Chapitre 8: Solutions à certains exercices D’autres solutions peuvent s’ajouter sur demande: nrsavard@sympatico.ca ou 647-5967

m2 m1 y U = 0 m2 m1 y U = 0 y2 y1 E1 On ne change rien au problème en mettant les deux blocs au même niveau pour utiliser le même système de référence. Selon ce choix, les deux énergies potentielles initiales sont nulles. Comme le système part du repos, les énergies cinétiques sont également nulles et l’énergie mécanique totale est nulle. Puisque le bloc m1 descend à partir de zéro, son énergie potentielle devient négative et il perd de l’énergie potentielle. Cette énergie se transforme en énergie cinétique des deux blocs ainsi qu’en énergie potentielle du bloc m2 qui augmente.

U = 0 y y0 U = 0 y y0 m2 m1 m2 m1 E2 L’énergie initiale Ei, qui est l’énergie potentielle du bloc m1 se trouvant à une hauteur y0, est transformée en énergie cinétique des deux blocs. L’énergie potentielle de bloc m2 ne change pas.

E3 Puisque m2 > m1 et que l’angle de m2 est le plus grand, il est clair que m2 va descendre et que m1 va monter. Pour chacune des masses, il faut décider de l’endroit ou U = 0. Le plus simple est de choisir les positions initiales des deux masse. Ainsi les énergies potentielles des masses sont initialement nulles. L’énergie potentielle finale de m2 sera négative et celle de m1 positive.

y E5 Il convient d’abord de trouver l’énergie mécanique totale Ei dans la situation initiale car elle sera conservée par la suite. La vitesse sera maximale au plus bas de la trajectoire, là où yf = 0 et U = 0 puisqu’à cet endroit toute l’énergie s’est transformée en énergie cinétique. L’angle θf sera maximal lorsque la hauteur et donc l’énergie potentielle seront au maximum. Ce sera le cas lorsque Kf = 0 et vf = 0.

E9 y0 = 0,6 y = 0, U = 0 y y? Selon le système de référence choisi, y est négatif et donc aussi l’énergie potentielle mgy. La bonne racine est donc -0.266 m

y1 y m2 m1 y1 y m2 m1 E11

m1 m2 y1 y2 y U = 0 m1 m2 y1 y2 y E13 U = 0

E14 Vu le système de référence, la position finale x sera négative et l’énergie potentielle finale sera également négative.

E15 Puisqu’il n’y a pas de frottement, l’énergie mécanique est constante (165 J). Il passera le point B si l’énergie est supérieure ou égale à l’énergie potentielle à ce point. De cette manière il reste de l’énergie cinétique (8 J) et donc de la vitesse. Au point D, le mobile s’arrête (K=0) après avoir compressé le ressort au maximum (x).

E19 Comme il n’y a pas de frottement, l’énergie mécanique (potentielle + cinétique) totale est conservée. Il suffit de calculer cette énergie en A puis supposer qu’elle reste la même aux points B et C.

y0 y f N mg v E30

A) E31 vo x B) vo x C) vo x

E32 x A 4 m C B 53o 37o

E34 C’est l’équivalent de l’exercice E28, mais avec du frottement. Ici encore, vu le choix du système de référence, le x final est négatif.

E57 Initialement, le bloc est au repos avec une énergie potentielle nulle au point x=0. Le ressort est initialement détendu à x=0. Lorsque le bloc descend d’une distance x, son énergie potentielle devient –mgh et le ressort est étiré d’une distance x. Notez que la masse s’arrête momentanément avant de remonter; c’est pourquoi on pose que v=0 pour trouve xmax.

x P5 Selon le principe de conservation de l’énergie mécanique. l’énergie cinétique en bas est égale à la somme des l’énergies cinétique et potentielle en haut: De plus, nous pouvons appliquer la 2e loi de Newton en haut ( ) puis en bas ( ) de la trajectoire. En faisant la différence de ces deux équations et en combinant le résultat avec la première, on obtient le résultat recherché.

P7 A B Pour que la masse effectue un cercle complet, il lui faut une vitesse minimale au point B. À cette vitesse, le poids est égal à la force centripète nécessaire pour effectuer un cercle de rayon R. On trouve cette vitesse ( ) et on la substitue dans l’équation de conservation de l’énergie mécanique totale.

P8 A B Pour que le bloc puisse raser le sommet sans le toucher au point B, il faut que son poids soit égal à la force centripète nécessaire pour effectuer un cercle de rayon r. On trouve la vitesse ( ) qui en découle et on la substitue dans l’équation de conservation de l’énergie mécanique totale.