SUITES GEOMETRIQUES

ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI On peut créer des figures géométriques par la répétition de règles simples. Etape 1 : soit un triangle Etape 2 : on trace dans celui-ci le triangle construit sur les milieux des côtés. On colorie le triangle central.

ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI On peut créer des figures géométriques par la répétition de règles simples. Etape 1 : soit un triangle Etape 2 : on trace dans celui-ci le triangle construit sur les milieux des côtés. On colorie le triangle central. Etape 3 : pour chacun des triangles non coloriés repartir à létape 1.

ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI On peut créer des figures géométriques par la répétition de règles simples. Etape 1 : soit un triangle Etape 2 : on trace dans celui-ci le triangle construit sur les milieux des côtés. On colorie le triangle central. Etape 3 : pour chacun des triangles non coloriés repartir à létape 1.

ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI On peut créer des figures géométriques par la répétition de règles simples. Etape 1 : soit un triangle Etape 2 : on trace dans celui-ci le triangle construit sur les milieux des côtés. On colorie le triangle central. Etape 3 : pour chacun des triangles non coloriés repartir à létape 1.

ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI On peut créer des figures géométriques par la répétition de règles simples. Etape 1 : soit un triangle Etape 2 : on trace dans celui-ci le triangle construit sur les milieux des côtés. On colorie le triangle central. Etape 3 : pour chacun des triangles non coloriés repartir à létape 1.

ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI Déterminer le nombre de triangles non coloriés pour chaque génération.

U 1 = 1 Génération 1 : Génération 2 :

ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI U 1 = 1 U 2 = 3 Génération 1 : Génération 2 : Génération 3 :

ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI U 1 = 1 U 2 = 3 U 3 = 9 Génération 1 : Génération 2 : Génération 3 : Génération 4 :

ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI U 1 = 1 U 2 = 3 U 3 = 9 U 4 = 27 Génération 1 : Génération 2 : Génération 3 : Génération 4 : Génération 5 :

ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI U 1 = 1 U 2 = 3 U 3 = 9 U 4 = 27 U 5 = 81 Génération 1 : Génération 2 : Génération 3 : Génération 4 : Génération 5 :

ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI Quelle est la relation permettant de calculer U 2 à partir de U 1 ? U 3 à partir de U 2 ? …

U 1 = 1 U 2 = 3 U 3 = 9 U 4 = 27 × 3 U 5 = 81 × 3 Génération 1 : Génération 2 : Génération 3 : Génération 4 : Génération 5 :

ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI Exprimer le nombre de triangles non coloriés U n à la génération n en fonction de U n-1.

Exprimer U 2 en fonction de U 1 ; U 3 en fonction de U 1 ; U n en fonction de U 1 …

Exprimer U 2 en fonction de U 1 ; U 3 en fonction de U 1 ; U n en fonction de U 1 …

A RETENIR Une suite géométrique est une suite de nombres dont chaque terme est obtenu à partir du précédent en multipliant par un nombre constant appelé raison et noté q. Chacun des termes est désigné par U n, n indiquant le rang dans la suite.

EXEMPLE Les premiers termes dune suite de nombres sont : 2 ; 8 ; 32 ; 128 ; 512 ;... Montrer que cette suite est géométrique. Déterminer U 1 et la raison q. Calculer U 6. Le rapport entre les termes consécutifs est constant et égal à 4 donc la suite est géométrique. U 1 = 2 et q = 4 U 6 = U 5 × q = 512 × 4 =2 048 Calculer U 20. U 20 = U 1 q 19 = =

APPLICATION

1) Combien avez-vous dancêtres à la quatrième génération ? ARBRE GENEALOGIQUE

moi GENERATION : 1

pèremère moi GENERATION : 1 2

pèremère pèremèrepèremère moi GENERATION : 1 3 2

pèremèrepèremèrepèremèrepèremère pèremère pèremèrepèremère moi GENERATION : Nous avons huit ancêtres à la quatrième génération.

ARBRE GENEALOGIQUE 2) Combien avez-vous dancêtres à la quarantième génération ? Il nest pas concevable de compter le nombre dancêtres de chaque génération. Que proposez-vous comme méthode ? Le nombre dancêtres forme-t-il une suite arithmétique ou géométrique?

pèremèrepèremèrepèremèrepèremère pèremère pèremèrepèremère moi Nombre dancêtres :

ARBRE GENEALOGIQUE 2) Combien avez-vous dancêtres à la quarantième génération ? Le nombre dancêtres de chaque génération forme une suite géométrique de premier terme U 1 = 1 et de raison q = 2. Le rapport entre les termes consécutifs est constant et égal à 2 donc la suite est géométrique. U 40 = U 1 q 39 = = Calculons U 40 :