Factorisation d’une différence de carrés.

Factorisation d’une différence de carrés. Une différence de carrés est le produit de facteurs conjugués. Facteurs conjugués Exemple: Les binômes ( x - 5 ) ( x + 5 ) sont appelés facteurs conjugués; ils sont composés des mêmes termes; dans un des binômes, les termes sont unis par le signe de soustraction; dans l’autre binôme, les termes sont unis par le signe d’addition. Ces caractéristiques créent un polynôme particulier.

x ( x + 5 ) - 5 ( x + 5 ) x2 + 5x - 5x - 25 x2 + 0x - 25 x2 - 25 Ces caractéristiques créent un polynôme particulier. Effectuons le produit de ces deux facteurs conjugués. ( x - 5 ) ( x + 5 ) x ( x + 5 ) - 5 ( x + 5 ) x2 + 5x - 5x - 25 Les deux termes du milieu s’annulent. x2 + 0x - 25 x2 - 25 le premier terme est un carré les deux termes sont unis par le signe de soustraction le dernier terme est un carré C’est ce qu’on appelle une différence de carrés.

x ( x + 4 ) - 4 ( x + 4 ) x ( x + 7 ) - 7 ( x + 7 ) x2 + 4x - 4x - 16 Tous les facteurs conjugués produisent une différence de carrés. ( x - 4 ) ( x + 4 ) ( x - 7 ) ( x + 7 ) ( 2x - 3 ) ( 2x + 3 ) x ( x + 4 ) - 4 ( x + 4 ) x ( x + 7 ) - 7 ( x + 7 ) 2x ( 2x + 3 ) - 3 ( 2x + 3 ) x2 + 4x - 4x - 16 x2 + 7x - 7x - 49 4x2 + 6x - 6x - 9 x2 + 0x - 16 x2 + 0x - 49 4x2 + 0x - 9 x2 - 16 x2 - 49 4x2 - 9

Détermine si ces expressions algébriques sont des différences de carrés. oui le terme est un carré soustraction le terme est un carré x2 - 169 oui le terme est un carré soustraction le terme est un carré x2 + 121 non le terme est un carré addition le terme est un carré 4x2 - 4 oui le terme est un carré soustraction le terme est un carré

Détermine si ces expressions algébriques sont des différences de carrés. non le terme n’est pas un carré soustraction le terme est un carré x2 - 11 non le terme est un carré le terme n’est pas un carré soustraction x2 - 1 oui le terme est un carré soustraction le terme est un carré Remarque: Le nombre 1 est un nombre particulier en mathématiques. Il est un carré: 12 = 1 Il est aussi un cube: 13 = 1 Il est aussi …

Détermine si ces expressions algébriques sont des différences de carrés. x3 - 64x non, mais elle en contient un. x (x2 - 64 ) le terme est un carré soustraction le terme est un carré La simple mise en évidence est la première étape d’une factorisation lorsqu’un même facteur se retrouve dans tous les termes d’un polynôme. 2x2 - 72 non, mais elle en contient un. 2 (x2 - 36 ) le terme est un carré soustraction le terme est un carré

Détermine si ces expressions algébriques sont des différences de carrés. oui le terme est un carré le terme est un carré soustraction Remarque: le binôme ( x + 3 ) est affecté de l’exposant 2, il est donc un carré. (x - 2)2 - 16 oui le terme est un carré le terme est un carré soustraction

x2 - 64 x2 - 64 x Factoriser une différence de carrés Avant de factoriser un polynôme par la technique de la différence de deux carrés, il faut analyser l’expression à partir de ces critères: - les deux termes sont des carrés; - les deux termes sont unis par le signe de soustraction. x2 - 64 oui le terme est un carré soustraction le terme est un carré on extrait alors la racine carrée de chaque terme; x2 - 64 x 8 en se souvenant qu’une différence de carrés provient de facteurs conjugués, donc ( x – 8 ) ( x + 8 )

Factorise les différences de carrés suivants. x2 - 169 = ( x – 13 ) ( x + 13) x2 - 121 = ( x – 11 ) ( x + 11) x2 - 1 = ( x – 1 ) ( x + 1) x3 - 64x = x ( x2 – 64 ) = x ( x – 8 ) ( x + 8 ) 2x2 - 72 = 2 ( x2 – 36 ) = 2 ( x – 6 ) ( x + 6 ) 4x2 - 4 soit 4x2 - 4 = ( 2x – 2 ) ( 2x + 2) soit 4x2 - 4 = 4 ( x2 – 1 ) 4 (x – 1 ) (x + 1) 2 (x – 1 ) 2 (x + 1) 4 (x – 1 ) (x + 1) Remarque: Il est habituellement préférable de factoriser au maximum une expression algébrique.

Il existe plusieurs techniques de factorisation de trinômes, une d’elles s’appelle la technique de complétion du carré. factoriser l’expression finale par une différence de carré. la dernière étape consiste à C’est une technique comportant quelques étapes; La présentation «  La technique de la complétion du carré.ppt » explique cette technique. Pour l’instant, voyons comment factoriser cette étape.

Soit factoriser (x + 3)2 - 64 le terme est un carré le terme est un carré soustraction on extrait alors la racine carrée de chaque terme; (x + 3)2 - 64 (x + 3) 8 en se souvenant qu’une différence de carrés provient de facteurs conjugués, (x + 3) - 8 (x + 3) + 8 donc en complétant les calculs ( x + 3 - 8 ) ( x + 3 + 8 ) ( x - 5 ) ( x + 11 )

( (x + 3) (x + 3) ) - 64 ( x (x + 3) + 3 (x + 3) ) - 64 Preuve de l’équivalence Développons les deux expressions: (x + 3)2 - 64 ( x - 5 ) ( x + 11 ) ( (x + 3) (x + 3) ) - 64 x ( x + 11) - 5 ( x + 11 ) ( x (x + 3) + 3 (x + 3) ) - 64 x2 + 11x - 5x - 55 ( x2 + 3x + 3x + 9 ) - 64 x2 + 6x - 55 ( x2 + 6x + 9 ) - 64 x2 + 6x + 9 - 64 x2 + 6x - 55

Soit factoriser (x - 2)2 - 16 le terme est un carré le terme est un carré soustraction on extrait alors la racine carrée de chaque terme; (x - 2)2 - 16 (x - 2) 4 en se souvenant qu’une différence de carrés provient de facteurs conjugués, (x - 2) - 4 (x - 2) + 4 donc en complétant les calculs ( x - 2 - 4 ) ( x - 2 + 4 ) ( x - 6 ) ( x + 2 )