Equation du second degré

Sommaire Exemple Définition Résolution graphique Cas1 Cas2 Cas3 Exo 4 Ex: Entreprise Reguenet Résolution algébrique d’une équation du second degré

Sommaire Exemples Remarque 1 Remarque 2 Factorisation Exemple Inéquation du second I. Signe du trinôme II. Solution d’une inéquation du second degré

Définition : Une équation du second degré a pour forme générale : Les solutions (si elles existent) d'une telle équation sont les abscisses des points d'intersection : ·  de la parabole d'équation P d’équation y = a x2 + b x + c · et l’axe (ox) d’équation y = 0

Résolution graphique d’une équation du second degré

Résoudre graphiquement x2 + x ‑ 6 = 0. Cas 1 : (figure I) La parabole (P) coupe l’axe des abscisses (ox) en deux points A et B. Les deux solutions distinctes sont les abscisses des points d'intersection de (ox) et (P). Exemple Résoudre graphiquement x2 + x ‑ 6 = 0.

Pour cela : 1. On trace la parabole (P) d'équation y = x2 + x - 6. 2.     On lit sur l’axe (ox) d'équation y = 0 3.     Les points d'intersection A et B ont pour coordonnées respectives (- 3; 0)  et (2; 0). Les abscisses xA = ‑ 3 et xB = 2 sont solutions de l'équation x2 + x ‑ 6 = 0. Vérification : ·        (‑3)2 + ( ‑3) – 6 = 0, ·        22 + 2 – 6 = 0.

Résoudre graphiquement l’équation: Cas 2 : (figure II) L’axe (ox) est tangente à la parabole (P) au point I. La solution est l'abscisse du point de tangence de la droite à la parabole. Exemple Résoudre graphiquement l’équation:

Pour cela: · On trace la parabole (P) d'équation y = x2 - 4 x + 4 · Le point d'intersection I a pour coordonnées : (2 ; 0) Son abscisse x = 2 est solution de l'équation :

Pour cela : ‑ x2 ‑ x ‑ 2 = 0 . Cas 3 : (figure III) L’axe (ox) ne coupe pas la parabole (P). L'équation n'a pas de solution dans ce cas. Exemple Résoudre graphiquement l’équation ‑ x2 ‑ x ‑ 2 = 0. Pour cela : ·   On trace la parabole (P) d'équation y = - x2 ‑ x ‑ 2. ·  Il n'y a pas de point commun. Il n'existe donc pas de réel x pour lequel ‑ x2 ‑ x ‑ 2 = 0 .

A B

I

Les solutions sont: x = - 2 et x = 1,5 IV. Equation: 2 x2 + x – 6 = 0 Les coordonnées du point d’intersection sont: (- 2; 0) et (1,5; 0) Les solutions sont: x = - 2 et x = 1,5

Solutions: x = - 2 et x = 1,5

Exemples

1. Coût de production : a. Tableau de valeurs: b. Voir graphique. 2.

b. Une centaine d’objets est vendue à 10 k€, donc n centaines seront vendues à R = 10 n c.  Voir graphique 3. a.     B(n) = R(n) – C(n) = 10 n – (n² + 9) = - n² + 10 n – 9 b.    Pour avoir des bénéfices, h(x) doit être positive, donc l’entreprise doit vendre entre 100 et 1000, exclus, objets.    Par lecture graphique, le bénéfice est maximum pour 500 objets c. Voir graphique d. Pour 500 objets le bénéfice est maximal

D: R(n) = 10 n P: C(n) = n2 + 9

RENTABILITÉ D’UNE PRODUCTION 1. · Tableau de valeurs : x 5 10 15 20 25 2 x² - 40 x + 500 500 350 300 750 ·   Représentation graphique de la fonction C(voir graphique).

2. · Tableau de valeurs. · Voir graphique. x 5 10 15 20 25 P(x) = 10 x + 300 300 350 400 450 500 550 ·        Voir graphique. ·   Le prix de vente est égal au coût d’achat pour q = 5 et q = 20. ·  La production est rentable pour

Exercice: Entreprise de M. Ringuenet

PREMIERE PARTIE : 50 et 120 ( 50 ≤ n ≤ 120 ) 1. Tableau : 2. a) CA = 0,3 n + 100 pour tout n compris entre 0 et 50 ( 10 ≤ n ≤ 50 ) b) CA = 0,7 n + 80 pour tout n compris entre 50 et 120 ( 50 ≤ n ≤ 120 ) 3. Courbe de la fonction f

DEUXIEME PARTIE : TROISIEME PARTIE : 1. Tableau de valeurs. 2.        Voir graphique. TROISIEME PARTIE : 1.  Par lecture graphique, f(x) = g(x) lorsque x = 100 2. Dans l’intervalle [50 ; 120], f(x) = 0,7 x + 80 et = 0,006 x2 + 90

donc dans l’intervalle [50 ; 120], f(x) = g(x) Et après simplification, on trouve

3. Par lecture graphique, f(x) < g(x) lorsque 4.  D’après l’étude précédente, et puisque la destination des colis est à plus de 100 km, M. Ringuenet devra choisir la société A qui semble plus intéressante à partir de 100 km.

Résolution algébrique d’une équation du second degré

Méthode du discriminant Pour résoudre l’équation a x2 + b x + c = 0(avec a non nul), On calcule le nombre Ce nombre est appelé discriminant de l’équation. Trois cas sont possibles: Si < 0, l’équation n’a pas de solution Si = 0, l’équation a une solution unique:

Si > 0, l’équation a deux solutions distinctes:

Je calcule le discriminant: Exemples: Résoudre I. 2 x2 – 5 x – 3 = 0 - 3 a = 2; b = - 5; c = Je calcule le discriminant: donc l’équation a deux solutions

1 a = 4; b = - 4; c = II. 4 x2 – 4 x + 1 = 0 = (- 4)2 – 4×4×1 = 0 = (- 4)2 – 4×4×1 = 0 = 0, donc l’équation a une seule solution

III. – 3 x2 + 5 x – 5 = 0 - 5 a = - 3; b = 5; c = donc l’équation n’a pas de solution

Remarque 1 Dans les cas où l’équation à résoudre peut se mettre immédiatement sous forme de produit de facteurs, On n’utilise pas la méthode du discriminant; Il est plus rapide dans ce cas de factoriser l’équation. Exemple: Résoudre dans 3 x2 – 9 x = 0 3 x2 – 9 x = 0 3 x ( x – 3) = 0 3 x = 0 et x = 0 ou x – 3 = 0 et x = 3 D’où les solutions x1 = 0 et x2 = 3

Organigramme de résolution Pour résoudre une telle équation, on utilise l’organigramme suivant:

Calcul du discriminant a x² + b x + c = 0 Calcul du discriminant Δ = b ² - 4 a c Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 Une seule solution b x1 = x2 = - —— 2 a Deux solutions Aucune solution Dans l’ensemble des nombres réels

Remarque 2: Les solutions de l’équation a x ² + b x + c = 0 sont aussi appelées les racines du polynôme a x ² + b x + c

Factorisation du polynôme a x ² + b x + c a. Si Δ > 0, le polynôme a x ² + b x + c a deux racines x1 et x2 et il se factorise comme suit: a x² + b x + c = a ( x – x1)(x – x2 )

Factorisation du polynôme b. Si Δ = 0, a x² + b x + c admet une seule racine x0  telle que: a x ² + b x + c = a ( x – x0  )² c. Si Δ < 0, a x ² + b x + c n’a pas de racine; il ne peut être factorisé

Exemple Factoriser le polynôme 3 x² + 7 x – 20 Δ = 7² - 4×3×(-20) = 289 > 0 Donc ce polynôme admet 2 racines:

Résolution d’une inéquation du second degré

I - Signe du trinôme a x 2 + b x + c avec a 0

Recherche graphique du signe de Exemples : a.     Cas où  > 0 : Recherche graphique du signe de f(x) = x2 – 4 x + 3 : a = 1 ; b = - 4 ; c = 3   On calcule Δ       = b² - 4 a c = 16 – 12 = 4 > 0 ; donc f(x) admet 2 racines : x1 = 3 ; x2 = 1

Par lecture graphique on a:   Pour x < 1 ou x > 3, f(x) = x² - 4 x + 3 > 0 Pour 1 < x < 3, f(x) = x² - 4 x + 3 < 0 Ceci peut se résumer par le tableau suivant(a = 1 > 0)  :

Recherche graphique du signe de f(x) = - 2 x2 – x + 6 : 6 a = - 2; b = - 1 ; c =  = b2 – 4 a c = 49 > 0; donc le trinôme f(x) = - 2 x2 – x + 6 admet 2 racines x1 = 1,5 et x2 = - 2

Par lecture graphique : Pour x < - 2 ou x > 1,5; f(x) = - 2 x² - x + 6 < 0 Pour – 2 < x < 1,5; f(x) = x² - 4 x + 3 > 0 Ceci peut se résumer par le tableau suivant(a = - 2 < 0 ):

D’après les deux études précédentes, le signe du polynôme a x² + b x + c dépend du coefficient a  On constate donc que lorsque le discriminant  > 0, on a le schéma suivant : x x1 x2 Signe de a x² + b x + c Signe de a - a

b. Cas où  = 0 : Dans ce cas, le trinôme a x² + b x + c admet une seule racine telle que: et se factorise comme suit : a x² + b x + c = a (x – x0)2

Signe de a x² + b x + c = a (x – x0)2 Tableau de signes : x x0 Signe de a Signe de (x – x0)2 + Signe de a x² + b x + c = a (x – x0)2 +

La factorisation du trinôme a x ² + b x + c est impossible. c. Cas où  < 0 : La factorisation du trinôme a x ² + b x + c est impossible. Le trinôme a x ² + b x + c, dans ce cas, est toujours du signe de a.

II. Solution d’une inéquation du second degré :

Résoudre une telle inéquation revient à étudier le signe du trinôme a x ² + b x + c(a non nul). Trois cas sont possibles : 1. Si  > 0 ; a x ² + b x + c = a (x – x1)(x – x2) et a)      a (x – x1)(x – x2) est du signe de a à l’extérieur de x1 et x2 b)    a (x – x1)(x – x2) est du signe contraire de a à l’intérieur de x1 et x2

2. Si  = 0 ; a x² + b x + c = a (x – x0)2 est toujours du signe de a 3. Si  < 0 ; le trinôme a x ² + b x + c est toujours du signe de a.