INITIATION AU CALCUL LITTERAL

ADDITION SOUSTRACTION CAS 1: ADDITION SOUSTRACTION L’addition et… la soustraction sont des opérations naturelles.

x + = Remarquons que nous n’avons pas écrit mais Remarquons également que Remarquons que nous n’avons pas écrit signifie x mais ( 2 fois 1 cadeau )

+ = b + b = 2 b Le dessin des boîtes est long et fastidieux. Il serait préférable de dessiner des symboles simples. Ou mieux …Des lettres, le dessin est facile et connu de tous. Remplaçons la boîte par une lettre, par exemple b.

+ = b + b = 2 b En mathématiques, les lettres ne représenteront pas des objets , mais des nombres ( la dernière remarque est donc importante ) Rappelons que b signifie 1 b. De plus 2 b signifie 2 x b

Attention de ne pas la confondre avec le symbole de multiplication ! + = 3 b + 5 b = 8 b La lettre x sera certainement la lettre la plus utilisée en Mathématiques. Attention de ne pas la confondre avec le symbole de multiplication ! 3 a + 5 a = 8 a 3 x + 5 x = 8 x

- = 7 b - 4 b = 3 b Calculer : 3a + 2a + 7a = 12a 5p + 3p – 6p = 2p 3,2x – 1,2x + 2,4x = 4,4x 4y + 5y – 2y – 6y = 1y ( ou y ) 6x + 2x - 3x – 5x = 0x = 0

Cette écriture comporte deux termes*. Le symbole x est ici le symbole de multiplication k x ( a + b ) = k x a + k x b développement k x a + k x b = k x ( a + b ) = ( a + b ) x k factorisation Reprenons un des exemples étudiés précédemment. 3 b + 5 b = ? Cette écriture comporte deux termes*. Dans chaque terme, il y a un facteur* commun. b. En factorisant nous avons : Nous savons que 3 b signifie 3 x b De même, 5b devrait s’écrire 5 x b 3 b + 5 b = 3 x b + 5 x b 3 b + 5 b = 3 x b + 5 x b = ( 3 + 5 ) x b Soit, en effectuant dans les parenthèses : 3 b + 5 b = 8 x b Et nous écrirons : 3 b + 5 b = 8 b

+ = 2 a + 3 b = 2 a + 3 b « On ne peut pas mélanger des torchons et des serviettes. » Si nous ajoutons deux pommes et trois bananes, nous obtenons … 2 pommes + trois bananes !!! Nous pouvons ajouter ( ou soustraire) des pommes avec des pommes, mais pas des pommes avec des bananes ! Nous ne pouvons additionner ( ou soustraire ) que des éléments «  rigoureusement identiques »

Calculer : Dans cette écriture, le symbole x représente une lettre. 2a + 3b + 7a + 5b = 9a + 8b 7a + 2b + 2c - 3b - a = 6a – b + 2c Dans cette écriture, le symbole x représente une lettre. Si x était le symbole de multiplication , l’écriture 3x+ n’aurait aucun sens! 3x + 5y - x + 2y – 4y = 2x + 3y Dans quel ordre écrire le résultat ? Aucune importance. Pour l’instant, et si l’on veut choisir un ordre, écrivons le résultat dans l’ordre alphabétique. 3,2x + 4y – 1,8x + 0,2x – 4y = 1,6x + 0y = 1,6x 5x + 3y – y – 5x – 2y = 0x + 0y = 0

Intérêt de cette simplification : Considérons l’expression A suivante : A = 5a + 8b – 2b – 4a – 6b A = 5x2,3 + 8x7,2 – 2x7,2 – 4x2,3 – 6x7,2 A = 5a + 8b – 2b – 4a – 6b a et b représentent, en Mathématiques, des nombres. La multiplication étant prioritaire sur l’addition et la soustraction, nous avons : Calculer cette expression si a = 2,3 et b = 7,2 A = 11,5 + 57,6 – 14,4 – 9,2 – 43,2 Nous devons remplacer, dans l’expression A, la lettre a par 2,3 et la lettre b par 7,2. Attention, rappelons que 5a signifie 5 x a ( le symbole de multiplication x doit ici être réécrit). Remplacer 5a par 52,3 n’a aucune signification. L’écriture 5a doit donc s’écrire 5 x 2,3 Dans une suite d’additions et de soustractions, les calculs doivent être effectués dans l’ordre. Nous avons donc : A = 69,1 – 14,4 – 9,2 – 43,2 A = 54,7 – 9,2 – 43,2 A = 45,5 – 43,2 Ouf ! A = 2,3

Intérêt de cette simplification : A = 5a + 8b – 2b – 4a – 6b Calculer l’expression A pour a = 2,3 et b = 7,2 Reprenons cette expression et simplifions la. Nous avons : A = 5a + 8b – 2b – 4a – 6b A = 1a + 0b = a Cette expression est donc égale à a ( et ne dépend pas de la valeur de b ! ). En remplaçant a par 2,3 et b par … ( aucune importance, l’expression ne comporte plus la lettre b ), nous avons : Beaucoup plus facile ! A = 2,3

CAS 2: MULTIPLICATION La multiplication ( la division sera étudiée plus tard ) n’est pas une opération naturelle.

Pourtant, en Mathématiques, nous pouvons multiplier des lettres !!! Multiplier des pommes par des bananes n’a aucun sens dans notre vie quotidienne ! x = Pourtant, en Mathématiques, nous pouvons multiplier des lettres !!! Le produit de a et de b donne un nouvel objet qui s’appelle axb ( que nous écrirons ab ) Notons que l’objet ab s’écrit également ba ( axb=bxa )

Attention à ne pas confondre 2a et a² Le symbole x est ici le symbole de multiplication 2a x 3b = 2 x a x 3 x b 2a x 3b = 2 x 3 x a x b = 6 x a x b = 6ab Attention à ne pas confondre 2a et a² 2a correspond à a + a tandis que a² correspond à a x a Par exemple : 2 x 5 = 10 et 5² = 5 x 5 = 25 2a x b x 4c = 2 x a x b x 4 x c = 8 abc Lorsque, dans un produit, les lettres sont identiques, nous utiliserons une nouvelle notation ! axa ( ou aa ) se note a² axaxa ( ou aaa ) se note a3 etc; 3a x 4a = 3 x a x 4 x a = 12 x a x a = 12 aa = 12 a²

A SUIVRE 2y x y =