Histoire et épistémologie des mathématiques dans les temps modernes De la réforme des maths modernes aux logiciels de géométrie dynamique Leysin, le 30 septembre 2010 Les mathématiques, ce sont la partie de la physique où les expériences ne coûtent pas cher. Vladimir I. Arnold

1983

1969

1. Les années La contre-réforme 3. Lexpérimental

1. Les années 70 a. les origines b. quelques exemples c. les principes

1947. André Weil, dans Les grands courants de la pensée mathématique En quelques pays dEurope […] on trouvait, il ny a pas longtemps encore, un enseignement universitaire, appuyé sur un enseignement secondaire solide, qui assurait à lapprenti mathématicien à la fois les connaissances spécifiques et la culture générale sans lesquelles rien dimportant ne peut être fait. Que voyons-nous aujourdhui ? En France, aucune des branches essentielles des mathématiques modernes nest enseignée, sinon par raccroc, dans nos universités […].

1947. La représentation de lespace chez lenfant Lenseignement de la géométrie ne saurait trop gagner à sadapter à lévolution spontanée des notions, et cela dautant plus que […] cette évolution est beaucoup plus proche de la construction mathématique elle-même, que ne le sont la plupart des manuels soi-disant élémentaires. On a dit que la théorie des ensembles de Cantor devrait senseigner à lécole primaire. Nous ne serions pas éloignés den penser autant des éléments de la topologie …

1950 : Commission Internationale pour lEtude et lAmélioration de lEnseignement des Mathématiques. Ewart W. Beth Gustave Choquet Jean Dieudonné Caleb Gattegno André Lichnerowicz Jean Piaget […] amener à la conscience des professeurs les principaux problèmes qui semblent devoir servir de base à la synthèse effective exigée par un enseignement rénové.

1952 : Colloque de la Rochette (près de Melun), avec notamment Dieudonné et Piaget... Il nest pas exagéré de soutenir que les structures opératoires de lintelligence en formation manifestent dès le départ la présence des trois grands types dorganisation correspondant à ce que deviendront an mathématiques les structures algébriques, les structures dordre et les structures topologiques.

janvier 1968 : Charte de Chambéry (APMEP) Pourquoi lenseignement des mathématiques doit-il être réformé « de la maternelle aux facultés » ? Que lenseignement des mathématiques soit analysé dans son contenu, dans sa forme pédagogique, ou dans son rôle social ou économique, il est certainement très remarquable que les conclusions soient convergentes ; ce quon appelle un peu vite la mathématique moderne, ce quil conviendrait mieux dappeler la conception constructive, axiomatique, structurelle des mathématiques […] sadapte « comme un gant » […] à la formation de la jeunesse de notre temps.

la conception constructive, axiomatique, structurelle des mathématiques

1. Les années 70 a. les origines b. quelques exemples c. les principes

... manuels de 1971

Théorème de Thalès : cest une propriété des projections comme applications cest un axiome on peut en donner une version faible et démontrer la version forte...

Théorème de Pythagore :

AB BH BC AB ––– = ––– AB 2 = BC.BH ––– = ––– AC HC BC AC AC 2 = BC.HC A BC H AB 2 + AC 2 = BC.BH + BC.HC AB 2 + AC 2 = BC.(BH + HC) = BC 2

1. Les années 70 a. les origines b. quelques exemples c. les principes

la conception constructive, axiomatique, structurelle des mathématiques

Bien séparer le réel du mathématique :

Bien insister sur la phase mathématisation :

Bien expliciter la modélisation ensembliste :

Au total (instructions officielles) :

1. Les années La contre-réforme 3. Lexpérimental

2. La contre-réforme a. les réactions b. le retour au concret c. le retour de la géométrie

1970. René Thom, dans la revue Lâge de la science : [cest] une erreur considérable que de croire faciliter lacquisition des mathématiques en remplaçant la géométrie par des structures algébriques inculquées massivement et prématurément faute dune motivation convenable. Il faut le dire tout net : laxiomatisation est une recherche de spécialistes, qui na sa place ni dans lenseignement secondaire ni en faculté (sauf, bien entendu, pour les professionnels désireux de se spécialiser dans létude des fondements.

1990. dans Apologie du logos : Si, dans les années , javais suivi avec une certaine sympathie les débuts du mouvement, je ne tardai pas à être ulcéré par ses excès : on convoquait à luniversité les vieux instituteurs de campagne, blanchis sous le harnois par une vie dexpérience, et là, de jeunes freluquets, à peine sortis de leurs études de licence, leur assénaient des propos arrogants du type : Messieurs, vous prétendez savoir ce quest un nombre et vous croyez lavoir enseigné à vos élèves. Détrompez-vous ! Vous ne connaissez pas Cantor et sa théorie des ensembles : on ne compte pas un ensemble, on établit des correspondances bijectives entre ensembles, etc., etc.

22 février LAcadémie des Sciences : LAcadémie des sciences sémeut du caractère sans cesse plus abstrait et dogmatique de lEnseignement du second degré, qui sous-estime gravement loriginalité et la richesse de la méthode expérimentale. 3 janvier Jean Leray (Collège de France) après avoir cité la définition de la droite donnée plus haut : Un enseignement démentiel de la géométrie menace [la] classe de quatrième où les vocations doivent séveiller ; il met en danger la technique et la science françaises.

reflux progressif jusquen 1984 disparition de la plupart des notions controversées dans les programmes de 1984, tout au moins en collège et lycée … quelques exemples emblématiques : le théorème de Thalès devient la propriété de Thalès le théorème de Pythagore devient la propriété de Pythagore les angles de terminale cessent dêtre des matrices de rotations...

Le cas de lécole élémentaire est plus complexe : le constructivisme conserve une place très importante dans les directives pédagogiques exemple des procédures opératoires que lélève est censé découvrir par lui-même, importance durable donnée aux explications ensemblistes pour la compréhension des opérations quasi-disparition des mécanismes algorithmiques, …

Un manuel de CM2 : le constructivisme conserve une place très importante dans les directives pédagogiques exemple des procédures opératoires que lélève est censé découvrir par lui-même, importance durable donnée aux explications ensemblistes pour la compréhension des opérations, quasi-disparition des mécanismes algorithmiques, …

2. La contre-réforme a. les réactions b. le retour au concret c. le retour de la géométrie

« Un nombre limité de thèmes ont été choisis dans cet esprit […] en tentant dassocier des thèmes relevant de la culture scientifique à proprement parler et des thèmes ayant une portée dapplication directe, mais reposant sur des bases scientifiques. » « Ce que lélève doit emporter de lécole avec le petit bagage de notions pratiques déterminées par la loi, cest un ensemble de facultés exercées, un esprit juste, un cœur droit, […].

Jadis : « Pour faire de la boisson, une personne a acheté 5 kg. de raisin sec à 0 fr. 40 le kg., 2 kg. 5 de pommes tapées à 0 fr. 70 le kg. et 0 kg. 8 de genièvre à 0 fr. 55 le kg. Cette personne ayant mis 100 litres deau dans son tonneau, à combien lui revient le litre de cette boisson ? »(1887) « Un nombre limité de thèmes ont été choisis dans cet esprit […] en tentant dassocier des thèmes relevant de la culture scientifique à proprement parler et des thèmes ayant une portée dapplication directe, mais reposant sur des bases scientifiques. » « Un ouvrier consomme tous les jours de leau de vie pour 0fr25, il dépense en outre 1fr75 au cabaret tous les dimanches, mais sa femme et ses enfants sont presque nus. Il leur suffirait dune somme de 72fr pour se vêtir convenablement. Combien de jours cet ouvrier mettrait-il à économiser cette somme en sabstenant de liqueurs alcooliques ? » (1920) Naguère : On estime quune hirondelle détruit 50 chenilles par jour. On considère que chaque couple dhirondelles a 8 petits dont 2 ne survivent pas. Evalue le nombre de chenilles qui pourraient être détruites par 5 couples et leurs petits pendant un jour, puis pendant un mois de 30 jours. Hier : Aujourdhui : « On sait tous quil y a des années à moustiques et dautres sans, des années à coccinelles et dautres sans ! On se propose détudier lévolution dune population animale à laide dune fonction numérique f définie par ƒ(x) = kx(1 – x), k étant un paramètre réel qui dépend de lenvironnement. Dans la suite on sintéresse à la population de coccinelles… ( Banque d'exercices TS : n° 18 )

« Les thèmes de convergence se prêtent particulièrement bien à une évaluation, soit dans la discipline, soit dans le cadre dune pluridisciplinarité concertée. » thèmes de convergence

« Les thèmes de convergence se prêtent particulièrement bien à une évaluation, soit dans la discipline, soit dans le cadre dune pluridisciplinarité concertée. » santé sécurité mode de pensée statistique dans le regard scientifique sur le monde météorologie et climatologie environnement et développement durable énergie thèmes de convergence

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« Les thèmes de convergence se prêtent particulièrement bien à une évaluation, soit dans la discipline, soit dans le cadre dune pluridisciplinarité concertée. » sécurité mode de pensée statistique dans le regard scientifique sur le monde météorologie et climatologie environnement et développement durable énergie thèmes de convergence santé tabagisme obésité Maladies MST Régul. naissances alcool & drogues Un ouvrier consomme tous les jours de leau de vie pour 25 euros, il dépense en outre 175 euros au cabaret tous les dimanches, mais sa femme et ses enfants sont presque nus. Il leur suffirait dune somme de 720 euros pour se vêtir convenablement. Combien de jours cet ouvrier mettrait-il à économiser cette somme en sabstenant de liqueurs alcooliques ?

« Les thèmes de convergence se prêtent particulièrement bien à une évaluation, soit dans la discipline, soit dans le cadre dune pluridisciplinarité concertée. » sécurité mode de pensée statistique dans le regard scientifique sur le monde météorologie et climatologie environnement et développement durable énergie thèmes de convergence santé tabagisme obésité Maladies MST Régul. naissances alcool & drogues

« Les thèmes de convergence se prêtent particulièrement bien à une évaluation, soit dans la discipline, soit dans le cadre dune pluridisciplinarité concertée. » sécurité mode de pensée statistique dans le regard scientifique sur le monde météorologie et climatologie environnement et développement durable énergie thèmes de convergence santé tabagisme Maladies MST Régul. naissances alcool & drogues obésité Un collégien consomme tous les jours du coca- cola représentant 250 calories, il mange en outre 7 gâteaux au chocolat pour 30 calories chacun, mais il ne fait aucun exercice physique. Pour compenser, il lui suffirait de courir 7 km chaque jour. Combien de calories ce collégien pourrait-il consommer sans risques sil courait 10 km par jour ?

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« Les thèmes de convergence se prêtent particulièrement bien à une évaluation, soit dans la discipline, soit dans le cadre dune pluridisciplinarité concertée. » santé sécurité météorologie et climatologie environnement et développement durable énergie thèmes de convergence physique biologie histoire géographie vie scolaire mode de pensée statistique dans le regard scientifique sur le monde

« Les thèmes de convergence se prêtent particulièrement bien à une évaluation, soit dans la discipline, soit dans le cadre dune pluridisciplinarité concertée. » santé sécurité météorologie et climatologie environnement et développement durable énergie thèmes de convergence physique biologie histoire géographie mode de pensée statistique dans le regard scientifique sur le monde vie scolaire Lors des élections de délégués, Anne, Bernard et Carole ont obtenu respectivement 12, 8 et 11 voix. Sachant que 2 élèves ont mis des bulletins nuls, calcule le pourcentage de voix obtenu par chacun des candidats. On tire un bulletin au hasard dans lurne. Quelle est la probabilité pour que ce bulletin soit un bulletin nul ?

la vraie question : résoudre les problèmes...

Méthode arithmétique… Données Inconnues

Données Inconnues EQUATION Algèbre…

« Larithmétique ne marche jamais que du connu à linconnu ; lalgèbre, au contraire, marche souvent de linconnu au connu, de sorte que, de quelque manière quelle arrive à une conclusion ou équation, elle peut toujours parvenir à la connaissance de la quantité inconnue. Cest par ce moyen quon résout des problèmes très difficiles, dont on eût vainement cherché la solution par larithmétique seule. » Newton, 1707

Exercices dapplication : Douze bœufs paissent lherbe de 3 arpents 1/3 en 4 semaines ; 21 bœufs paissent celle de 10 arpents en 9 semaines ; on demande combien il faudra de bœufs pour manger lherbe de 24 arpents en 18 semaines. Newton, Arithmétique universelle, On a trois prés dune qualité égale, et dans lesquels on suppose que lherbe croît uniformément. Le premier b peut nourrir un nombre de bœufs a pendant le temps c ; le second e peut nourrir un nombre de bœufs d pendant le temps f ; on demande combien le troisième g peut nourrir pendant le temps h. Réponse : bdfgh – acegh – bcdgf + acefg befh bceh

« 12 bœufs paissent lherbe de 3 arpents 1/3 en 4 semaines… » « 36 bœufs paissent lherbe de 10 arpents 4 semaines… » 3 arpents 1/3 12 bœufs

2. La contre-réforme a. les réactions b. le retour au concret c. le reformalisation

« … La pulsion empiriste, […] se traduit […] par une poussée vigoureuse du numérique, par léparpillement et lévanouissement de lapprentissage des outils algébriques, par linsistance naïve sur le concret, et par le recours constamment réaffirmé à des activités dont lenseignement cherchera, à bon droit, mais fréquemment en vain, la substance. »

…les maths modernes « En fait, c'est bien là qu'est demandée aux maîtres une mutation radicale, qui exigera d'eux de grands efforts de vigilance, de surveillance d'eux-mêmes, une véritable conversion intellectuelle. Car les naturels ne sont plus liés à la mesure des objets du monde physique et, surtout, les opérations sur les naturels ne sont plus tirées des opérations sur les "grandeurs" du monde physique ou de l'univers quotidien telles que longueurs, poids, prix, capacités. » « La multiplication est une opération commutative. Les Instructions de 1945 parlent en plusieurs endroits de "nombres concrets". Cette expression, qui est proprement antinomique, car un nombre ne saurait être concret, a porté grand tort à la commutativité de la multiplication. Il n'y a pas à distinguer multiplicande et multiplicateur ; si on les distingue souvent, c'est parce qu'on pense plus à ces "nombres concrets", 3 sacs de 7 oranges, 15 barriques de 228 litres, qu'à des nombres. L'emploi de ces mots ne se justifie pas. »

[…] lacquisition des techniques (numération, opérations sur les nombres,…) nest pas abandonnée. Mais la notion de nombre gagnera à être préparée par des rudiments de grammaire des ensembles et de logique. Les enfants sauront compter et calculer plus tard peut-être que ne limposent les programmes actuels, mais ils le sauront mieux. APMEP. Charte de Chambéry, octobre 1968 Conséquences : importance des structures, mise de laccent sur les divers ensembles de nombres, leur définition et leurs filiations : N, Z, D, Q, R, C, définition de la soustraction et de la division de manière entièrement littérale : « a divisé par b » est le nombre x tel que : b x x = a

« Jai 23 billes dont 7 sont bleues. Les autres billes sont noires Combien ai-je de billes noires ? » « Reprenons le problème selon le schéma de la modélisation. » « Le système étudié lensemble des billes que je possède est décrit par trois variables : le nombre total de billes, le nombre de billes bleues, le nombre de billes noires. Les valeurs de ces paramètres définissent un état du système. Nombre de problèmes, élémentaires ou non, sont alors, à linstar de celui-ci, du type suivant : connaissant les valeurs de certaines variables, trouver les valeurs des autres variables. La connaissance de ces dernières valeurs sobtient par la considération des relations qui gouvernent lensemble des variables. »

« Une tirelire contient 240 euros sous forme de billets de dix ou de cinq euros. Sachant quelle contient 31 billets, combien contient- elle de billets de chaque sorte ? » Solution raisonnée : Solution algébrique : Si les 31 billets étaient des billets de 10 euros, il y aurait 310 euros, Cest-à-dire 310 – 240 = 70 euros de plus, Il faut donc changer 70/5 = 14 billets de 10 en billets de 5. Soit x le nombre de billets de 10 euros, et y le nombre de billets de 5, on a : x + y = 31 10x + 5y = 240 {

un peu de casuistique...

Retour aux problèmes … Retour aux nombres concrets… Retour aux grandeurs… « […] la modélisation dune situation de la vie courante, par exemple par un système déquations […] correspond au passage du cadre des grandeurs au cadre numérique. Ce type de passage, ainsi que le retour au cadre et à la situation de départ, présentent des difficultés importantes pour les élèves […] » Les enjeux du travail sur les grandeurs. Document daccompagnement du nouveau programme de 3ème Exemple : calculer le volume dun réservoir parallélépipédique de 2,3 m de longueur, 57 mm de hauteur et 2,5 cm de largeur : V = 2,3 m x 57 mm x 2,5 cm = 2,3 (100 cm) x 57 (0,1 cm) x 2,5 cm V = 230 cm x 5,7 cm x 2,5 cm = 3277,5 cm3 « Cest en effet une théorie mathématique des unités (et des grandeurs) qui fait actuellement défaut dans la culture de lenseignement des mathématiques (et des sciences physiques aussi bien). »

« On sait tous quil y a des années à moustiques et dautres sans, des années à coccinelles et dautres sans ! On se propose détudier lévolution dune population animale à laide dune fonction numérique f définie par ƒ(x) = kx(1 – x), k étant un paramètre réel qui dépend de lenvironnement. Dans la suite on sintéresse à la population de coccinelles… Principes de la modélisation : 1) Vous voyez un énoncé dapparence concrète avec ou sans dessin : ne pas lire le début pour gagner du temps et surtout ne pas être perturbé par les nombres ou les unités. 2) Sil y a un dessin il ne faut surtout pas le regarder. Non seulement il ne sert à rien mais il peut lui aussi vous perturber. 3) Guettez lapparition dune équation différentielle… Cest presque gagné : un exercice normal va commencer.

... /...

1. Les années La contre-réforme 3. Lexpérimental

22 février LAcadémie des Sciences : LAcadémie des sciences sémeut du caractère sans cesse plus abstrait et dogmatique de lEnseignement du second degré, qui sous-estime gravement loriginalité et la richesse de la méthode expérimentale.

3. Lexpérimental a. expérimenter pourquoi ? b. expérimenter comment ? c. la notion dheuristique

… / …

Ce que lon doit donc apprendre, cest à « faire confiance » à lexpérimentation ! tracer le segment [AP] ; tracer la droite (PQ). Considérons le programme suivant de construction de la parallèle à une droite d qui passe par un point P d : d P marquer un point A de d ; A marquer un point M situé entre A et P ; M marquer un point B à lintersection de d et du cercle de centre A passant par M ; B marquer le point Q, second point dintersection de la droite (BM) avec le cercle de centre P passant par M ; Q

On trouvera ci-après une série de réalisation de lexpérience graphique consistant à exécuter ce programme … … elles ne laissent pas de doute sur la vérité de la propriété de parallélisme des deux droites.

… / …

A titre dillustration complémentaire, demandons-nous si les propriétés suivantes sont vraies. A1. Soit un parallélogramme ABCD. Sur chacun de ses côtés on construit, vers lextérieur, le carré sappuyant sur ce côté. Les centres des carrés forment un carré. A2. Soit un quadrilatère convexe ABCD. Sur chacun de ses côtés on construit, vers lextérieur, le carré sappuyant sur ce côté. Les segments de droites joignant les centres de carrés opposés sont perpendiculaires et de même longueur.

A B C D

A B C D

… / …

A B C C A B

A B C C A B

3. Lexpérimental a. expérimenter pourquoi ? b. expérimenter comment ? c. la notion dheuristique

point de Torricelli

A B C M

M

Le théorème dUrquhart

A C B F E D AB + BC = CD + DA AE + EC = CF + FA

Le théorème de Morley

A B C P Q R

… / …

O N M

Le théorème de Lehmus – Steiner (1840)

A B C F E BE = CF BA = CA

A B C K J BJ = CK BA = CA

A B C C B BB = CC BA = CA

Raisonnons un peu …

Synthèse Hypothèses… (bissectrices égales) BE = CF BA = CA Conclusions… (triangle isocèle)

Hypothèses… (bissectrices égales) Analyse BE = CF BA = CA Conclusions… (triangle isocèle)

Hypothèses Conclusion Chaînage avant … SYNTHESE : Propriété A Propriété B Théorème

Hypothèses Conclusion Chaînage arrière … ANALYSE : Propriété A Propriété B Théorème

Hypothèses Conclusion Chaînage mixte … Propriété A Propriété B Propriété C Propriété D Propriété E

Synthèse : assomption du requis comme concédé par les conséquences au vrai concédé… Analyse : assomption du concédé par les conséquences tirées de la fin et compréhension du requis…

Hypothèses Conclusion Analyse : assomption du concédé par les conséquences tirées de la fin et compréhension du requis… Propriété intermédiaire

Exemple 1 : le théorème de Morley Hypothèses On part des trisectrices A B C Conclusion P Q R PQR est équilatéral P Q R P Q R PP, QQ, RR sont concourantes.

Exemple 2 : Les hauteurs sont égales Conclusion ABC est isocèle Hypothèses Les hauteurs sont égales A B C C B Laire est donnée par …

Exemple 3 : Les médianes sont égales Conclusion ABC est isocèle Les médianes se coupent au tiers … Hypothèses Les médianes sont égales A B C K J

Exemple 4 : Les bissectrices sont égales Conclusion ABC est isocèle ? Hypothèses Les bissectrices sont égales A B C F E

Construire…

B C BE = CF E F ? Peut-on obtenir autre chose quun triangle isocèle ?

Expérimenter : Chercher à savoir comment certaines grandeurs varient en fonction dautres grandeurs... pour en tirer des conclusions pertinentes dans le problème étudié Essayer autre chose … Essayer de calculer …

A B C F E BE = CF = 2 x Aire BEC = a x x sin 2 x Aire BEA = c x x sin 2 x Aire ABC = c x a x sin2 a x x sin + c x x sin = c x a x sin2 etc., etc.

Lehmus – Steiner - Thébault

3. Lexpérimental a. expérimenter pourquoi ? b. expérimenter comment ? c. la notion dheuristique

Hypothèses Conclusion Propriété intermédiaire 1. Avoir une idée (si possible bonne) … 2. Vérifier expérimentalement si elle marche … 3. Chercher à la démontrer… cest-à-dire à se donner lillusion quon aurait pu prévoir le résultat … René Thom Poincaré

Maîtriser les heuristiques …

M

A B C M

A B C M

A B C

Problème : 12 roses coûtent 28 euros, combien coûteront 49 roses ? Problème : une tirelire contient des billets de 5 et de 10 euros, elle contient 37 billets en tout pour une somme 305 euros. Combien contient-elle de billets de chaque sorte ? Problème : 70 vaches tondent un pré en 24 jours, 30 vaches le tondent en 60 jours, combien faut-il de vaches pour le tondre en 96 jours ? Règle de trois… Tableau de proportionnalité ! Fausses suppositions… Système à deux inconnues ! Proportionnalité ? Inverse proportionnalité ? Fausse position ?…

Problème : Y désigne une variable aléatoire réelle sur lespace de probabilité (,, P). On suppose que, pour tout t > 0, on a : E(e tY ) C e, avec C et > 0. Démontrer que, pour tout > 0, on a : P(Y ) C e. t 2 2 /2 – 2 /2 2 Bienaymé- Tchebychev

Problème : un navire de 500 tonneaux, avec trois mâts, 30 hommes d'équipage, 200 balles de coton, 1500 litres de vin, 1 tonne de café, 3 tonnes de bananes... arrive à Marseille en Quel est l'âge du capitaine ? Problème : Un fermier possède un petit troupeau de 19 vaches, elles meurent toutes sauf 7, combien lui reste-t-il de vaches ? Problème : me rendant à la plage, j'ai croisé 6 hommes qui avaient chacun 6 femmes, chaque femme avait 6 enfants et chaque enfant avait 6 chats. Combien de personnes et d'animaux vont à la plage ?

apprendre des méthodes …

7 roses coûtent 11,90 euros, combien coûtent 5 roses ? « … multipliez seulement les deux derniers nombres ensembles … … et divisez ce qui viendra par le premier … »

« Une tirelire contient 240 euros sous forme de billets de dix ou de cinq euros. Sachant quelle contient 31 billets, combien contient- elle de billets de chaque sorte ? » Solution raisonnée : Solution algébrique : Si les 31 billets étaient des billets de 10 euros, il y aurait 310 euros, Cest-à-dire 310 – 240 = 70 euros de plus, Il faut donc changer 70/5 = 14 billets de 10 en billets de 5. Soit x le nombre de billets de 10 euros, et y le nombre de billets de 5, on a : x + y = 31 10x + 5y = 240 {

7 ? … … … 8 … … … … … 101

7 ? … … 11 8 … … 19 … … 101

7 x … … 11 8 … … 19 … … 101

Calcul infinitésimal…

« […] il devrait être possible, au niveau de la classe de quatrième et de troisième, de donner une justification convaincante et quasiment rigoureuse de la formule daire de la sphère à laide du seul théorème de Thalès, par projection de la sphère sur un cylindre. » Calcul infinitésimal…

« la chute des corps avec frottement… » « force de frottement proportionnelle à la vitesse… » y = g y = g – k y y = g – k [y] 2 ? « force de frottement proportionnelle au carré de la vitesse… »

le problème de la modélisation

parabole sinusoïde

parabole

sinusoïde parabole

sinusoïde parabole

sinusoïde parabole

sinusoïde parabole

Conclusion ?

Ferdinand Buisson. Dictionnaire de pédagogie et dinstruction primaire, 1887