Les familles de fonctions Situations et Modèles mathématiques

Plusieurs situations concrètes peuvent être représentées par des fonctions. Exemples Le salaire en fonction du temps, la température d’un corps en fonction du temps, l’aire d’un disque en fonction de son rayon, l’ampérage en fonction de la résistance, etc. Comme ces fonctions représentent des situations concrètes, on pourrait les nommer « fonctions de situations ». Lorsqu’il s’agit de représenter ce genre de situations, la courbe tracée est alors limitée ; on dit qu’elle est bornée.

Exemple On veut représenter le salaire d’un ouvrier en fonction de ses heures de travail pour une semaine. Nous dirons qu’il gagne 10 $ l’heure et que sa semaine de travail comporte 40 heures. 5 50 Heures ($) Salaire d’un travailleur 40 400 Le graphique ci-contre illustre cette situation. Cette fonction représente une situation concrète; elle varie de 0 à 40 pour le nombre d’heures et de 0 à 400 pour le salaire. L’étude que l’on en fait est limitée; la fonction est donc bornée.

Remarque Certains auteurs identifient une fonction bornée avec des points. 5 50 Heures ($) Salaire d’un travailleur 40 400 Ce n’est pas nécessaire, l’important est de comprendre la situation que représente le graphique.

On pourrait « théoriser » cette situation dans tout le plan cartésien. La situation de l’ouvrier correspond au modèle d’une fonction linéaire de variation directe. On pourrait « théoriser » cette situation dans tout le plan cartésien. y x On obtient ainsi le modèle théorique de la fonction linéaire de variation directe. Toutes les situations linéaires de variation directe suivront ce modèle qu’il faudra ajuster selon la situation.

Fonction polynomiale de degré 0 Fonction polynomiale de degré 1 Les fonctions sont associées à des situations bien précises; chaque fonction possède donc son propre modèle théorique. Les fonctions de base sont les fonctions les plus simples de leur catégorie. y x y x Fonction polynomiale de degré 0 Fonction polynomiale de degré 1 ou ou fonction linéaire fonction constante f(x) = bx0 f(x) = x1 f(x) = b f(x) = x

Fonction polynomiale de degré 2 Fonction inversement proportionnelle x y x y x Fonction polynomiale de degré 2 Fonction inversement proportionnelle Fonction racine carrée ou ou fonction quadratique fonction rationnelle f(x) = x a f(x) = x2 f(x) = x

Fonction exponentielle Fonction partie entière Fonction valeur absolue y x y x y x Fonction exponentielle Fonction partie entière Fonction valeur absolue f(x) = cx f(x) = [ x ] f(x) = x y x y x Fonction périodique Fonction définie par parties

Examinons quelques situations Aux États-Unis, la mesure de la température ne se fait pas en degré Celsius, mais avec une autre unité de mesure, soit le degré Fahrenheit. Une formule permet de convertir les degrés Celsius en degré Fahrenheit; cette formule est : 5 0F = 9 0C + 32 20 0C 25 0F Conversion de température La représentation graphique de cette fonction est illustrée ci-contre. La conversion de température des degrés Celsius en degrés Fahrenheit est une fonction linéaire de variation partielle. Pour la représenter, nous avons besoin de tout le plan cartésien. Forme d’équation la plus simple : f(x) = x + b

Dans l’exemple, déjà cité, du salaire de l’ouvrier, la fonction correspond au modèle linéaire de variation directe. Salaire ($) Dans cet exemple, seulement le premier quadrant du plan cartésien est utilisé, car le travailleur ne peut faire des heures négatives et un salaire négatif. Le modèle de la fonction représentée correspond quand même au modèle linéaire de variation directe, mais ajusté à la situation. 50 5 Heures Forme d’équation la plus simple : f(x) = x

Courbe de la tension en fonction du courant En électricité, plusieurs phénomènes peuvent être représentés par des fonctions linéaires de variation directe. Courbe de la tension en fonction du courant Courant (A) 0,25 0,50 0,75 1 Tension (V) 2 4 6 8

Forme d’équation la plus simple : f(x) = a Dans une loto, plus on achète de billets et plus on a de chances de gagner. Tu demandes donc à tes amis de participer à l’achat de billets lors d’un tirage de 20 000$. Tu aimerais savoir quel montant recevra chacun en fonction du nombre de participants. Plus le nombre de participants sera élevé et plus le montant gagné par chacun sera petit. Partage d’une somme d’argent de 20 000 $ Nombre de participants 2 Somme gagnée ( K $ ) Cette situation représente une fonction inversement proportionnelle (appelée aussi fonction rationnelle). Seulement une partie du plan cartésien est utilisé, mais le modèle s’apparente au modèle de la fonction inversement proportionnelle. Forme d’équation la plus simple : f(x) = a x

Le coût d’utilisation d’un stationnement public est de 2,00 $ de l’heure ou partie d’heure. On s’intéresse à la relation entre les heures de stationnement et le coût. Dès la première minute, le coût est automatiquement de 2,00 $. Coût de stationnement Temps (heures) Coût ($) 1 2 4 6 8 3 Si on reste 30 minutes, le coût est aussi de 2,00 $. Si on reste 1 heure plus une minute, le coût augmente subitement à 4,00 $ pour toute la deuxième heure et ainsi de suite. C’est le modèle de variation en escalier. On l’appelle ainsi, car le graphique ressemble à un escalier. Il représente la fonction appelée partie entière. Forme d’équation la plus simple : f(x) = [ x ]

On peut constater que la variation est de plus en plus rapide. La distance (D) parcourue (en kilomètres) par une fusée durant les trois premières minutes de son vol est définie par la règle D = 50t2 où t est le temps (en minutes). Cette situation s’apparente au modèle du second degré appelé fonction quadratique. 1 2 3 4 Temps (min) 100 400 200 300 Distance parcourue par une fusée Distance (km) C’est une fonction du second degré, car l’exposant de la variable indépendante est l’exposant 2. On peut constater que la variation est de plus en plus rapide. Ici, nous ne voyons que la moitié de la courbe.

Ce type de courbe s’appelle une parabole. Un ballon de football est botté dans les airs. La hauteur H du ballon (en mètres) selon le temps (en secondes) est donnée par la règle H(t) = -2t2 + 12 t. Dans cette situation, on voit plus clairement le modèle du deuxième degré. 1 2 6 3 9 12 15 18 Temps (sec) Hauteur (m) Botté d’un ballon de football 4 5 21 Ce type de courbe s’appelle une parabole. Ici encore, on ne représente qu’une partie de la parabole soit la partie positive, puisque la situation est une situation réelle. Forme d’équation la plus simple : f(x) = x2

Voici une table de valeurs représentant cette situation. Au début d'une expérience, il y avait 20 bactéries. Depuis, l'augmentation des bactéries double à chaque heure. On veut connaître le nombre de bactéries après 6 heures. Heures Bactéries 1 2 3 4 5 20 40 80 160 320 640 6 1280 Voici une table de valeurs représentant cette situation. Heures 1 2 3 4 5 6 1300 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 Développement de bactéries Nombre de bactéries Cette table de valeurs et ce graphique représentent le modèle exponentielle. Au début, la relation progresse assez lentement, mais par la suite, elle augmente très rapidement. Forme d’équation la plus simple : f(x) = cx

On voudrait connaître la longueur du côté d’un carré en fonction de son aire. Dans cet exemple, il faut extraire la racine carré des différentes aires que peut avoir un carré. Aires et côtés de carrés Aire (m2) Côté (m) 1 4 9 2 3 Forme d’équation la plus simple : f(x) = x

Forme d’équation la plus simple : f(x) = x Sur une droite numérique, la distance de chaque entier et de son opposé par rapport à 0 est la même et bien entendu, cette distance doit être positive. distance de 2 distance de 1 distance de 1 distance de 2 1 2 3 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 Nombres Distance par rapport à zéro -4 -3 -2 -1 Distance Que les nombres soient positifs ou négatifs, la distance de ces nombres par rapport à zéro est nécessairement positive. On utilise donc la fonction valeur absolue, ce qui garantit un résultat positif. Cette fonction permet en autre de calculer la différence entre une mesure souhaitée et une mesure réelle lors de la fabrication d’un objet. Forme d’équation la plus simple : f(x) = x

Il varie donc constamment de + 110 volts à – 110 volts. L’électricité que nous recevons dans nos maisons à une tension de 110 volts et le courant est alternatif. Il varie donc constamment de + 110 volts à – 110 volts. La courbe ci-contre représente un cycle. Fréquence d’un courant alternatif (110 V) Temps (sec) Tension (V) + 110 V - 110 V 1 60 Ce cycle a une durée de 1/60 de seconde; il se répète donc 60 fois dans une seconde. Cette situation s’apparente donc à la fonction périodique. Temps (sec) Tension (V) + 110 V - 110 V 1 60 Une des formes d’équation la plus simple de ce genre de situation : f(x) = sin x

Conclusion Chaque modèle mathématique illustre une multitude de situations ou de phénomènes de la vie courante. Cependant, ces situations ne correspondent le plus souvent qu’à une partie du modèle. La représentation théorique des fonctions est beaucoup plus vaste et complexe que la représentation associée à des situations concrètes. Chaque fonction possède ses propres propriétés (domaine, codomaine, intervalles de croissance et de décroissance, etc.). Être capable de les analyser est donc essentiel. Il existe encore d’autres fonctions, nous ne les avons pas toutes abordées. Une bonne connaissance de l’algèbre est essentielle pour pouvoir utiliser adéquatement toutes les notions gravitant autour du concept de fonctions.