Du calcul numérique au calcul littéral Les différents statuts de « la lettre » et du « signe = »

Un des objectifs de l’enseignement mathématique au collège est que le calcul littéral prenne place à côté du calcul numérique dans les moyens d’expression et de résolution de problèmes… En 6° et 5°: On initie à l’usage des lettres en choisissant des situations où leur utilité est reconnue par les élèves. En 4° et 3°: On aborde la pratique du calcul littéral mais dans l’objectif de résolution de problèmes.

Les différents statuts de la lettre Celui de variable : c’est le cas où on l’utilise pour produire une formule, un travail avec tableur permet alors de donner du sens à cette notion. Celui d’indéterminée : symbolisant un nombre quelconque pour, par exemple, énoncer une propriété, elle prend un caractère d’universalité. Celui d’inconnue : pour écrire et résoudre une équation, cela renvoie alors au statut du signe =, le tableur peut être utile comme instrument de test. Celui de paramètre : pour représenter une quantité connue par rapport à d’autres lettres. A l’école primaire, la lettre désigne un objet,une grandeur, une unité, une abréviation…les différents usages de la lettre sont implicites pour l’élève, une lettre peut changer de statut au long d’un problème

La rupture arithmétique/algèbre « écrire en fonction de… » Recherche de situations qui peuvent valider auprès des élèves l’introduction des lettres dans les calculs: Comment rendre la présence de la lettre progressivement nécessaire? Des exemples d’activités pour donner du sens: « les carrés accolés » « le carré bordé » Le travail sur les formules, première rencontre avec les expressions algébriques est l’occasion de les démystifier…elles apparaissent alors comme la traduction des méthodes de calcul mises en œuvre par les élèves… Comment utiliser la lettre comme outil

Les différents statuts du signe = A l’école élémentaire : Annonce un résultat Communique la décomposition d’un nombre. Très rarement exprime que deux écritures représentent le même nombre. Au collège : Il exprime qu’on a deux expressions d’un même objet mathématique. Il rend compte de l’universalité d’un énoncé. Il exprime un questionnement dans l’écriture d’une équation. Il est symbole d’affectation.

Des exemples Il paraît intéressant d’entraîner assez tôt les élèves à manipuler des égalités « complexes » par exemple, dans lesquelles une écriture littérale figure dans les deux membres: Compléter les points avec le même nombre pour que l’égalité soit vraie(ex1 et 2), avec les nombres de ton choix (ex3). Ex1: Ex2: Ex 3: 17/12/ ;;;Par tâtonnements…approximations successives dès la 6°

Il s’avère vite utile de recourir à l’usage des lettres, en remarquant que le choix des lettres n’a pas d’importance sur la solution du problème…l’élève doit également être amené à prendre conscience qu’une écriture littérale est porteuse d’information et que les transformations de ces écritures vont permettre avec « économie » de résoudre le problème posé … Exemple: Un rectangle a pour dimensions 4x et 25x. Quelle est la mesure du côté du carré ayant la même aire?

Des situations pour construire des règles le calcul littéral et la démonstration … Règles de calcul Transformations d’écritures pour faire apparaître des propriétés Démonstrations de propriétés concernant les nombres entiers Comparaison de nombres, ordre et opérations Pb du choix de la démarche ( démos confiées aux élèves, guidées ou conduites par l’enseignant ) Le contre exemple

Prouver que la somme de trois nombres entiers consécutifs est un  multiple de trois. La moitié d’un nombre est-elle toujours inférieure à ce nombre? Justifier; Le carré d’un nombre est-t-il supérieur à ce nombre? Justifier. Parmi les expressions suivantes, lesquelles représentent le même nombre?…(ex) La différence entre le quart d’un nombre et son inverse est nulle: quel est ce nombre ? Est-il le seul?   La somme des inverses de deux nombres non nuls est-elle égale à l’inverse de leur somme? Justifie ta réponse. Le carré d’un nombre entier naturel impair peut-il être pair? Justifie ta réponse. x et y sont des nombres supérieurs à 10, ranger dans l’ordre croissant: Le quotient de x par y, le quotient de la somme de x et de 5 par y et le quotient de la différence entre x et 10 par y.   

La résolution de problèmes Le raisonnement arithmétique: du connu vers l’inconnu. La langue naturelle est largement utilisée pour décrire la démarche et exprimer les réponses. L’égalité est indicateur de calculs.    Le raisonnement algébrique: on désigne la ou les inconnues par des lettres et la démarche est inversée. Transformations d’écritures littérales s’appuyant sur des règles formelles. = relation symétrique.

Deux situations exemples Je pense à un nombre je le multiplie par 4 , je retranche 5 au résultat et je trouve11. Quel est le nombre auquel je pense? Pierre et Paul affichent le même nombre sur leurs calculatrices. Pierre multiplie le nombre affiché par 3 et soustrait 1 au résultat, Paul multiplie le nombre affiché par 2 et ajoute 5 au résultat.Ayant fini leurs calculs respectifs ils s’aperçoivent que leurs calculatrices affichent le même résultat. Quel était le nombre affiché au départ?

« Procédural ou structural « Procédural ou structural? » Les deux aspects d’une expression algébrique Le point de vue dynamique: on effectue une suite d’opérations. Programme de calcul. Test sur des valeurs numériques. Tableur: étapes successives Le caractère statique, on peut décrire la forme de l’expression, la transformer… Traduire une expression. Tableur : nature de la formule écrite dans la dernière cellule Parallèle avec la géométrie : desciption de la figure et programme de construction

Atelier : du numérique au littéral Dans les programmes du cycle central, quels sont les points qui permettent des démonstrations dans le cadre algébrique: à quel moment, avec quels outils? Elaborer ou repérer des situations permettant de travailler l’aspect structural d’une expression au niveau 5° et 4°. Trouver des situations permettant de mettre en évidence les limites de la résolution arithmétique d’un problème en 4°. Exploiter des idées d’activités faisant intervenir les différents statuts de la lettre.

Exemple 1: Deux prismes P et P’ont pour base un polygone d’aire a et pour hauteurs respectives 5,6cm et 3,5 cm.Quelle est la hauteur d’un prisme de même base qui a pour volume la somme des volumes des deux prismes P et P’. Même question en fixant une valeur numérique pour l’aire et en nommant h et h’ les mesures des deux hauteurs… Exemple 2: Un prisme P a pour base un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 6cm et 5 cm , sa hauteur a pour mesure h. Un prisme P’ a pour base un parallélogramme dont l’aire mesure 15 cm² et sa hauteur h’. Un prisme P’’a pour base un trapèze dont l’aire est égale à celle du parallélogramme.Sa hauteur mesure 20cm et son volume est égal à la somme des deux autres. Quelles sont les valeurs de h et h’?

Les carrés « accolés » Choix de la position du point C Niveau? Consigne: périmètre, aire? En fonction de… Production de formule Mise en équation Prolongement…etc

Le carré « bordé » Niveau? Consigne? Objectifs? Mise en œuvre classe Prolongements?