Le point le plus près Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction Nous verrons comment déterminer le point d’une droite ou d’un plan le plus rapproché d’un point hors de cette droite ou de ce plan.

Le point le plus près dans R2 Le point R d’une droite ∆ le plus proche d’un point Q hors de celle-ci est le pied de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆. On peut développer diverses stratégies pour trouver les coordonnées de ce point. Nous verrons comment procéder en déterminant l’intersection de lieux géométriques.

Le point le plus près dans R2 Intersection de lieux Procédure pour déterminer le point R d’une droite le plus rapproché d’un point Q hors de cette droite par l’intersection de lieux. 1. Déterminer une équation de la droite passant par le point Q et perpendiculaire à la droite ∆. 2. Substituer les équations paramétriques dans l’équation carté-sienne. 3. Calculer la valeur du paramètre au point de rencontre des droites. 4. Substituer la valeur du paramètre dans les équations paramétriques pour déterminer les coordonnées du point de rencontre qui est le point le plus rapproché.

Exemple 11.3.13 Utiliser la méthode de l’intersection de lieux pour trouver le point de ∆ : x – 2y + 4 = 0 le plus proche du point Q(4; 9). On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆. Or, cette droite est parallèle au vecteur normal à ∆. (6; 5) La description paramétrique de la droite passant par Q et perpendiculaire à ∆ est : x = 4 + t y = 9 – 2t En substituant ces équations paramétriques dans l’équation de la droite ∆, on obtient : En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient : (4 + t) – 2(9 – 2t) + 4 = 0 x = 4 + 2 = 6 y = 9 – 2 ´ 2 = 5 D’où : 4 + t – 18 + 4t + 4 = 0 S S Le point le plus rapproché est donc R(6; 5). Cela donne : 5 t – 10 = 0 et t = 2

Exemple 10.3.5 Utiliser la méthode de l’intersection de lieux pour trouver le point de ∆ : (5; 6) x = –1 + 4t y = 3 + 2t le plus proche du point Q(7; 2). L’équation cartésienne de la droite passant par Q et perpendiculaire à ∆ est donnée par : (x – 7; y – 2) • (4; 2) = 0 D’où : 4x – 28 + 2y – 4 = 0 Et : 4x + 2y – 32 = 0 En substituant les équations paramétriques de ∆ dans l’équation de la perpendiculaire passant par Q, on obtient : En substituant cette valeur dans les équations paramétriques de ∆, on obtient : 4(–1 + 4t) + 2(3 + 2t) – 32 = 0 x = –1 + 4(3/2) = 5 y = 3 + 2(3/2) = 6 D’où : –4 + 16t + 6 + 4t – 32 = 0 S S Le point le plus rapproché est donc R(5; 6). Cela donne : 20 t – 30 = 0 et t = 3/2

Exercice Utiliser la méthode de l’intersection de lieux pour trouver le point de ∆ : 3x – 2y – 15 = 0 le plus proche du point Q(–2; 9). (7; 3) La description paramétrique de la droite passant par Q et perpendiculaire à ∆ est : x = –2 + 3t y = 9 – 2t En substituant ces équations paramétriques dans l’équation de la droite ∆, on obtient : En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient : 3(–2 + 3t) – 2(9 – 2t) – 15 = 0 x = –2 + 3 ´3 = 7 y = 9 – 2 ´3 = 3 D’où : –6 + 9t – 18 + 4t – 15 = 0 S S Le point le plus rapproché est donc R(7; 3). Cela donne : 13t – 39 = 0 et t = 3

Exercice Utiliser la méthode de l’intersection de lieux pour trouver le point de ∆ : x = –1 + 3t y = 9 – 2t (5; 5) le plus proche du point Q(3; 2). L’équation cartésienne de la droite passant par Q et perpendiculaire à ∆ est donnée par : (x – 3; y – 2) • (3; –2) = 0 D’où : 3x – 9 – 2y + 4 = 0 Et : 3x – 2y – 5 = 0 En substituant les équations paramétriques de ∆ dans l’équation de la perpendiculaire passant par Q, on obtient : En substituant cette valeur dans les équations paramétriques de ∆, on obtient : 3(–1 + 3t) – 2(9 – 2t) – 5 = 0 x = –1 + 3 ´2 = 5 y = 9 – 2 ´2 = 5 D’où : –3 + 9t – 18 + 4t – 5 = 0 S S Le point le plus rapproché est donc R(5; 5). Cela donne : 13t – 26 = 0 et t = 2

Le point le plus près dans R3 Méthode de l’intersection de lieux Le point d’une droite le plus près d’un point Q hors de cette droite dont on connaît un vecteur directeur (description paramétrique). Le point cherché est le pied de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆. Cette droite est dans un plan ∏ perpendiculaire à ∆ et passant par le point Q. Le vecteur directeur de la droite ∆ est donc un vecteur normal au plan ∏. On peut donc déterminer une équation cartésienne du plan ∏ et trouver son intersection avec la droite ∆.

Exemple 11.3.16 (Intersection de lieux) x = 8 + 3t y = –1 – 2t z = –2 + t le point le plus rapproché du point Q(3; 8; 3). Trouver sur la droite ∆ : On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆. Or, cette droite est dans un plan perpendiculaire à ∆. L’équation cartésienne du plan passant par Q et perpendiculaire à ∆ est : (3; –2; 1) • (x – 3; y – 8; z – 3) = 0, d’où : 3x – 2y + z + 4 = 0 En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient : En substituant les équations paramétriques de la droite dans l’équation du plan ∏, on obtient : x = 8 + 3 ´(–2) = 2 y = –1 – 2 ´(–2) = 3 z = –2 + 1 ´(–2) = –4 3(8 + 3t) – 2(–1 – 2t) + (–2 + t) + 4 = 0 S S S D’où : 24 + 9t + 2 + 4t – 2 + t + 4 = 0 Le point le plus rapproché est donc R(2; 3; –4). Cela donne : 14t + 28 = 0 et t = –2

Exercice (Intersection de lieux) x = 7 – 4t y = –4 + 2t z = –2 + 3t le point le plus rapproché du point Q(–2; 8; 7). Trouver sur la droite ∆ : On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆. Or, cette droite est dans un plan perpendiculaire à ∆. ∏ L’équation cartésienne du plan passant par Q et perpendiculaire à ∆ est : (–4; 2; 3) • (x + 2; y – 8; z – 7) = 0, d’où : –4x + 2y + 3z – 45 = 0 En substituant les équations paramétriques de la droite dans l’équation du plan ∏, on obtient : En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient : x = 7 – 4 ´3 = –5 y = –4 + 2 ´3 = 2 z = –2 + 3 ´3 = 7 –4(7 – 4t) + 2(–4 + 2t) + 3(–2 + 3t) – 45 = 0 S S S D’où : –28 + 16t – 8 + 4t – 6 + 9t – 45 = 0 Cela donne : 29t – 87 = 0 et t = 3 Le point le plus rapproché est donc R(–5; 2; 7).

Le point d’un plan le plus près d’un point hors du plan (méthode de l’intersection de lieux) Le point d’un plan le plus près d’un point Q hors de ce plan dont on connaît un vecteur normal (équation cartésienne). Le point cherché est le pied de la perpendiculaire abaissée du point Q sur le plan ∏. Cette perpendiculaire est une droite ∆ passant par le point Q et ayant comme vecteur directeur le vecteur normal au plan ∏. On peut donc déterminer une description paramétrique de la droite ∆ et trouver son intersection avec le plan ∏.

Exemple 11.3.17 Utiliser la méthode de l’intersection de lieux pour trouver le point de ∏ : x + 2y + 3z –28 = 0 le plus proche du point Q(7; 9; 15). On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur le plan ∏. Or, cette droite est parallèle au vecteur normal à ∏. La description paramétrique de la droite passant par Q et perpendiculaire à ∏ est : x = 7 + t y = 9 + 2t z = 15 + 3t En substituant ces équations paramétriques dans l’équation du plan ∏, on obtient : En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient : (7 + t) + 2(9 + 2t) + 3(15 + 3t) – 28 = 0 x = 7 + 1 ´(–3) = 4 y = 9 + 2 ´(–3) = 3 z = 15 + 3 ´(–3) = 6 D’où : 7 + t + 18 + 4t + 45 + 9t – 28 = 0 S S Cela donne : 14t + 42 = 0 et t = –3 Le point le plus rapproché est donc R(4; 3; 6).

Exercice Utiliser la méthode de l’intersection de lieux pour trouver le point de ∏ : 5x + 3y + z – 16 = 0 le plus proche du point Q(23; 14; –1). On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur le plan ∏. Or, cette droite est parallèle au vecteur normal à ∏. La description paramétrique de la droite passant par Q et perpendiculaire à ∏ est : x = 23 + 5t y = 14 + 3t z = –1 + t En substituant ces équations paramétriques dans l’équation du plan ∏, on obtient : En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient : 5(23 + 5t) + 3(14 + 3t) + (–1 + t) – 16 = 0 x = 23 + 5 ´(–4) = 3 y = 14 + 3 ´(–4) = 2 z = –1 + 1 ´(–4) = –5 D’où : 115 + 25t + 42 + 9t – 1 + t – 16 = 0 S S Cela donne : 35t + 140 = 0 et t = –4. Le point le plus rapproché est donc R(3; 2; –5).

Les points les plus rapprochés de deux droites gauches Méthode du vecteur normal Lorsqu’on a deux droites gauches , il y a toujours des plans parallèles contenant les droites. En notant A et B, les points les plus rapprochés, on a alors : AB = k N Les coordonnées des points A et B doivent satisfaire aux équations para-métriques de leur droite respective. On peut donc établir un système de contraintes dont les variables sont les paramètres des équations des droites et le scalaire k. En résolvant ce système, on connaîtra la valeur des paramètres aux points les plus rapprochés.

Exemple 11.3.18 (vecteur normal) Trouver les points les plus proches sur les droites gauches suivantes : x = 7 – 2t y = –6 + 4t z = 6 – t x = 1 + s y = –10 – 3s z = 8 + 2s ∆1 : ∆2 : Les vecteurs directeurs sont : D1 = (–2; 4; –1) et D2 = (1; –3; 2) N = (5; 3; 2) En résolvant, on a : Trouvons le vecteur normal : Puisque : Notons A(a; b; c), le point cherché sur la droite ∆1, et B(d; e; f), le point cherché sur la droite ∆2. AB = k N, on a : 1 –3 L1 – 13L3 1 2 –5 6 Les points les plus rapprochés sont donc A(3; 2; 4) sur ∆1 et B (–2; –1; 2) sur ∆2. i j k 1 2 –5 6 (s + 2t – 6; –3s – 4t – 4; 2s + t + 2) = k(5; 3; 2) = (5k; 3k; 2k) L1 ≈ 1 2 N = D1 ´ D2 = L2 + 9L3 = (8 – 3) i – (–4 + 1) j + (6 – 4) k –3 –4 –3 4 ≈ –2 4 –1 Il existe donc des valeurs de t et s telles que : 2 –18 22 L2 + 3L1 1 –1 L3 S 2 1 –2 –2 1 –3 2 –3 = 5 i + 3 j k + 2 8 –14 a = 7 – 2t b = –6 + 4t c = 6 – t L3 – 2L1 d = 1 + s e = –10 – 3s f = 8 + 2s On a donc s = –3 et t = 2, d’où : s + 2t – 5k = 6 –3s – 4t – 3k = 4 2s + t – 2k = –2 S S S D’où l’on tire le système d’équations : 1 13 –16 1 13 –16 L1 – L2 L1 x = 7 – 2 ´2 = 3 y = –6 + 4 ´2 = 2 z = 6 – 2 = 4 x = 1 – 3 = –2 y = –10 – 3 ´(–3) = 1 z = 8 + 2 ´(–3) = 2 ≈ 2 –18 22 ≈ 1 –9 11 A : L2 B : L2 /2 D’où : AB = (d – a; e – b: f – c) = (s + 2t – 6; –3s – 4t – 4; 2s + t + 2) –38 38 1 –1 2L3 + 3L2 L3 /(–38)

Exercice (vecteur normal) Trouver les points les plus proches sur les droites gauches suivantes : x = –4 + 3t y = –10 + 7t z = –11 + 4t x = 1 + s y = 1 – s z = 11 – s ∆1 : ∆2 : Les vecteurs directeurs sont : D1 = (3; 7; 4) et D2 = (1; –1; –1) N = (–3; 7; –10) Trouvons le vecteur normal : En résolvant, on trouve : Puisque : Notons A(a; b; c), le point cherché sur la droite ∆1, et B(d; e; f), le point cherché sur la droite ∆2. AB = k N, on a : i Les points les plus rapprochés sont donc A(2; 4; –3) sur ∆1 et B (–2; –1; 2) sur ∆2. j k 1 –3 3 –5 1 10 –3 3 40 –5 (s – 3t + 5; –s – 7t + 11; –s – 4t + 22) = k (–3; 7; –10) = (–3k; 7k; –10k) L1 – 42L3 N = D1 ´ D2 = L1 = (–7 + 4) i – (–3 – 4) j + (–3 – 7) k 3 7 4 ≈ –20 Il existe donc des valeurs de t et s telles que : –1 –7 –7 –11 ≈ –10 –10 –4 –16 L2 + L1 L2 + 4L3 1 –1 –1 = –3 i + 7 j k – 10 S D’où l’on tire le système d’équations : –1 –4 10 –22 L3 –7 1 –1 L3 + L1 d = 1 + s e = 1 – s f = 11 – s 13 –27 a = –4 + 3t b = –10 + 7t c = –11 + 4t On a donc s = 4 et t = 2, d’où : s – 3t + 3k = –5 –s – 7t – 7k = –11 –s – 4t + 10k = –22 10 42 –2 10 42 –2 S S S 10L1 – 3L2 L1 x = –4 + 3 ´2 = 2 y = –10 + 7 ´2 = 4 z = –11 + 4 ´2 = –3 x = 1 + 4 = 5 y = 1 – 4 = –3 z = 11 – 4 = 7 ≈ ≈ –10 –4 –16 –10 –4 –16 A : L2 B : L2 D’où : AB = (d – a; e – b: f – c) = (s – 3t + 5; –s – 7t + 11; –s – 4t + 22) 158 –158 1 –1 10L3 – 7L2 L3 /(–158)

Conclusion En utilisant les vecteurs directeurs et les vecteurs normaux, on peut déterminer l’équation d’une droite ou d’un plan perpendiculaire à un plan ou à une droite donnée passant par un point extérieur à cette droite. L’intersection de ces lieux géométriques donne le point le plus rapproché.

Lecture Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 11.3, p. 340 à 354. Exercices Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 11.4, p. 364 et 367.