TRIANGLE Inégalité triangulaire

Plan du chapitre Inégalité triangulaire Définition Cas du triangle. Cas des points alignés.

Donc AC < AB + BC Inégalité triangulaire 1. Définition. (Paris) 1. Définition. B (Bar sur Aube) C (Lyon) Le plus court chemin pour aller d'un point à un autre, c'est la ligne droite. Tout trajet différent (détour) sera obligatoirement plus long. Donc AC < AB + BC

Donc AC < AB + BC Inégalité triangulaire 1. Définition. (Paris) 1. Définition. B (Bar sur Aube) C (Lyon) Le plus court chemin pour aller d'un point à un autre, c'est la ligne droite. Tout trajet différent (détour) sera obligatoirement plus long. Donc AC < AB + BC

Donc AM + MC = AC A (Paris) B (Bar sur Aube) M (Auxerre) C (Lyon) La ville d'Auxerre est sur le trajet "direct" Paris – Lyon. Les points A, M et C sont donc alignés (et dans cet ordre). Donc AM + MC = AC De plus,on ne peut pas trouver une ville N telle que : AC > AN + NC (c’est impossible, le plus court chemin est la ligne droite)

Donc AM + MC = AC A (Paris) B (Bar sur Aube) M (Auxerre) C (Lyon) La ville d'Auxerre est sur le trajet "direct" Paris – Lyon. Les points A, M et C sont donc alignés (et dans cet ordre). Donc AM + MC = AC De plus,on ne peut pas trouver une ville N telle que : AC > AN + NC (c’est impossible, le plus court chemin est la ligne droite)

AC  AB + BC Finalement, on peut donc conclure que : « Peu importe qui sont .. » Propriété : Quels que soient les points A, B et C, on a toujours : Par AC  AB + BC

AC  AB + BC Finalement, on peut donc conclure que : « Peu importe qui sont .. » Propriété : Quels que soient les points A, B et C, on a toujours : Par AC  AB + BC

< AB + BC < AC + CB < BA + AC 2. Dans un triangle. Propriété : Dans un triangle, la longueur d'un côté est toujours plus petite que la somme des longueurs des deux autres côtés. Par A B C < AB + BC On a : AC < AC + CB AB < BA + AC BC

< AB + BC < AC + CB < BA + AC 2. Dans un triangle. Propriété : Dans un triangle, la longueur d'un côté est toujours plus petite que la somme des longueurs des deux autres côtés. Par A B C < AB + BC On a : AC < AC + CB AB < BA + AC BC

Peut-on construire le triangle ABC ? 9 cm 5 cm 13 cm Exemple 1 : Peut-on construire le triangle ABC ? On doit vérifier la propriété que l’on vient d’énoncer. Il est évident que AC < AB + BC et que AB < AC + CB car AC et AB sont déjà inférieurs à BC. Il suffit donc de vérifier la 3ème inégalité, celle qui concerne BC, la longueur du plus long côté.

Peut-on construire le triangle ABC ? 9 cm 5 cm 13 cm Exemple 1 : Peut-on construire le triangle ABC ? On doit vérifier la propriété que l’on vient d’énoncer. Il est évident que AC < AB + BC et que AB < AC + CB car AC et AB sont déjà inférieurs à BC. Il suffit donc de vérifier la 3ème inégalité, celle qui concerne BC, la longueur du plus long côté.

A B C BC = 13 cm BA + AC = 5 + 9 = 14 cm Donc BC < BA + BC La longueur de chacun des côtés étant donc inférieure à la somme des deux autres, on peut donc construire le triangle ABC.

A B C BC = 13 cm BA + AC = 5 + 9 = 14 cm Donc BC < BA + BC La longueur de chacun des côtés étant donc inférieure à la somme des deux autres, on peut donc construire le triangle ABC.

Peut-on construire le triangle IJK ? 7,6 cm 3,9 cm 3,4 cm Exemple 2 : Peut-on construire le triangle IJK ? Comme on vient de le voir dans l’exemple précédent, il suffit de vérifier que la longueur du plus long côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres.

Peut-on construire le triangle IJK ? 7,6 cm 3,9 cm 3,4 cm Exemple 2 : Peut-on construire le triangle IJK ? Comme on vient de le voir dans l’exemple précédent, il suffit de vérifier que la longueur du plus long côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres.

I J K IK = 7,6 cm IJ + JK = 3,9 + 3,4 = 7,3 cm Donc IK > IJ + JK D’après la propriété, ceci est impossible. Donc on ne peut pas construire le triangle IJK, il n’existe pas.

I J K IK = 7,6 cm IJ + JK = 3,9 + 3,4 = 7,3 cm Donc IK > IJ + JK D’après la propriété, ceci est impossible. Donc on ne peut pas construire le triangle IJK, il n’existe pas.

3. Cas des points alignés. Propriété : Si AC = AB + BC alors les points A, B et C sont alignés dans cet ordre. par Réciproquement, si A, B et C sont alignés dans cet ordre alors AC = AB + BC. C B A = AC BC AB +

3. Cas des points alignés. Propriété : Si AC = AB + BC alors les points A, B et C sont alignés dans cet ordre. par Réciproquement, si A, B et C sont alignés dans cet ordre alors AC = AB + BC. C B A = AC BC AB +

Exemples : A C B  Les points A, C et B sont alignés dans cet ordre donc on a : AB = AC + CB I J K  Les points I, J et K sont alignés dans cet ordre donc on a : IK = IJ + JK

Exemples : A C B  Les points A, C et B sont alignés dans cet ordre donc on a : AB = AC + CB I J K  Les points I, J et K sont alignés dans cet ordre donc on a : IK = IJ + JK

 On donne trois points R, S et T tels que : RS = 3cm ST = 12 cm RT = 9 cm Les points R, S et T sont-ils alignés ? Solution : RS + RT = 3 + 9 = 12 = ST Donc les points S, R et T sont alignés dans cet ordre. S R T

 On donne trois points R, S et T tels que : RS = 3cm ST = 12 cm RT = 9 cm Les points R, S et T sont-ils alignés ? Solution : RS + RT = 3 + 9 = 12 = ST Donc les points S, R et T sont alignés dans cet ordre. S R T

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