Pentagramme de Miquel Construisons un pentagone ABCDE.

Pentagramme de Miquel Construisons un pentagone ABCDE. Prolongeons chaque côté du pentagone.

Pentagramme de Miquel Construisons un pentagone ABCDE. Prolongeons chaque côté du pentagone. On obtient un Pentagramme.

Pentagramme de Miquel Construisons un pentagone ABCDE. Prolongeons chaque côté du pentagone. On obtient un Pentagramme. Nommons les intersections des droites.

Pentagramme de Miquel Traçons les cercles circonscrits aux triangles ABL, BCM, CDN, DEO et EAK.

Pentagramme de Miquel Traçons les cercles circonscrits aux triangles ABL, BCM, CDN, DEO et EAK.

Pentagramme de Miquel Traçons les cercles circonscrits aux triangles ABL, BCM, CDN, DEO et EAK.

Pentagramme de Miquel Traçons les cercles circonscrits aux triangles ABL, BCM, CDN, DEO et EAK.

Pentagramme de Miquel Traçons les cercles circonscrits aux triangles ABL, BCM, CDN, DEO et EAK.

Pentagramme de Miquel Construisons un pentagone ABCDE. Prolongeons chaque côté du pentagone. On obtient un Pentagramme. Nommons les intersections des droites. Traçons les cercles circonscrits aux triangles ABL, BCM, CDN, DEO et EAK. Nommons les intersections des cercles.

Pentagramme de Miquel Construisons un pentagone ABCDE. Prolongeons chaque côté du pentagone. On obtient un Pentagramme. Nommons les intersections des droites. Traçons les cercles circonscrits aux triangles ABL, BCM, CDN, DEO et EAK. Nommons les intersections des cercles. Nous voulons prouver que toutes ces intersections sont cocycliques.

Pentagramme de Miquel Pour démontrer ce théorème, prenons 3 angles

Pentagramme de Miquel Pour démontrer ce théorème, prenons 3 angles α

Pentagramme de Miquel Pour démontrer ce théorème, prenons 3 angles α,

Pentagramme de Miquel Pour démontrer ce théorème, prenons 3 angles α, β

Pentagramme de Miquel Pour démontrer ce théorème, prenons 3 angles α, β et

Pentagramme de Miquel Pour démontrer ce théorème, prenons 3 angles α, β et Ω

Pentagramme de Miquel Pour démontrer ce théorème, prenons 3 angles α, β et Ω.

Pentagramme de Miquel Pour démontrer ce théorème, prenons 3 angles α, β et Ω. Cherchons les angles qui leurs sont égaux dans le pentagramme.

Pentagramme de Miquel Pour démontrer ce théorème, prenons 3 angles α, β et Ω. Cherchons les angles qui leurs sont égaux dans le pentagramme. Commençons par langle α.

Cet angle α 1 est égal à α car

ils sont inscris dans un même cercle

Cet angle α 1 est égal à α car ils sont inscris dans un même cercle

Cet angle α 1 est égal à α car ils sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde.

Cet angle α 1 est égal à α car ils sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde.

Cet angle α 1 est égal à α car ils sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde. α 1 = α

Cet angle α 2 est égal à α car

Ils ont le même angle supplémentaire θ.

Cet angle α 2 est égal à α car Ils ont le même angle supplémentaire θ.

Cet angle α 2 est égal à α car Preuve : Observons le quadrilatère DCHN

Cet angle α 2 est égal à α car Preuve : Observons le quadrilatère DCHN

Cet angle α 2 est égal à α car Preuve : Observons le quadrilatère DCHN : cest un quadrilatère inscrit.

Cet angle α 2 est égal à α car Preuve : Observons le quadrilatère DCHN : cest un quadrilatère inscrit.

Cet angle α 2 est égal à α car Preuve : Observons le quadrilatère DCHN : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires

Cet angle α 2 est égal à α car Preuve : Observons le quadrilatère DCHN : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires

Cet angle α 2 est égal à α car Preuve : Observons le quadrilatère DCHN : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires : θ + α = 180°

Cet angle α 2 est égal à α car Preuve : Observons le quadrilatère DCHN : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires : θ + α = 180° Mais on voit aussi que θ et α 2 sont supplémentaires :

Cet angle α 2 est égal à α car Preuve : Observons le quadrilatère DCHN : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires : θ + α = 180° Mais on voit aussi que θ et α 2 sont supplémentaires : θ + α 2 = 180°

Cet angle α 2 est égal à α car Preuve : Observons le quadrilatère DCHN : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires : θ + α = 180° Mais on voit aussi que θ et α 2 sont supplémentaires : θ + α 2 = 180° Donc α 2 = α

Cet angle α 3 est égal à α car

α 3 et α 2 sont inscris dans un même cercle

Cet angle α 3 est égal à α car α 3 et α 2 sont inscris dans un même cercle

Cet angle α 3 est égal à α car α 3 et α 2 sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde.

Cet angle α 3 est égal à α car α 3 et α 2 sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde.

Cet angle α 3 est égal à α car α 3 et α 2 sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde. α 3 = α 2 = α

Observons le quadrilatère NHBK

Observons langle supplémentaire de α 3

Observons le quadrilatère NHBK Observons langle supplémentaire de α 3 : langle θ.

Observons le quadrilatère NHBK Observons langle supplémentaire de α 3 : langle θ. Puisque α 3 = α, cet angle est donc aussi le supplémentaire de α.

Observons le quadrilatère NHBK Observons langle supplémentaire de α 3 : langle θ. Puisque α 3 = α, cet angle est donc aussi le supplémentaire de α. On voit que θ et α sont des angles opposés dans le quadrilatère NHBK.

Observons le quadrilatère NHBK Observons langle supplémentaire de α 3 : langle θ. Puisque α 3 = α, cet angle est donc aussi le supplémentaire de α. On voit que θ et α sont des angles opposés dans le quadrilatère NHBK. NHBK est donc inscriptible.

Observons le quadrilatère NHBK Observons langle supplémentaire de α 3 : langle θ. Puisque α 3 = α, cet angle est donc aussi le supplémentaire de α. On voit que θ et α sont des angles opposés dans le quadrilatère. NHBK est donc inscriptible.

Pentagramme de Miquel Pour démontrer ce théorème, prenons 3 angles α, β et Ω. Cherchons les angles qui leurs sont égaux dans le pentagramme. Commençons par langle α. Poursuivons par langle β.

Cet angle β 1 est égal à β car

Ils ont le même angle supplémentaire

Cet angle β 1 est égal à β car Ils ont le même angle supplémentaire : ψ.

Cet angle β 1 est égal à β car Preuve : Observons le quadrilatère AEKF

Cet angle β 1 est égal à β car Preuve : Observons le quadrilatère AEKF

Cet angle β 1 est égal à β car Preuve : Observons le quadrilatère AEKF : cest un quadrilatère inscrit.

Cet angle β 1 est égal à β car Preuve : Observons le quadrilatère AEKF : cest un quadrilatère inscrit.

Cet angle β 1 est égal à β car Preuve : Observons le quadrilatère DCHN : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires

Cet angle β 1 est égal à β car Preuve : Observons le quadrilatère DCHN : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires

Cet angle β 1 est égal à β car Preuve : Observons le quadrilatère DCHN : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires : ψ + β = 180°

Cet angle β 1 est égal à β car Preuve : Observons le quadrilatère DCHN : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires : ψ + β = 180° Mais on voit aussi que β 1 et ψ sont supplémentaires

Cet angle β 1 est égal à β car Preuve : Observons le quadrilatère DCHN : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires : ψ + β = 180° Mais on voit aussi que β 1 et ψ sont supplémentaires : ψ + β 1 = 180°

Cet angle β 1 est égal à β car Preuve : Observons le quadrilatère DCHN : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires : ψ + β = 180° Mais on voit aussi que β 1 et ψ sont supplémentaires : ψ + β 1 = 180° Donc β 1 = β

Cet angle β 2 est égal à β car

β 1 et β 2 sont inscris dans un même cercle

Cet angle β 2 est égal à β car β 1 et β 2 sont inscris dans un même cercle

Cet angle β 2 est égal à β car β 1 et β 2 sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde.

Cet angle β 2 est égal à β car β 1 et β 2 sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde.

Cet angle β 2 est égal à β car β 1 et β 2 sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde. β 2 = β 1 = β

Observons le quadrilatère NBFK

Observons langle supplémentaire de β 2

Observons le quadrilatère NBFK Observons langle supplémentaire de β 2 : langle ψ.

Observons le quadrilatère NBFK Observons langle supplémentaire de β 2 : langle ψ. Puisque β 2 = β, cet angle est donc aussi le supplémentaire de β.

Observons le quadrilatère NBFK Observons langle supplémentaire de β 2 : langle ψ. Puisque β 2 = β, cet angle est donc aussi le supplémentaire de β 2. On voit que ψ et β sont des angles opposés dans le quadrilatère NBFK.

Observons le quadrilatère NBFK Observons langle supplémentaire de β 2 : langle ψ. Puisque β 2 = β, cet angle est donc aussi le supplémentaire de β 2. On voit que ψ et β sont des angles opposés dans le quadrilatère NBFK. NBFK est donc inscriptible.

Observons le quadrilatère NBFK Observons langle supplémentaire de β 2 : langle ψ. Puisque β 2 = β, cet angle est donc aussi le supplémentaire de β 2. On voit que ψ et β sont des angles opposés dans le quadrilatère NBFK. NBFK est donc inscriptible.

Pentagramme de Miquel Nous venons de le voir, NHBK et NBFK sont des quadrilatères inscriptibles.

Pentagramme de Miquel Nous venons de le voir, NHBK et NBFK sont des quadrilatères inscriptibles.

Pentagramme de Miquel Nous venons de le voir, NHBK et NBFK sont des quadrilatères inscriptibles.

Pentagramme de Miquel Nous venons de le voir, NHBK et NBFK sont des quadrilatères inscriptibles. Donc, B, F, H, K et N sont cocycliques.

Pentagramme de Miquel Nous venons de le voir, NHBK et NBFK sont des quadrilatères inscriptibles. Donc, B, F, H, K et N sont cocycliques.

Pentagramme de Miquel Nous venons de le voir, NHBK et NBFK sont des quadrilatères inscriptibles. Donc, B, F, H, K et N sont cocycliques. Par conséquent, le quadrilatère NHFK est aussi inscriptible.

Pentagramme de Miquel Nous venons de le voir, NHBK et NBFK sont des quadrilatères inscriptibles. Donc, B, F, H, K et N sont cocycliques. Par conséquent, le quadrilatère NHFK est aussi inscriptible.

Pentagramme de Miquel Puisque ce quadrilatère est inscriptible, les angles opposés sont supplémentaires.

Pentagramme de Miquel Puisque ce quadrilatère est inscriptible, les angles opposés sont supplémentaires. Cherchons le supplémentaire de α

Pentagramme de Miquel Puisque ce quadrilatère est inscriptible, les angles opposés sont supplémentaires. Cherchons le supplémentaire de α : θ

Pentagramme de Miquel Puisque ce quadrilatère est inscriptible, les angles opposés sont supplémentaires. Cherchons le supplémentaire de α : θ A partir de cet angle, nous pouvons trouver un angle α 4 égal à α.

Pentagramme de Miquel Puisque ce quadrilatère est inscriptible, les angles opposés sont supplémentaires. Cherchons le supplémentaire de α : θ A partir de cet angle, nous pouvons trouver un angle α 4 égal à α.

Pentagramme de Miquel Puisque ce quadrilatère est inscriptible, les angles opposés sont supplémentaires. Cherchons le supplémentaire de α : θ A partir de cet angle, nous pouvons trouver un angle α 4 égal à α. Ils possèdent le même angle supplémentaire: θ

Pentagramme de Miquel Pour démontrer ce théorème, prenons 3 angles α, β et Ω. Cherchons les angles qui leurs sont égaux dans le pentagramme. Commençons par langle α. Poursuivons par langle β. Terminons avec langle Ω.

Cet angle Ω 1 est égal à Ω car

ils sont inscris dans un même cercle

Cet angle Ω 1 est égal à Ω car ils sont inscris dans un même cercle

Cet angle Ω 1 est égal à Ω car ils sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde.

Cet angle Ω 1 est égal à Ω car ils sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde.

Cet angle Ω 1 est égal à Ω car ils sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde. Ω = Ω 1

Cet angle Ω 2 est égal à Ω car

Ω 2 et Ω 1 ont le même supplémentaire

Cet angle Ω 2 est égal à Ω car Ω 2 et Ω 1 ont le même supplémentaire : langle η.

Cet angle Ω 2 est égal à Ω car Preuve : Observons le quadrilatère DIJE

Cet angle Ω 2 est égal à Ω car Preuve : Observons le quadrilatère DIJE

Cet angle Ω 2 est égal à Ω car Preuve : Observons le quadrilatère DIJE : cest un quadrilatère inscrit.

Cet angle Ω 2 est égal à Ω car Preuve : Observons le quadrilatère DIJE : cest un quadrilatère inscrit.

Cet angle Ω 2 est égal à Ω car Preuve : Observons le quadrilatère DIJE : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires

Cet angle Ω 2 est égal à Ω car Preuve : Observons le quadrilatère DIJE : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires

Cet angle Ω 2 est égal à Ω car Preuve : Observons le quadrilatère DIJE : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires : η + Ω 1 = 180°

Cet angle Ω 2 est égal à Ω car Preuve : Observons le quadrilatère DIJE : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires : η + Ω 1 = 180° Mais on voit aussi que θ et α 2 sont supplémentaires : η + Ω 2 = 180°

Cet angle Ω 2 est égal à Ω car Preuve : Observons le quadrilatère DIJE : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires : η + Ω 1 = 180° Mais on voit aussi que θ et α 2 sont supplémentaires : η + Ω 2 = 180°

Cet angle Ω 2 est égal à Ω car Preuve : Observons le quadrilatère DIJE : cest un quadrilatère inscrit. Les angles opposés sont donc supplémentaires : η + Ω 1 = 180° Mais on voit aussi que θ et α 2 sont supplémentaires : η + Ω 2 = 180° Donc Ω 2 = Ω 1 = Ω

Cet angle Ω 3 est égal à Ω car Ω 3 et Ω 2 sont inscris dans un même cercle

Cet angle Ω 3 est égal à Ω car Ω 3 et Ω 2 sont inscris dans un même cercle

Cet angle Ω 3 est égal à Ω car Ω 3 et Ω 2 sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde.

Cet angle Ω 3 est égal à Ω car Ω 3 et Ω 2 sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde.

Cet angle Ω 3 est égal à Ω car Ω 3 et Ω 2 sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde. Ω 3 = Ω 2 = Ω

Observons le quadrilatère FJIH

Observons langle supplémentaire de α 4 + Ω 3

Observons le quadrilatère FJIH Observons langle supplémentaire de α 4 + Ω 3 : langle τ

Observons le quadrilatère FJIH Observons langle supplémentaire de α 4 + Ω 3 : langle τ Puisque α 4 + Ω 3 = α 1 + Ω 1, cet angle est donc aussi le supplémentaire de α 1 + Ω 1.

Observons le quadrilatère FJIH Observons langle supplémentaire de α 4 + Ω 3 : langle τ Puisque α 4 + Ω 3 = α 1 + Ω 1, cet angle est donc aussi le supplémentaire de α 1 + Ω 1. On voit que τ et α 1 + Ω 1 sont des angles opposés dans le quadrilatère FJIH.

Observons le quadrilatère FJIH Observons langle supplémentaire de α 4 + Ω 3 : langle τ Puisque α 4 + Ω 3 = α 1 + Ω 1, cet angle est donc aussi le supplémentaire de α 1 + Ω 1. On voit que τ et α 1 + Ω 1 sont des angles opposés dans le quadrilatère FJIH. FJIH est donc inscriptible.

Observons le quadrilatère FJIH Observons langle supplémentaire de α 4 + Ω 3 : langle τ Puisque α 4 + Ω 3 = α 1 + Ω 1, cet angle est donc aussi le supplémentaire de α 1 + Ω 1. On voit que τ et α 1 + Ω 1 sont des angles opposés dans le quadrilatère FJIH. FJIH est donc inscriptible.

Pentagramme de Miquel Puisque FJIH est un quadrilatère inscriptible, F, J, I et H sont des points cocycliques.

Pentagramme de Miquel Puisque FJIH est un quadrilatère inscriptible, F, J, I et H sont des points cocycliques. Pour terminer la démonstration de ce théorème, il nous reste à prouver que G se trouve aussi sur ce cercle.

Pentagramme de Miquel En plaçant les 3 angles α, β et Ω différemment dans le pentagramme,

Pentagramme de Miquel En plaçant les 3 angles α, β et Ω différemment dans le pentagramme, Par exemple :

Pentagramme de Miquel Et en suivant le même raisonnement, nous trouveront 4 points cocycliques.

Pentagramme de Miquel Et en suivant le même raisonnement, nous trouveront 4 points cocycliques. Dans lexemple: GHIJ

Pentagramme de Miquel En superposant nos 2 conclusions : Les points F, J, I et H sont cocycliques. Les points G, H, I et J sont cocycliques. On prouve que les intersections des cercles circonscrits aux triangles du pentagramme (F G H I J) sont cocycliques.

Pentagramme de Miquel En superposant nos 2 conclusions : Les points F, J, I et H sont cocycliques. Les points G, H, I et J sont cocycliques. On prouve que les intersections des cercles circonscrits aux triangles du pentagramme (F G H I J) sont cocycliques.