Optimisation et Complexité Algorithmes de Bloch et Ford Fulkerson Florent DELAHAYE Christophe DE BATZ Thibault LE BRAS Groupe B

Sommaire Introduction Présentation du sujet Première étape: Bloch Étapes Graphe d’exemple Première étape: Bloch Algorithme Seconde étape: Ford-Fulkerson Conclusion

Présentation du sujet Première étape: Seconde étape: A partir du flot nul (Flot = 0), nous devons pouvoir être capable de trouver un flot complet par l’algorithme de Bloch. Seconde étape: A partir du flot trouvé à la première étape, notre programme devra être capable de trouver un flot maximal par l’algorithme de Ford-Fulkerson.

Introduction Langage utilisée: C++ Fonctionnalités du programme Orienté objet  modularité du code et clarté STL  gain de temps Bas niveau  rapide et robuste Fonctionnalités du programme Rechercher un flot complet. Rechercher un flot maximal à partir d’un flot complet. Vérifier si le flot complet était maximal. Traiter le cas des graphes avec circuit. Structures utilisées La classe Graph La classe Arc

Graphe d’exemple

Algorithme de Bloch Apparence dans la console: 1ére étape: 2éme étape: etc.

Bloch : principe général Initialiser le Flot par addition des flots des arcs d’entrée Marqué comme saturer les chemins où Flots = Capacité Les chemins saturés ne sont pas empruntables. Etablir un chemin (Relier point d’entrée à point de sortie) Choisir le prochain sommet disponible dans l’ordre alphabétique Les arcs ne sont pas empruntable dans le sens contraire Les sommets parcourus sont enregistrés et vérifié à chaque recherche du sommet suivant afin d’éviter les boucles. Calculer la différence flot / Capacité de chaque arc du chemin Prendre le minimum de ces valeurs, le stoker dans un entier α Ajouter α au flot de chaque arc du chemin. Ajouter α au flot initial Recommencer à l’étape 2 jusqu’à ce qu’il n’y ai plus de chemin entre le point d’entrée et le point de sortie du graphe.

Algorithme de Bloch Graphe du flot complet Résultat en console

Algorithme de Ford -Fulkerson Rappel : Arc dans le bon sens => Chemin saturé quand : Flot = Capacité Arc dans le sens inverse => Chemin saturé quand : Flot = 0 Calcule la valeur du flot maximal: Pour les arcs ( i , j ) parcourus dans le sens des flèches 𝑑 1 =𝑚𝑖𝑛 𝐶 𝑖,𝑗 −𝜑 𝑖,𝑗 Pour les arcs ( i , j ) parcourus en sens opposé des flèches 𝑑 2 = min 𝜑 𝑖,𝑗

Ford –Fulkerson : principe général 1 : Trouver un chemin A partir du point d’entrée, prendre prochain sommet dispo dans l’ordre alphabétique. Prochains sommets dispo = Arcs sortant non-saturés (donc tant que flot ≠ capacité) + Arcs entrant non nuls (donc tant que flot ≠ 0) A chaque arc parcouru, Marquer si l’arc est parcouru dans le bon sens ou dans le sens inverse. enregistrer des valeurs ∆: La différence flot/capacité pour les arcs parcourus dans le bon sens. Le flot pour les arcs parcourus dans le sens inverse. 2 : Quand le chemin a été trouvé (Point d’entré du graphe relié au point de sortie) Prendre le minimum des ∆  Ajouter ∆ aux flots des arcs marqués dans le bon sens Soustraire ∆ aux flots des arcs marqués dans le sens inverse Ajouter ∆ à l’int représentant le flot complet/max (1) Continuer l’algorithme tant qu’un chemin est possible entre le point d’entré et le point de sortie.

Algorithme de Ford -Fulkerson Apparence dans la console: 1ére étape :

Algorithme de Ford -Fulkerson Graphe du flot maximal Console

Conclusion Un problème de réseau peut toujours être optimisé. Problématiques d’apparences simples mais qui mettent en jeu de réels algorithmes.  Prise en charge des circuits dans Bloch Les applications de cette recherche opérationnelle sont multiples  travail concret !  Problématique routière, réseaux informatiques, urbanisme

Merci de nous avoir écouté Fin de la présentation