autre expression : prenons s() = m²()/σ²(), et remplaçons-le par s0()=[s()]1/2=m()/σ(), [m()>0] s0T*()=[sT()]1/2 = mT*()/ σT*(), avec toujours [mT*()>0], Reprenons la méthode du Δ : Δs0T*()=(1/2).s-1/2().ΔsT √T.[s0T*()- s0*()] tend asymptotiquement en loi vers N(0,(1/4).s-1().2s().[2+s()]) = N(0,1+(1/2).s0²()) 26/05/2018