Nombres entiers. Ensembles de nombres Arithmétique : partie des mathématiques étudiant les propriétés des nombres entiers et rationnels

Nombres entiers : Diviseur d’un nombre : Définition : Soient n et p deux nombres entiers ( p ≠ 0 ) p divise n si le reste de la division euclidienne de n par p est nul. Exemples : 12 divise 252 car 252 : 12 = 21 on dit que 252 est un multiple de 12 8 divise 40 car 40 = 8 x 5 on dit que 40 est un multiple de 8 13 ne divise pas 161 car 161 = 13 x 12 + 5 ( le reste de la division de 161 par 13 est égal à 5 )

Diviseur commun : Définition : Soient a et b deux nombres entiers, un diviseur commun à a et b est un entier qui divise à la fois a et b. Exemple : 5 divise à la fois 45 et 120 donc 5 est un diviseur commun à 45 et 120

Les diviseurs communs à 24 et 56 sont Plus Grand Diviseur Commun ( PGCD ): Définition : Quand deux nombres ont plusieurs diviseurs communs positifs, le plus grand de ces diviseurs est appelé le PGCD ( Plus Grand Commun Diviseur ). Exemple : Les diviseurs communs à 24 et 56 sont 1, 2, 4 et 8 Le PGCD de 24 et 56 est 8. On note PGCD( 24,56) = 8 Quelques méthodes pour trouver le PGCD de deux nombres entiers :

En déterminant tous les diviseurs communs : Exercice : Trouver le P.G.C.D de 28 et 70. Méthode : On cherche tous les diviseurs de 28 puis de 70 ( en faisant un tableau par exemple ). On choisit le plus grand parmi les diviseurs communs, c’est le PGCD. 28 70 1 28 1 70 2 14 2 35 4 7 5 14 7 10 Donc PGCD ( 28 , 70 ) = 14

Méthode : Algorithme d’Euclide En utilisant l’algorithme d’ Euclide : BUT : déterminer le PGCD de deux nombres entiers positifs quand ces nombres sont grands. Exemple : Déterminer PGCD ( 344 , 602 ) : Méthode : Algorithme d’Euclide 1ère étape : On effectue la division euclidienne du plus grand des deux nombres par le plus petit. 2ème étape : On effectue la division euclidienne du diviseur par le reste de la division précédente, jusqu’à ce que le reste de la division soit égal à 0. 3ème étape : Le PGCD est le dernier reste non nul.

6 0 2 3 4 4 Donc 602 = 344 x 1 + 258 2 5 8 1 3 4 4 2 5 8 Donc 344 = 258 x 1 + 86 8 6 1 2 5 8 8 6 Donc 258 = 86 x 3 + 0 3 D’où PGCD ( 602 , 344 ) = 86

Exemple : Trouver le PGCD de 840 et 2772 Une troisième méthode : la décomposition en produit de facteurs premiers Méthode : On décompose chaque nombre en un produit de facteurs premiers. Ensuite on multiplie les facteurs premiers communs aux deux nombres. Le résultat est le PGCD de ces deux nombres Exemple : Trouver le PGCD de 840 et 2772

Les diviseurs premiers 840 2 2772 2 420 2 1386 2 210 2 693 3 105 5 231 3 21 3 77 7 7 7 11 11 1 1 840 = 23 x 3 x 5 x 7 2772 = 22 x 32 x 7 x 11 Donc et PGCD ( 840 , 2772 ) = 22 x 3 x 7 = 84 Ainsi :

Nombres premiers entre eux : Définition : Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1. Exemples : PGCD ( 15, 23 ) = 1 donc 15 et 23 sont premiers entre eux. PGCD ( 12, 18) = 6 donc 12 et 18 ne sont pas premiers entre eux.

Fractions irréductibles : Propriété : Soient deux nombres entiers a et b ( b ≠ 0 ), Si a et b sont premiers entre eux alors la fraction est irréductible Exemple : 783 est irréductible ( pas simplifiable ) car PGCD ( 783 ; 257 ) = 1 257 ( à vérifier en utilisant l’algorithme d’Euclide )

Ensembles de nombres :

Ensembles de nombres :

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