LA PROPORTIONNALITÉ AU COLLÈGE Académie de Besançon

Dans trois cadres le cadre des grandeurs (cycle 3, 6e, 5e ) le cadre numérique (5e, 4e, 3e ) le cadre graphique (4e, 3e )

Selon quatre contextes décision sociale (caractère arbitraire du choix du modèle proportionnel) expérimentation (vérification ou conjecture du modèle proportionnel) preuve formelle (démonstration de la proportionnalité) introduction d’une nouvelle notion (agrandissement-réduction, probabilités)

Quatre problématiques possibles reconnaître une situation de proportionnalité, ou non proportionnalité, à partir d’une série de données rechercher une (des) donnée(s) manquante(s) dans une situation de proportionnalité comparer des proportions (exemple : mélanges, solutés) changer de cadre (grandeurs - numérique - graphique)

Procédures de résolution propriété d’additivité propriété d’homogénéité cas de la "règle de trois" (socle), avec passage à l’unité combinaison linéaire (les deux propriétés précédentes) coefficient de proportionnalité égalité de rapports et produit en croix représentation graphique

Trois objectifs augmenter la capacité à mobiliser une procédure et accroître son efficacité (selon les données numériques ) augmenter la variété des procédures utilisables et inciter les élèves à choisir la (les) procédures la (les) plus appropriée(s) renforcer la compréhension des liens entre ces procédures (pour aboutir à la fonction linéaire)

Au cycle 3 sur des grandeurs, nombres naturels et décimaux simples additivité, homogénéité, passage par l’unité coefficient de proportionnalité "simple" échelles, vitesses moyennes, pourcentages, dans des problèmes, sans technique spécifique mesure : conversion d’unités géométrie : agrandissement, réduction de figures

En sixième additivité, homogénéité, passage par l’unité coefficient de proportionnalité, relais avec la fraction comme quotient tableaux, schémas fléchés, possibles mais non systématisés échelles, vitesses moyennes, sans technique spécifique pourcentages avec technique, mais sans occulter les procédures de proportionnalité liens avec diagrammes en bâtons, circulaires, semi-circulaires, graphiques cartésiens liens avec changement d’unités, longueur du cercle liens avec activités mentales

En cinquième procédures de 6e, mais dans le cadre numérique non nécessairement contextualisé mises en forme par tableaux, schémas fléchés, exigibles proportion, échelle, vitesse moyenne, explicitées lien avec cadre graphique (non justifié) fréquence, histogramme relation entre aire (volume) et l’une des dimensions d’une figure (d’un solide)

En quatrième procédures antérieures (cadre numérique) caractérisation graphique (non justifiée) égalité de quotients et produit en croix (sans systématiser son usage) non additivité des pourcentages changement d’unités (vitesse, débit, change) relation d = vt théorème de Thalès ; cosinus ; agrandissement, réduction d’une figure

En troisième procédures antérieures toujours disponibles modélisation par une fonction linéaire synthèse des propriétés antérieures au moyen de la fonction linéaire langage et notation fonctionnels caractérisation graphique (justifiable par Thalès) ; interprétation graphique du coefficient de proportionnalité théorème de Thalès ; sinus, tangente ; agrandissement/ réduction de figures, solides (longueurs, aires, volumes) changement d’unités (grandeurs produits/quotients)

La progressivité des apprentissages Un point fort La progressivité des apprentissages Exemple : la vitesse Des procédures personnelles Cycle 3 6e 5e 4e 3e Aux procédures expertes

D’autres documents à votre disposition sur le site Eduscol : Ces éléments s’appuient sur le document d’accompagnement "Proportionnalité"  D’autres documents à votre disposition sur le site Eduscol : liaison école-collège du numérique au littéral organisation et gestion de données les nombres au collège

D’autres références : brochure APMEP n° 159, intitulée : réflexions sur les programmes de mathématiques du collège et de l’école élémentaire (octobre 2003) bulletin vert n° 407 : groupe de Réflexion et de Proposition sur les Programmes de mathématiques au collège (décembre1996) revue Repères n° 59 (avril 2005)

Influence du support ? Théo réalise un triangle A’B’C’ en doublant les longueurs des côtés du triangle ABC ci-dessous : Indique dans le tableau ci-dessous les mesures des côtés et des angles du triangle A’B’C’. A’B’ B’C’ A’C’

Influence du support ? On donne dans le premier tableau les mesures des côtés et des angles d’un triangle ABC. Paul dessine le triangle A’B’C’ en doublant les longueurs des côtés du triangle ABC. AB BC AC Â Ĉ 3,5 cm 4 cm 6 cm 40° 106° 34° Indique dans le tableau ci-dessous les mesures des côtés et des angles du triangle A’B’C’. A’B’ B’C’ A’C’

Situations identiques ? En terrain plat, en 1 heure, Théo parcourt 30 km avec son scooter. Combien mettrait-il de temps, en minutes, pour parcourir : 4 km ? 7 km ? 11 km ? 17,6 km ? Situation 2 En terrain plat, en 1 heure, Théo parcourt 28 km avec son scooter. Combien mettrait-il de temps, en minutes, pour parcourir : 4 km ? 7 km ? 11 km ? 17,6 km ? La proportionnalité est implicite ; elle est considérée comme "naturelle".

Situations identiques ? Nombre de personnes 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Prix à payer 54 € 72 € 108 € Situation 4 Nombre de personnes 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Prix à payer 60 € 80 € 120 €

Analyse de deux techniques opératoires : Énoncé : Si 3 roses coûtent 7,50 euros, quel sera le prix de 7 roses ? Source : académie de Nancy

La "règle de trois" Énoncé : Si 3 roses coûtent 7,50 euros, quel sera le prix de 7 roses ? La "règle de trois" 7,50 : 3 = 2,50 donc une rose coûte 2,50 euros 7 × 2,50 = 17,50 donc 7 roses coûtent 17,50 euros Cette méthode qui nécessite "le passage par l’unité" développe l’explication, la séquentialité (suite d’actions ordonnée), la temporalité (succession de 2 étapes). Elle a du sens pour les élèves mais demande une grande mobilité mentale.

Le "produit en croix" Énoncé : Si 3 roses coûtent 7,50 euros, quel sera le prix de 7 roses ? Le "produit en croix" Nombre de roses 3 7 Prix (en euros) 7,50 ? (7,50 × 7) : 3 = 17,50 donc 7 roses coûtent 17,50 euros Méthode développant application, globalité et spatialité, mais pouvant être réalisée uniquement comme "recette". Cependant certains élèves sont capables d’expliquer qu’ils calculent dans un premier temps le prix de 21 roses (7,50 × 7) pour en déduire le prix de 7 roses en divisant par 3.