Théorie des graphes Un peu de vocabulaire

Théorie des graphes L’objectif est de décrire des objets (d’où un vocabulaire spécifique) dont nous aurons besoin pour résoudre différents problèmes.

Un graphe est défini : Un graphe non orienté par un ensemble S de points (appelés « sommets »), le plus souvent symbolisés par des numéros 1 , 2 , 3, etc…. , ou par des lettres a, b, c… par des liens reliant certains sommets entre eux ; ces liens qui créent donc des couples de sommets, se nommeront (et se représenteront sur le dessin) par des « arcs » ou des « arêtes » selon que le graphe est « orienté » ou « non orienté ». b a c une arête e d un sommet a c un arc ou arc orienté e b d Un graphe orienté

Définition : ordre d’un graphe ordre d’un graphe : nombre de sommets du graphe Graphe d’ordre 5 b a Graphe d’ordre 4 c b a e c d d Remarque : un sommet peut ne pas être en relation avec les autres sommets du graphe.

Définitions : arc et arête Arc : couple (x;y) formé par deux sommets « en relation » dans un graphe orienté. Se symbolise par une flèche. Arête : nom d'un arc, dans un graphe non orienté. Se symbolise par un trait. Un graphe orienté Un graphe non orienté a b a c c L’ arc (c;d) L’arête (c;d) b d e e d le sommet e

Définitions : boucle Boucle : arc reliant un sommet à lui-même, ie dont ses extrémités sont confondues. Une boucle (a;a) b a c e d

Définitions : chaîne Une chaîne dans un graphe G, est une suite d’arêtes qui se suivent et relient certains sommets du graphe. Si le premier sommet est a et le dernier b, on dira que la chaîne relie a et b. En plus, on dira que la chaîne a pour longueur k lorsque le nombre d'arêtes de la chaîne est k. Une chaîne doit comporter au moins une arête. b a c e d Par exemple, a-b-c-d-b-e est une chaîne qui relie a à e; elle a pour longueur 5.

Définition : cycle Un cycle dans un graphe G, est une chaîne qui a le même point de départ et d’arrivée. C’est-à-dire une suite d’arêtes qui se suivent et qui « se referment ». En plus, on dira que la cycle a pour longueur k lorsque le nombre d'arêtes du cycle est k. b a c e d Par exemple, a-b-e-a est un cycle qui part de a; il est de longueur 3

Définition (rappel) : ordre d’un graphe ordre d’un graphe : nombre de sommets du graphe Graphe d’ordre 5 b a c e d

Définition : graphe complet graphe complet : un graphe est complet si quels que soient deux sommets distincts, il existe un arc (ou une arête) les reliant dans un sens ou dans l'autre (lorsqu’on a un graphe orienté) Graphe complet d’ordre 4 b a c d b a c Graphe non complet d

Définition : graphe complet Graphe orienté non complet d’ordre 3 graphe complet : un graphe est complet si quels que soient deux sommets distincts, il existe un arc (ou une arête) les reliant dans un sens ou dans l'autre (lorsqu’on a un graphe orienté) b a c b a c Graphe orienté complet d’ordre 3

Définitions : distance et diamètre On appelle distance entre deux sommets la longueur de la plus petite chaîne les reliant. On appelle diamètre d'un graphe la plus longue des distances entre deux sommets. La distance entre a et e est 1 La distance entre a et d est 2 b a c e d Le diamètre du graphe est 2 car c’est la plus grande distance entre 2 sommets quelconques

Exemple : distance et diamètre La distance entre a et e est 1 La distance entre a et d est 3 La distance entre c et b est 2 b a c Le diamètre du graphe est 3 car c’est la plus grande distance entre 2 sommets quelconques e d

Définition : degré d’un sommet Un graphe non orienté Degré d’un sommet : nombre d'arête issues d'un sommet dans un graphe non orienté; nombre d’arcs arrivant ou partant d’un sommet dans un arc orienté b a c e d un sommet de degré 3 a c e un sommet de degré 2 b d Un graphe orienté

Définition : sous graphe Graphe G sous graphe : le graphe G' est un sous graphe de G si l'ensemble des sommets de G' est inclus dans l'ensemble des sommets de G, et si l'ensemble des arcs de G' est égal au sous-ensemble des arcs de G reliant entre eux tous les sommets de G’ ; on a donc retiré de G certains sommets, et tous les arcs adjacents à ces sommets. b a c e d b a Graphe G’ e d

Exemple de sous graphe Graphe G sous graphe : le graphe G' est un sous graphe de G si l'ensemble des sommets de G' est inclus dans l'ensemble des sommets de G, et si l'ensemble des arcs de G' est égal au sous-ensemble des arcs de G reliant entre eux tous les sommets de G’ ; on a donc retiré de G certains sommets, et tous les arcs adjacents à ces sommets. b a g c e d f h b b a a Graphe G’ g e e d d f h

Définition : sous ensemble stable Graphe G Soit un graphe G, et F un sous-ensemble de l’ensemble des sommets S. On dit que F est un sous ensemble stable de S s’il n’existe aucun arc du graphe G reliant deux sommets de F. b a g c e d f h a a a d h forme un sous ensemble stable d d h

Définition : successeur dans un graphe orienté Dans un graphe orienté, pour un arc (x;y) donné, on dit que y est le successeur de x x est le prédécesseur de y x t z y

Définition : matrice associée à un graphe Pour le traitement informatique, tout graphe possède une matrice booléenne (i.e avec des 0 et des 1 seulement) associée : chaque ligne indique les successeurs par un 1, et l’absence de successeur par un 0. b a c d a b d 1 c c est en relation avec b et d mais pas en relation avec a

matrice associée à un graphe non orienté Lorsque le graphe est non orienté, la matrice associée est symétrique par rapport à la diagonale. Lorsqu’il n’y a pas de boucle, il n’y a que des zéros sur la diagonale. b a c d b 1 c c est en relation avec b et b est en relation avec c

matrice associée à un graphe orienté Lorsque le graphe est orienté, la matrice n’est pas forcément symétrique. Lorsqu’il n’y a pas de boucle, il n’y a que des zéros sur la diagonale. b a c d a b d a 1 b b est en relation avec a et d mais a n’est pas en relation avec b

Graphe probabiliste 2/3 1/3 3/5 2/5 Pour décrire des phénomènes aléatoires se répétant, on peut utiliser un graphe et la matrice qui lui est associée. On parle alors de graphe probabiliste (car en lien avec des calculs de probabilités). 2/3 b 2/5 a 3/5 a b a 2/3 1/3 3/5 2/5 b La proba de passer de l’état a à l’état b est 1/3