Équations différentielles

Équations différentielles Se dit d’une équation qui lie une fonction dérivable et ses dérivées successives. On note le plus souvent y la fonction inconnue de l’équation et y‘, y‘’ (…) les dérivées de cette fonction. Résoudre une équation différentielle sur un intervalle I, c’est trouver toutes les fonctions solutions y définies sur I ; c’est à dire toutes les fonctions, un certain nombre de fois dérivables sur I, et qui vérifient, pour tout x  I , l’équation différentielle proposée.

Exemples : Pour simplifier (!) les équations, on évite d’écrire y (x) , y‘(x) ...

Équations différentielles linéaires du premier ordre Tout d’abord, comme nous ne sommes pas courageux ! Nous nous intéressons aux équations les plus simples : Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants sans second membre Pas de y2 , de ... Que des y et y ’ Coefficients sans la variable x D’un côté les « y » de l’autre 0 ! C’est à dire : ou encore :

Théorème : Les solutions sur R de l’équation différentielle (1) : y ’ = a y , où a  0, sont les fonctions fk définies sur R par : , où k  R . Ce théorème est à connaître par cœur ! Tout comme la preuve de ce théorème !

Preuve :  Montrons tout d’abord qu’il y a des solutions ! C’est à dire des fonctions dérivables qui vérifient (1) : y ’ = a y . Pour cela nous allons simplement vérifier que f1 est une solution de (1). f1 est dérivable sur R et pour tout x : Ainsi, pour tout x  R : Ce qui veut bien dire que f1 est une solution de l’équation (1). On peut de la même manière vérifier le théorème pour fk .

 Maintenant, montrons qu’il ne peut pas y avoir d’autres solutions ! Pour cela, soit g une solution quelconque de (1) : y ’ = a y . On sait qu’il y a des solutions (cf diapo précédente !) g est donc une fonction dérivable sur R qui vérifie l’équation (1) ; c’est à dire que pour tout x  R , g’(x) = a g (x) . On considère la fonction u définie sur R par : La fonction u est dérivable sur R comme produit de fonctions dérivables sur R. On a : Donc : Comme g’(x) - a g (x) = 0, il en vient : Comme une exponentielle n’est pas nulle, on a pour tout x  R , u‘ (x) = 0. Ainsi, la fonction u est une constante que l’on peut notée k. Pour tout x  R , u (x) = k. Ce qui donne pour la fonction g :

C ’est aussi simple que ça ! Exemple : On considère l’équation différentielle : y ’ = 3 y. Les solutions de cette équation sont les fonctions f définies sur R par : , où k  R . C ’est aussi simple que ça !

Théorème : Pour tout couple (x0 ; y0) , il existe une unique solution f à l ’équation (1) : y ’ = a y qui vérifie la condition initiale : f (x0) = y0 . Cela revient à choisir la constante k de la fonction solution fk qui vérifie cette condition initiale. L’interprétation graphique de ce théorème nous donne : Par tout point M (x0 ; y0) , il ne passe qu’une seule courbe solution de (1). Ou encore : on peut toujours trouver une unique solution de (1) telle que la courbe de cette solution passe par un point donné.

Quelques courbes de solutions de l’équation différentielle : y ’ = 3 y. Ici k = 100 Ici k = 0,00001

Exemple : On considère l’équation différentielle (1) : y ’ = 3 y. On recherche la solution particulière f qui vérifie : f (-1) = 10. Les solutions de l’équation (1) sont les fonctions f définies sur R par : , où k  R . Or si f (-1) = 10 , on a : Ce qui donne pour la constante k : Soit environ k = 201 !

Courbe de la fonction f définie par :

Théorème : Les solutions sur R de l’équation différentielle (1) : y ’ = a y + b , où a  0 et b  0 sont les fonctions fk définies sur R par : , où k  R .

Exemple : On considère l’équation différentielle : y ’ = 3 y - 2. Les solutions de cette équation sont les fonctions f définies sur R par : , où k  R . On peut aussi rechercher une solution particulière en imposant une condition.