Détection et isolation de défauts dans les procédés industriels Contrôle Statistique des Procédés Statistical Process Control (SPC)

Définition Outils statistiques pour analyser la nature des variations au sein d’un procédé 2 types de variations: dues à causes communes (« common-cause variations »); variations habituelles « normales » du procédé (bruits de mesure, variabilité matières premières ou tolérances composants, …) Variations dues à des causes spéciales (« special-cause variations ») ; dues à dysfonctionnement du procédé, non prévisibles CSP vise à détecter apparition variations dues à causes spéciales

Graphiques de contrôle Permettent de suivre l’évolution d’une grandeur et de détecter changements de moyenne (ou variance) significatifs caractérisant une variation de cause spéciale Plusieurs types : Shewart EWMA CUSUM …

Graphique type Shewart (1) Hypothèse: Echantillons successifs indépendants (au sens probabiliste) Détection causes spéciales induisant changement de moyenne

Graphique type Shewart (2) k o Shewart  c=3 Justifications: Densité de probabilité Gaussienne pour Pour toute densité de probabilité (inégalité de Chebychev; borne très conservative) - Expérience

Performance – LME –ARL (1) Définition: Longueur moyenne d’exécution – LME (Average run length – ARL) LME (ARL): Nombre moyen d’observations jusqu’à la première observation hors contrôle (correspondant à l’instant d’alarme), cette dernière observation comprise. Calcul: Considérer suite {y(k)} : avec y(k) mutuellement indépendants pour tout k Suppose apparition d’une cause spéciale (changement de moyenne) à l’instant inconnu :

Performance – LME – ARL (2) Probabilité qu’une observation tombe entre les limites de contrôle après changement:

Performance – LME – ARL (3) Calcul de la LME en fonction de

Performance – LME – ARL (4) Temps moyen entre fausses alarmes [Nombre d’observations]: LME(0) Temps moyen de détection d’un changement de moyenne d’amplitude [Nombre d’observations]:

Performance – LME – ARL (5) Détection rapide des changements importants Peu approprié pour faibles changements (1 à 2 fois l’écart type) car ne prend en compte que l’observation au temps présent Approche prenant en compte l’ensemble des observations  EWMA ou CUSUM

Graphique de contrôle EWMA pour la moyenne (1) EWMA: Exponentially Weighted Moving Average Utilise toutes les données antérieures pondérées par un poids exponentiellement décroissant avec l’ancienneté des observations. S’applique à suite d’observations i.i.d. (indépendantes identiquement distribuées) Statistique EWMA (moyenne glissante pondérée de manière exponentielle)

Graphique de contrôle EWMA pour la moyenne (2) Solution de l’équation récurrente pour EMWA décroissance poids sur observations donnée par série géométrique  autre dénomination: moyenne glissante géométrique Limites du graphique de contrôle variance de w(k) Equation de Lyapunov algébrique:

Graphique de contrôle EWMA pour la moyenne (3) k o

LME du graphique de contrôle EWMA pour la moyenne (1) On considère alarme si Notation: Longueur d’exécution égale à 1 si y(1) tel que sinon exécution continue à partir de

LME du graphique de contrôle EWMA pour la moyenne (2) A partir de ce point, longueur moyenne d’exécution escomptée:

LME du graphique de contrôle EWMA pour la moyenne (3) Source: Wieringa 99

LME du graphique de contrôle EWMA pour la moyenne (4) Evolution du LME dans le cas d’observations indépendantes [Wieringa, 99]

Influence d’une corrélation entre les observations (1) Modèle de type AR(1) Graphique de contrôle type Shewart en utilisant écart type de y pour les bornes LME(0) supérieure au cas où pas corrélation (bénéfique) LME( ) supérieure au cas où pas corrélation (effet négatif)

Références J.E. Wieringa (1999) Statistical process control for serially correlated data, Thèse de doctorat, Rijksuniversiteit Groningen M. Basseville et I.V. Nikiforov(1993)Detection of abrupt changes:theory and applications,Prentice-Hall, Englewood cliffs, N.J. http://en.wikipedia.org/wiki/Control_chart Weisstein, E.W. "Fredholm Integral Equation of the Second Kind." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/FredholmIntegralEquationoftheFirstKind.html