Les fractales: une géométrie de la nature

Les fractales dans la nature Quand on observe la nature, on rencontre de très nombreux objets fractals Des fractales? Où çà?

Le chou-fleur La surface du chou-fleur est constituée de cônes qui se juxtaposent de manière enroulée en spirales, formant ainsi des volutes qui constituent elles-mêmes des cônes similaires aux premiers, mais d’échelle plus grande.

Si on coupe le chou de bas en haut, on note une organisation en branches et sous-branches qui, agrandies plusieurs fois peuvent se confondre avec le chou lui-même ou la branche principale d’origine.

Les fougères Les feuilles présentent une structure telle qu’une partie de la feuille semble être une réplique du tout

Une côte Lorsqu’on prend une carte côtière, quelle que soit l’échelle, elle représente une distribution semblable de caps et de baies.

On ne sait pas mesurer la côte de Bretagne!! Quelle est la longueur de la côte bretonne? Selon l’atlas que nous regarderons, nous trouverons différentes mesures. Cela ne veut pas dire que toutes ces mesures soient fausses. Selon B. Mandelbrot, cette longueur est infinie! On ne sait pas mesurer la côte de Bretagne!!

Les éclairs Ce sont des décharges électriques sous forme d’étincelle qui éclatent entre deux nuages ou entre un nuage et la terre. On voit clairement que la ligne principale se subdivise en lignes secondaires qui elles-mêmes se subdivisent à leur tour.

Certains éléments du corps humain le sont aussi! Montrons le Les fractales dans le corps humain l Ce chou est fractal! Certains éléments du corps humain le sont aussi! Montrons le

Les poumons Les bronches et bronchioles forment une structure arborescente dont chaque élément plus petit est identique aux arborescences de plus grande taille.

La nature a ainsi résolu le problème de créer une surface la plus grande possible (afin de permettre l’oxygénation du sang)dans un volume fini (notre cage thoracique) Si les poumons n’avaient pas cette structure, ils occuperaient une sphère peu viable de 2.8m3

L’auto-similarité Tous les objets qui précèdent ont la particularité qu’un morceau ressemble au tout! C’est la propriété d’auto-similarité.

Construction de figures ayant cette propriété d’auto-similarité

Le flocon de Von Koch (1904)

Principe de la construction Sur chaque segment, on remplace le second tiers par les côtés d’un triangle équilatéral

Le tapis de Sierpinsky C’est une surface dont on enlève un carré central …. indéfiniment

L’éponge de Menger On enlève le cube central, ….indéfiniment

Le triangle de Sierpinsky On divise le triangle équilatéral de départ en 4 triangles semblables et on enlève le triangle central (celui qui est dans le sens contraire du triangle initial) On recommence indéfiniment

Comment appeler ces figures ayant la propriété d’auto-similarité?

En 1975, Benoit Mandelbrot crée expressément le mot « fractal » Selon lui, on ne peut donner une définition empirique de ce terme mais on peut citer certaines caractéristiques de ces objets:

un objet fractal est un objet mathématique dont l’essence même est d’apparaître indéfiniment « brisé » Un objet fractal continue à présenter une structure détaillée à toute échelle Un objet fractal à homothétie interne possède la propriété d’auto-similarité Un objet fractal peut avoir une dimension non entière (nous y reviendrons)

Et oui, certains objets sont de dimension non entière La dimension des fractales Et oui, certains objets sont de dimension non entière

Ils sont fous ces matheux! d, la dimension fractale d’un objet est donnée par: Ils sont fous ces matheux! Log n/log s Où n est le nombre de figures identiques nécessaires pour obtenir une figure s fois plus grande.

d= log 3/ log 2 = 1.58 (nombre non entier!!) Dimension fractale du triangle de Sierpinsky Soit 1 le côté du triangle initial Alors dans la seconde étape, le côté des 3 triangles est ½. Lorsqu’on passe d’un des petits triangles de la seconde étape au triangle initial, la figure est deux fois plus grande (s=2) et on a besoin de trois petits triangles (n=3) d= log 3/ log 2 = 1.58 (nombre non entier!!)

A propos des belles images fractales générées par des transformations. C’est beau les maths!!

L’ensemble de Mandelbrot (1981)

Procédé Soit la suite z n+1 = zn2 + c avec z0=0 et c, un complexe. Pour chaque pixel de l’écran, on associe une valeur de c. Si zi a un module supérieur à 2, la suite diverge et le pixel est dessiné en couleur i. Quand la suite ne diverge pas, on colorie le pixel en noir.

Particularités de cet ensemble. Quelle que soit la zone que l’on agrandit, on retrouve toujours à un moment donné la forme de départ!!!

Que peut-on faire avec des fractales? ????

Les images virtuelles Sur l’ordinateur, on peut faire apparaître des images virtuelles d’objets naturels d’une grande complexité et d’une extraordinaire ressemblance. Voici quelques exemples

Dans l’industrie Elles sont à l’origine des nouveaux matériaux d’isolation comme les polymères. De procédés de récupération du pétrole par injection de fluides sous pression dans les roches poreuses Etc.

Dans l’art

Fin

Remerciements à Nadine Flamant Michel Ballieu Jean Jacqueson Christine Carton Mai 2003