Systèmes d’équations linéaires Étude de contexte et résolution

Système à solution unique Ces droites n’ont qu’un point d’intersection

Système inconsistant Ces droites n’ont pas d’intersection

Système avec une infinité de solutions Ces droites sont confondues

Nombre de solutions d’un système d’équations linéaires Les exemples précédents se généralisent à un système de plus de 2 variables Donc, l’ensemble solution d’un système d’équations linéaires AX=B peut posséder Aucune solution Une solution unique Une infinité de solutions

Systèmes d’équations équivalents Deux systèmes d’équations sont équivalents s’ils possèdent le même ensemble solution. Par exemple, les deux systèmes suivants sont équivalents

Opérations élémentaires sur les lignes Il y a trois types d’opérations que l’on peut faire sur les lignes d’un système d’équations linéaires qui ne changent pas l’ensemble solution de ce système - L’interversion de deux lignes - La multiplication d’une ligne par une constante non nulle - L’addition d’un multiple d’une ligne à une autre ligne

Exemple de transformations d’un système d’équations linéaires

Système initial et final (équivalents)

Matrice augmentée d’un système d’équations linéaires La matrice augmentée est la matrice des coefficients à laquelle on a ajoutée la colonne des constantes

Exemple

Méthode de la matrice escalier Deux matrices sont équivalentes si on peut obtenir l’une des matrices en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes de l’autre matrice La méthode de la matrice escalier consiste à résoudre un système d’équations linéaires en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice augmentée du système de manière à obtenir une matrice escalier équivalente (sans nécessairement les pivots à 1)

Exemple

Infinité de solutions Deux variables sont ici libres

Système inconsistant La dernière ligne est contradictoire

Rang d’une matrice Le rang d’une matrice A est le nombre de lignes non nulles d’une matrice échelonnée équivalente à A Le rang de A est 2

Théorème

Méthode de Gauss-Jordan C’est un prolongement de la méthode de la matrice escalier. Elle consiste à effectuer des opérations élémentaires sur la matrice augmentée du système pour la transformer en une matrice escalier dont les pivots sont les seuls éléments non nuls de leurs colonnes respectives. La solution du système sera alors directement accessible dans la matrice.

Exemple Donc x = -1, y = ½ et z = ¼

Calcul de la matrice inverse par la méthode de Gauss-Jordan Pour trouver l’inverse d’une matrice A, on augmente la matrice A de la matrice identité de même ordre ( A|In) on effectue ensuite des transformations élémentaires sur les lignes pour obtenir la matrice identité à gauche (In|B) la matrice B ainsi obtenue est la matrice inverse de A

Exemple