Formats des nombres réels 7 janvier 2013

Introduction Si la représentation des nombres entiers est bien maitrisée sur l’ensemble des microprocesseurs, la représentation en nombres réels l’est moins. Si notre microprocesseur ne fonctionne qu’en nombre entier, on peut le faire travailler en nombre réel en utilisant l’approche de virgule fixe. Exemple (sur 8 bits) : 0x0011 . 0110b Pour le processeur, il voit 54 en décimal. Pour nous, qui avons mentalement ajouté le point décimal, on voit 3.375 en décimal.

Format à virgule fixe Ce format est dit format à virgule fixe. On peut faire des additions: 0x0011 . 0110b + 0x0001 .0001b = 0x0100 . 0111b Pour le processeur: 54 + 17 = 71 (en décimal) Pour nous : 3.375 + 1.0625 = 4.4375 (en décimal) … et des multiplications. Toutefois, il y a un risque de débordement, en particulier avec les multiplications. 54 X 17 = 918 qui ne se représente pas sur 8 bits.

Format à virgule fixe Sur 16 bits, 918 est représenté comme suit: 0x0000 0011 1001 0110b Sur 16 bits, le chiffre 3.58594 (résultat du produit de 3.375 par 1.0625) est: 0x0000 0011 .1001 0110b En décalant de 4 bits vers la droite, on trouve (sur 8 bits) 0x0011 .1001b Ce nombre est: 3.5625 Il y a une erreur de troncation. On a eu de la chance, pas de débordement pour le nombre réel, puisque l’on peut tronquer les décimales.

Pour pallier à ce problème On peut utiliser le format à virgule fixe normalisé. Les nombres sont représentés dans une plage allant de -1 à +1. Le point décimal est juste après le bit le plus significatif, qui sert à représenter le signe. Nombre négatif en complément à 2. Ou, si le processeur le permet, on peut utiliser la représentation à virgule flottante.

Format à virgule fixe normalisé Pour solutionner les débordements des multiplications

Format à virgule fixe normalisé Représenté par le vocable Qx, avec x, le nombre de décimales après le point. Exemple – format Q3. Représenté sur 4 bits (3+1); Représentation en complément à 2; Zéro est 0x0000b; 0.000b Le plus grand nombre positif est 0x0111b 0.111b ou 7/8 en base 10.

Format à virgule fixe normalisé Exemple – format Q3. Le plus grand nombre négatif est 0x1000b 1.000b. Complément à 2 : 0.111b + 0.001b = 1.000b (non signé) Ce qui donne -1.

Format Qx Bilan: Taille du nombre est x+1 bits. x bits les moins significatifs sont après le point; Le bit avant le point est le signe; Positif = 0 Négatif = 1 (et nombre en complément à 2) Chiffre le plus grand correspond à : Chiffre le plus petit correspond à :

Format Qx Plus grand nombre: x = 3 (4 bits) : 1-2-3 = 7/8 = 0.875 Plus le nombre de bits est élevé plus il y a de résolution et mieux la plage de -1 à +1 est couverte.

Multiplication de deux nombres en format Qx La multiplication de 2 nombres d’amplitude inférieure ou égale à 1 donne un nombre d’amplitude inférieure ou égale à 1. Donc, pas de débordements avec une multiplication. Exemple (Q3): (0x0.101b) X (0x1.001b) = (0x11.01 1101b) 0.625 X -0.875 = -0.546875 En pratique, on soit tronque le résultat à 0x1.011b -0.625 Ou on arrondit à 0x1.100b -0.5

Multiplication de deux nombres en format Qx Exemple (Q3): Le calcul a exigé 8 bits, car le résultat comporte 6 décimales après le point. Le nombre était en format Q6. Pour revenir en Q3, on peut décaler le résultat de 3 bits vers la droite. (0x1111 1.011b) et ne garder que les 4 derniers bits. L’exemple montre que la troncation pour mettre le résultat sur 4 bits entraîne une imprécision. Donc on travaille en Q15 habituellement.

Addition de deux nombres en Qx L’addition de deux nombres en Qx est susceptible de provoquer des débordements. Le nombre résultant peut avoir une amplitude supérieure à 1. Exemple (Q3): (0x0.101b) + (0x0.100b) = (0x1.001b) 0.625 + 0.5 = -0.875 ????? 0.625+ 0.5 = 1.125 > 1. Des précautions doivent être prises lors des additions.

Formats à virgule flottante Le format de la famille des DSP de Texas Instruments Le format IEEE 754

Représentation en virgule flottante Format TI Cette représentation utilise un format du type: M : la mantisse (0.M est d’amplitude inférieure à 1); E : l’exposant. s : signe de la mantisse. Format : 0x E s M b. Exemple fictif: Représentation sur 8 bits: 0xeees mmmmb 3 bits pour l’exposant, 5 bits pour la mantisse, incluant son signe.

Représentation en virgule flottante Format général

Mantisse de signe positif Si le signe de la mantisse est 0, le nombre qui est représenté par la mantisse est 01.M X 2E. Le chiffre 1.00 est représenté par: M = 0x0. 0000b E = 0x000b Le chiffre 3.5 est représenté par: M = 0x0. 1100b E = 0x001b Donc 1.75 x 2 = 3.5

Mantisse de signe négatif Si le signe de la mantisse est 1, le nombre est négatif et il est représenté par la mantisse est 10.M X 2E. En base 10: (-2+0.xxx) X 2E. Le chiffre -1.00 est représenté par: M = 0x1. 0000b E = 0x111b Le chiffre -3.5 est représenté par: M = 0x1. 0100b E = 0x001b

Détail du calcul Exemple #1: (0x0011 0100b) Négatif: Mantisse: 10.0100 Complément à 2 : 011011 + 1 = 011100 Donc le nombre correspondant est : -01.1100 Exposant : 001 La valeur correspondante est : 21 = 2. Le nombre représenté par 0x0011 0100b est -011.100 en binaire ou -3.5 en décimal.

Reste le cas du zéro Par convention, le nombre zéro est définit par une mantisse nulle et un exposant E = 0x1000…000b. Dans l’exemple de représentation fictive, ce serait: (0x1000 0000b). Dans les faits, ce nombre est: Mantisse: 1.0000 Exposant : 100 (négatif, complément à 2 est : -100b = -4) Le nombre représenté par 0x1000 0000b est 0.0001 en binaire ou 2-4 = 0.0625 en décimal. Ce « petit » nombre est considéré comme étant 0.

Reste le cas du zéro Cela est généralisé pour tous les cas ou l’exposant E = 0x1000…000b. Ainsi, tous les nombres : 0x100X XXXXb avec X = 0 ou 1 sont considérés comme étant égaux à 0. Le plus petit nombre positif est: (0x1010 0000b). Mantisse: 1.0000 Exposant : 101 (négatif, complément à 2 est : -011b = -3) Le nombre représenté par 0x1010 0000b est 0.001 en binaire ou 2-3 = 0.125 en décimal.

Norme IEEE 754 La norme IEEE 754 diffère un peu du format TI présenté précédemment. Ce format est 0x s E M b. Différences avec la norme de la série TMS320Cxx Le signe du nombre est le bit le plus significatif. L’exposant n’est plus représenté en complément à deux, mais est une valeur décalée de 2(e-1)-1, avec e, le nombre de bits de l’exposant.

Norme IEEE 754 Ainsi, si dans la poursuite de l’exemple à 8 bits, je considère le nombre +1, il s’écrira: 1) M = 0x0000b et s = 0. Donc la valeur de base qui est 1.M est 1.0000. L’exposant du 2 sera 0. Le nombre 1 est donc 1.0000 X 20. 2) Exposant Le décalage est 2(3-1)-1 = 3. Donc E = 0 + 3 = 3, ou en binaire 0x011b. 3) Bilan +1 = 0x0011 0000b = 0x30h.

Norme IEEE 754 Pour le nombre -1, il s’écrira: 1) M = 0x0000b et s = 1. Donc la valeur de base qui est -1.M est -1.0000. L’exposant du 2 sera encore 0. Le nombre -1 est donc -1.0000 X 20. 2) Exposant Le décalage est 2(3-1)-1 = 3. Donc E = 0 + 3 = 3, ou en binaire 0x011b. 3) Bilan -1 = 0x1011 0000b = 0xB0h.

Norme IEEE 754 Pour le nombre -3.5, il s’écrira: 1) Puisque le nombre est négatif : s = 1. 2) Exposant et mantisse Le décalage de l’exposant est 2(3-1)-1 = 3. 3.5 s’écrit en binaire 0x11.10b Décalons ce nombre pour le mettre sous la forme 1.xxx. Ici, il faut décaler vers la droite une seule fois pour trouver 0x1.1100b Ainsi, la mantisse est 0x1100b et l’exposant de 2 est 1, car on a décalé 1 fois vers la droite. E = 1 + 3 = 4 = 0x100b 3) Bilan -3.5 = 0x1100 1100b = 0xCCh.

Norme IEEE 754 – Le zéro et l’infini Pour le nombre 0, il s’écrira: 0xX000 0000b. Il y a donc deux zéros, un positif et un négatif. Pour l’infini (oui oui vous avez bien lu): 0xX111 0000b. Tous les bits de l’exposant à 1 et ceux de la mantisse à 0. Il y a donc deux infinis, un positif et un négatif. Si la mantisse n’est pas nulle, on considère que « ce n’est pas un nombre » (NaN – Not a Number).

Norme IEEE 754 Le plus grand nombre normalisé est: 0xX110 1111b. Tous les bits de l’exposant à 1 sauf le dernier (sinon, c’est l’infini) Tous les bits de la mantisse à 1. Valeur: 0x1.1111b X 2(6-3) = 0x1111.1b = 15.5 (décimal) Le plus grand nombre dénormalisé est: 0xX000 1111b. Tous les bits de l’exposant à 0. 0x1.1111b X 2(0-3) = 0x0.0011111b = 0.2421875 (décimal)

Norme IEEE 754 Le plus petit nombre normalisé est: 0xX001 0000b. Tous les bits de l’exposant à 0 sauf le dernier . Tous les bits de la mantisse à 0. Valeur: 0x1.0000b X 2(1-3) = 0x0.01b = 0.25 (décimal) Le plus petit nombre dénormalisé est: 0xX000 0001b. Tous les bits de l’exposant à 0 Tous les bits de la mantisse à 0 sauf le dernier 0x1.0001b X 2(0-3) = 0x0.0010001b = 0.1328125 (décimal)

Norme IEEE 754 Presque 1: En pratique, on travaille plutôt sur: 0x0010 1111b. Valeur: 0x1.1111b X 2(2-3) = 0x0.11111b = 59/64 = 0.921875 (décimal) En pratique, on travaille plutôt sur: 32 bits en simple précision; 64 bits en double précision. Ce qui est disponible dépend de l’équipement et des compilateurs.

Référence sur la norme IEEE 754 http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber =4610935