Vers les fonctions …. Objectifs Travailler sur les tableaux (type tableaux de proportionnalité, mais pas seulement !) Travailler sur la représentation.

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1 Vers les fonctions …

2 Objectifs Travailler sur les tableaux (type tableaux de proportionnalité, mais pas seulement !) Travailler sur la représentation point par point de situations données. Travailler sur le « signe d’une expression ». Et donc aussi sur le principe des programmes de calculs. (cf. diaporama )

3 123 369 …… 123 ……… 33 ……… 369 33 Avec des tableaux … 12… …69 …… Dès la 6 ème En prenant soin de relier le procédé à des situations concrètes. Il s’agit de garder du sens.

4 123 456 81012 +…+… Avec des tableaux … …… Ce n’est plus un tableau de proportionnalité… 123 ……… ……… +3+3 22 1…3 45… …10… +…+… …… Dès la 5 ème

5 123 456 81012 +…+… Avec des tableaux … …… 123 ……… ……… +3+3 22 1…3 45… …10… +…+… …… 123..…… 81012  2 +…+… Une approche, qui peut être répétitive, de la distributivité. 12… 2…8 …10…  … … +…+…

6 x123 x + 3456 (x + 3)  2 81012 +…+… Avec des tableaux … …… Dès la 4 ème x123 ………… ………… +3+3 22 x123 ………… ………… 22 +3

7 x123 x + 3456 (x + 3)  2 81012 +…+… Avec des tableaux … …… Dès la 4 ème L’introduction de la lettre ne peut être que progressive, peut-être dès la 5 ème parfois. Sans doute est-il opportun d’associer ceci aux programmes de calcul où l’introduction de la lettre pourra paraître plus naturelle aux élèves…

8 Dès la 4 ème Et puis aussi, pourquoi pas … Trouver une valeur de x pour laquelle :  x + 3 est un nombre négatif.  2x – 7 est un nombre positif. Pour x = 2, quel est le signe du nombre :  x + 3  2x – 7 Pour x = - 2, quel est le signe du nombre :  x + 3  2x – 7 Pour x = - 4, quel est le signe du nombre :  x + 3  2x – 7 Pour x = 2, quel est le signe du nombre :  x – 3  -2x + 7

9 x123 2x2x246 2x + 3579  … … Avec des tableaux … +…+… Dès la 3 ème x123 ………… ………… 22 +3+3 x……… ………… …579 22 +3… …

10 x123 2x2x246 2x + 3579  … … Avec des tableaux … +…+… Dès la 3 ème x123 ………… 22 +3+3 x……… …579 22 +3… …

11 x123 2x2x246 2x + 3579  … … Avec des tableaux … +…+… Dès la 3 ème x123 …………  2 +3 x……… …579  2 +3 …………

12 Dès la 3 ème Factoriser l’expression : E = x 2 - 9 x- 6- 5- 4- 3-20123456 x 2 -9 Compléter le tableau suivant : Quelle conjecture peut-on formuler ? Résoudre : x 2 – 9 = 0

13 x- 6- 5- 4- 3-20123456 x 2 -9271670-5-8-9-8-5071627 Quel nuage de points* peut-on associer à ce tableau de valeurs ? Fig 1Fig 2 L’expression nuage de points* est connue par l’utilisation du tableur !

14 Le programme de la classe de sixième a pour objectifs principaux : Dans la partie « organisation et gestion de données, fonctions » : –de mettre en place les principaux raisonnements qui permettent de traiter les situations de proportionnalité ; –d’initier les élèves à la présentation de données sous diverses formes (tableaux, graphiques.). B.O. Hors série n°5 du 9 septembre 2004

15 1234567 36912151821  3 3 Dès la 6 ème Il s’agit d’un tracé point par point sans chercher à relier ces points. Pour autant, si un élève propose… Ce travail peut être poursuivi sur le même modèle jusqu’en 4 ème.

16 1234567 36912151821  3 3 À partir de la 5ème, on peut systématiser le tracé de la droite, mais il n’y a pas obligation … cela peut attendre la fin de l’année ou la 4 ème. Dès la 5 ème

17 Dès la 3 ème Plusieurs possibilités de lectures graphiques s’offrent : - retrouver une image - retrouver un antécédent - reconstruire un tableau - …

18 Sans insister sur la forme de la courbe, juste mettre en évidence qu’il n’y a pas que des droites…

19 Le B.O hors série n°2 du 30 août 2001 précise : Il faut que chaque élève, à son niveau, puisse faire l'expérience personnelle de l'efficacité des concepts mathématiques et de la simplification que permet la maîtrise de l'abstraction. Il doit, pour cela, pouvoir prendre le temps de faire des mathématiques, de bâtir un ensemble cohérent de connaissances et d'accéder au plaisir de la découverte et à l'expérience de la compréhension. ContenusCapacités attenduesCommentaires Premières fonctions de référence. Fonctions linéaires et fonctions affines. Établir le sens de variation et représenter graphiquement x  x 2 et x  1/x Connaître la représentation graphique de x  sinx et x  cosx Caractériser les fonctions affines par le fait que l’accroissement de la fonction est proportionnel à l’accroissement de la variable. D’autres fonctions telles que x , x  x 3, x   x , … pourront être découvertes à l’occasion de problèmes. Les résultats les concernant pourront être admis.Les positions relatives des diverses courbes ainsi découvertes seront observées et admises. La définition de sinx et cosx pour x réel se fera en « enroulant R » sur le cercle trigonométrique. On fera le lien avec les sinus et cosinus de 30°, 45° et 60°. Exemples de non linéarité. En particulier on fera remarquer que les fonctions carré, inverse, … ne sont pas linéaires. Dès la 2 nde

20 Associer la représentation graphique à sa fonction. f : x  x 2 g : x   x  h : x  k : x  x 3 t : x  sinx

21 Associer la représentation graphique à sa fonction. f : x  x 2 g : x   x  h : x  j : x  -x 2 k : x  x 3 t : x  sinx v : x  cosx s : x 

22 L’une de ces trois représentations graphiques n’est pas celle de la fonction f : x  x 2 Laquelle ?

23 Dès la 2 nde Factoriser l’expression : E = x 2 - 9 x- 6- 5- 4- 3-20123456 x 2 -9 Compléter le tableau suivant : Sur quel intervalle l’expression (x – 3) est-elle négative ? Sur quel intervalle l’expression (x – 3) est-elle positive ? Sur quel intervalle l’expression (x + 3) est-elle négative ? Sur quel intervalle l’expression (x + 3) est-elle positive ? x-33 x – 3 x + 3 (x – 3)(x + 3) Compléter le tableau de signes ci-contre.

24 Une activité possible … Observation du comportement de la représentation graphique de la fonction x  x 2 entre –1 et +1

25 x0+1 x2x2 101 Puis on intercale une valeur entre chacune, par exemple au centre de l’intervalle.

26 x-0,50+0,5+1 x2x2 10,250 1

27 Et on continue ainsi…

28 Une autre activité possible … Observation du comportement de la représentation graphique de la fonction x  1 – cos(x) entre – 4 et +4

29 x- 404 1 - cos(x)1,650 Puis on intercale une valeur entre chacune, par exemple au centre de l’intervalle. Valeurs approchées au centième

30 x- 4- 2024 1 - cos(x)1,651,420 1,65

31 Et on continue ainsi…

32 Sous la forme activités mentales, ces suggestions peuvent être difficiles à mettre en place. On peut par exemple imaginer : - Un support distribué (tableau de valeurs et repère) - L’utilisation du vidéo-projecteur - Une première approche sous une forme différente (exercices « classiques » en classe), afin que les élèves ne soient pas surpris par le type de questions. - Profiter d’une stratégie d’établissement : il n’y a pas de nouveauté en 3 ème /2 nde, cela a déjà été fait les années précédentes.