Fonction puissance Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction Les fonctions puissances sont des relations dans lesquelles la variable dépendante est proportionnelle à une puissance de la variable indépendante. On retrouve parmi celles-ci les variations directement proportionnelles et les variations inversement proportionnelles à la variable indépendante ou à son carré. Historiquement, les premières situations qui ont été décrites par des modèles mathématiques sont des variations directement proportionnelles ou inversement proportionnelles. Plusieurs phénomènes sont descriptibles par les fonctions puissance, c’est-à-dire des fonctions dans lesquelles la variable indépendante est affectée d’un exposant qui est un nombre réel.

Fonction puissance DÉFINITION Fonction puissance Une fonction puissance est une une fonction définie par une règle de correspondance de la forme : f(x) = axb où a est une constante. Il n’y a pas de critère algébrique simple pour détecter une fonction puissance. Cependant, il est possible de faire l’hypothèse d’un tel lien à partir de la représentation graphique des données expérimentales.

Formes de la fonction puissance La fonction puissance prend différentes formes selon la valeur du paramètre b. Formes de la fonction puissance pour x ≥ 0 et a > 0 Si b > 1 Si 0 < b < 1 Si b < 0 y y y x x x f(0) = 0 f(0) = 0 f(0) n’existe pas Nous ne présentons ici que les formes obtenues lorsque la variable indépendante x est plus grande que 0, car ce sont celles rencontrées en modélisation.

Vocabulaire des formes Les courbes (ou portions de courbes) peuvent avoir seulement quatre formes décrites par les notions de croissance et de concavité. Vocabulaire des formes Concave vers le haut Concave vers le bas y y Croissante x x y y Décroissante x x

Taux de variation y ∆y ∆y ∆x x On peut également caractériser la forme d’une fonction dans un intervalle à l’aide du taux de variation de la fonction dans cet intervalle. Le taux de variation d’une fonction non affine n’est pas constant, il varie. y On peut cependant en estimer une valeur approchée en calculant la pente du segment de droite passant par deux points rapprochés de la courbe. ∆y Le taux de variation est estimé par le rapport : ∆y ∆x x

Croissance et décroissance DÉFINITION y Fonction croissante Une fonction est croissante dans un intervalle [a; b] si son taux de variation est positif partout dans l’intervalle. Une fonction est croissante dans un intervalle si la valeur de la variable dépendante augmente lorsque celle de la variable indépendante augmente dans cet intervalle. a b x Fonction décroissante y Une fonction est décroissante dans un intervalle si la valeur de la variable dépendante diminue lorsque celle de la variable indépendante augmente dans cet intervalle. Une fonction est décroissante dans un intervalle [a; b] si son taux de variation est négatif partout dans l’intervalle. a b x On peut donner une caractéristique de la croissance et de la décroissance à l’aide du taux de variation. S S

Concavité S DÉFINITION Fonction concave vers le haut y Une fonction est concave vers le haut dans un intervalle si son taux de variation augmente lorsque la valeur de la variable indépendante augmente dans cet intervalle. ∆y2 ∆y1 ∆x1 = ∆x2, mais ∆y1 < ∆y2, donc : ∆y1 ∆x1 ∆x2 < ∆x1 ∆x2 x y Fonction concave vers le bas Une fonction est concave vers le bas dans un intervalle si son taux de variation diminue lorsque la valeur de la variable indépen-dante augmente dans cet intervalle. ∆y1 ∆y2 ∆x1 = ∆x2, mais ∆y1 > ∆y2, donc : ∆y1 ∆x1 ∆x2 > x ∆x1 ∆x2 S

Cas particuliers de la fonction puissance La fonction puissance présente plusieurs cas particuliers intéressants lorsque le paramètre b a une valeur entière. Lorsque b a une valeur entière positive, la variable dépendante est directement proportionnelle à une puissance de la variable indépendante. Lorsque b = 1, on a un lien de est directement proportionnalité directe qui est également un cas particulier de la fonction affine. Lorsque b a une valeur entière négative, la variable dépendante est inversement proportionnelle à une puissance de la variable indépendante. Chacun de ces cas particulier a une représentation graphique caractéristique que l’on peut décrire avec le vocabulaire des formes. S S R(T) = 0,216T + b, d’où b = R(T) – 0,216T

Cas particulier DÉFINITION Variation inversement proportionnelle y Variation inversement proportionnelle Soit x et y deux variables d’un phénomène. On dit que y varie de façon inversement proportionnelle à x si le lien entre les variables est de la forme : y = ax–1 x où a est une constante appelée constante de proportionnalité. La courbe d’une variation inversement proportionnelle est décroissante et concave vers le haut. Une variation inversement proportionnelle s’écrit normalement sous la forme : y = a x

Cas particulier DÉFINITION y Variation inversement proportionnelle au carré Soit x et y deux variables d’un phénomène. On dit que y varie de façon inversement proportionnelle au carré de x si le lien entre les variables est de la forme : y = ax–2 x où a est une constante appelée constante de proportionnalité. La courbe d’une variation inversement proportionnelle est décroissante et concave vers le haut. Une variation inversement proportionnelle s’écrit normalement sous la forme : y = a x2

Cas particulier DÉFINITION y Variation directement proportionnelle au carré Soit x et y deux variables d’un phénomène. On dit que y varie de façon directement proportionnelle au carré de x si le lien entre les variables est de la forme : y = ax2 x où a est une constante appelée constante de proportionnalité. La courbe d’une variation directement proportionnelle au carré est croissante et concave vers le haut. Dans les situations pour lesquelles le type de relation est connu (ou donné dans l’énoncé du problème), il faut normalement déterminer la constante de proportionnalité à l’aide des données du problème pour répondre à la question posée.

Exemple 3.1.3 La force d’attraction ou de répulsion F en newtons (N) entre deux charges électriques est inversement proportionnelle au carré de la distance r en mètres (m) qui les sépare. On mesure une force de répulsion de 2,3 N entre deux charges à 3,2 m l’une de l’autre. Décrire mathématiquement le lien entre les variables. F = 23,552 r2 F = 23,552 r2 Quelle serait l’intensité de la force entre ces deux charges si elles étaient distantes de 1,8 m? À quelle distance devrait-on retrouver ces deux charges pour que la force de répulsion soit de 3,5 N? La variable indépendante est la distance r (m) et la variable dépendante est la force F (N). La force est inversement proportionnelle au carré de la distance entre les charges cela signifie que le modèle est de la forme : On doit déterminer la valeur de F lorsque r = 1,8 m. En substituant dans le modèle, on obtient l’équation : On doit déterminer la valeur de r lorsque F = 3,5 N. En substituant dans le modèle, on obtient l’équation : F = a r2 3,5 N = 23,552 N·m2 r2 m2 F = 23,552 N·m2 (1,8)2 m2 , d’où r = 2,59405... m. = 7,2691… N En substituant ces données dans le modèle, on obtient l’équation : Puisque les données comportent 2 chiffres significatifs, on retiendra 7,3 N comme force de répulsion entre les charges. Puisque les données comportent 2 chiffres significatifs, on retiendra 2,6 m comme distance entre les charges. 2,3 N = a 3,22 m2 F = 23,552 r2 , d’où a = 23,552 N·m2 et S S S

Variations mixtes Les variations directement ou inversement proportionnelles se rencontrent rarement à l’état pur, on a plutôt des variations mixtes, c’est-à-dire qu’une variable peut dépendre de plusieurs autres variables, mais pour étudier plus précisément la relation entre deux de ces variables, on considère les autres comme constantes. Nous allons maintenant étudier certaines situations comportant des variations mixtes. Dans de telles situations, il faut également utiliser les données du problème pour déterminer la constante de proportionnalité et décrire mathématiquement le lien entre les variables pour répondre aux questions.

Exemple 3.1.4 Une poutre supportée aux extrémités peut porter en toute sécurité une charge qui varie comme le produit de sa largeur par le carré de son épaisseur et inversement comme la distance entre les deux supports. Quelle charge pourrait supporter une poutre de même type mesurant 3 m de longueur? Représentons par C, la charge que la poutre peut supporter. De plus, représentons l’épaisseur de la poutre par h, sa largeur par l (lambda) et la distance entre les supports par d. L’énoncé permet alors d’écrire que la charge que peut supporter la poutre est donnée par : Pour étudier plus précisément la relation entre la charge et la longueur de la poutre, il nous faut considérer la largeur (6 cm) et l’épaisseur (12 cm) comme des valeurs constantes. On a alors : On sait que C = 240 kg si l = 6 cm, h = 12 cm et d = 200 cm. C = klh2 d En substituant les données: C(d) = 55,6 6 ´122 d 240 kg = k 6 cm ´122 cm2 200 cm C(300) = 55,6 6 ´122 300 = 160,128 Décrire mathématiquement la relation entre les variables, si une poutre de 6 cm de largeur, de 12 cm d’épaisseur et dont la distance entre les supports est de 2 m peut porter une charge de 240 kg, déterminer la relation entre ces variables. Le modèle cherché est donc : Puisque les données du problème ne comportent que deux chiffres significatifs, on retiendra 160 kg comme charge que la poutre pourra supporter. D’où l’on tire que la constante de proportionnalité est : k = 55,6 kg/cm2 C = 55,6 lh2 d kg S S S

Conclusion Il existe plusieurs phénomènes pour lesquels le lien entre les variables est une relation de puissance. Les cas particuliers les plus courants sont les variations directement proportionnelles à la variable indépendante ou à son carré et les variations inversement proportionnelles à la variable indépendante ou à son carré. Lorsque le type de lien entre les variables est connu, il suffit, la plupart du temps, de déterminer la valeur de la constante de proportionnalité à partir d’un couple de données. Nous verrons dans d’autres présentations comment procéder lorsque le lien n’est pas connu.

Lecture Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 3.1, p. 69 à 76. Exercices Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 3.2, p. 77 à 79.