Généralités sur les constructions (1) Dans un théorème, on donne, par hypothèse une figure satisfaisant à certaines conditions et on demande de prouver qu’elle possède telle ou telle propriété. Dans un problème ou construction géométrique, on donne par hypothèse certaines conditions ou propriétés et on demande de construire une figure satisfaisant à ces conditions.

Généralités sur les constructions (2) Les conditions ou propriétés d’un problème ou un théorème sont générales si les positions des objets impliqués ne vérifient pas des propriétés autres que celles spécifiées dans l’énoncé du problème ou du théorème ou celle qui en découlent par un raisonnement logique. Sinon les conditions sont particulières ou spéciales. Le problème ou le théorème doit être résolu pour les conditions générales (cas général).

Généralités sur les constructions (3) Problèmes déterminés – ceux qui ont un nombre limité de solutions dans le cas général. Problèmes impossibles – ceux qui n’admettent aucune solution dans le cas général. D’habitude les conditions de l’énoncé sont trop restrictives. Problèmes indéterminés – ceux qui admettent un nombre infini de solutions dans le cas général. D’habitude les conditions de l’énoncé sont trop larges.

Généralités sur les constructions (4) Problème. Mener par un point A une tangente à une circonférence O, de rayon R Discussion. Il y a autant de solutions que de points communs aux deux circonférences

Tangentes communes Problème. Mener une tangente commune à deux circonférences O et O’ de rayons R et r 1er cas – tangente extérieure 2e cas – tangente intérieure

Les milieux des cordes. Cercle d’Euler Problème. Le lieu du milieu des cordes d’une circonférence donnée de centre O, lorsque ces cordes passent par un même point C, est la circonférence décrite sur OC comme diamètre. Cercle d’Euler. Le cercle qui passe par les pieds des trois médianes d’un triangle passe aussi par les pieds des trois hauteurs. Ce cercle divise en deux parties égales les segments des hauteurs compris entre le point de concours des hauteurs et chaque sommet http://home.nordnet.fr/~rdassonval/ddtcercleeuler.html http://home.nordnet.fr/~rdassonval/ddtfeuerbach.html

Le droite d’Euler Le centre de gravité G, l’orthocentre H et le centre O du cercle circonscrit sont alignés sur une droite appelée droite d’Euler du triangle. En plus, le segment GH est 2 fois plus long que OG. http://home.nordnet.fr/~rdassonval/ddteuler.html http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/Geometry/eulerline.html

Segments proportionnels. Théorème. Les parallèles qui déterminent des segments égaux sur une sécante donnée, déterminent aussi des segments égaux sur toute autre sécante Problème. Diviser un segment AB en un nombre quelconque de parties égales.

Segments proportionnels. Le rapport de deux segments est égal au rapport des nombres qui les mesurent avec le même unité. Deux segments sont proportionnels à deux autres segments lorsque le rapport des deux premiers est égal au rapport des deux derniers. Noter que le rapport des sommes ou celui des différences des segments respectifs restent les mêmes.

Le nombre d’or Supposons qu’un rectangle donné X a été partagé en carré et un autre rectangle Y. Si le rapport des côtés de rectangle X est égal au rapport des côtés de rectangle Y alors ce rapport est égal au nombre d’or (et X est un rectangle d’or) Construction du nombre d’or

Division de segment de droite dans un rapport donné. Problème. Étant donné deux points fixes A et B sur une droite indéfinie, et un point mobile C sur cette droite, étudier suivant les diverses positions du point C comment varie le rapport |CA| / |CB| Étant donné deux points fixes A et B sur une droite indéfinie, il existe deux points et deux seulement tels que le rapport |CA|/|CB| soit égal au nombre donné k Problème. Diviser un segment donné en partie dont le rapport est égal au rapport de deux autres segments donnés

Longueurs proportionnels. Théorème. Deux droites parallèles découpent deux sécantes quelconques en segments proportionnels. Corollaire. Toute à un côté d’un triangle détermine sur les deux autres côtés des segments proportionnels.

Bissectrices d’un triangle. Théorème. Dans tout triangle, la bissectrice d’un angle intérieur ou extérieur partage le côté opposé dans le rapport des côtés adjacents.

Triangles semblables. On dit que deux triangles sont semblables quand leur angles sont respectivement égaux, et que leurs côtés homologues sont proportionnels. On appelle Angles homologues, les angles respectivement égaux; Côtés homologues, les côtés opposés à des angles égaux; Rapport de similitude, le rapport constant de deux côtés homologues.

Triangles semblables. Théorème. Dans tout triangle, la bissectrice d’un angle intérieur ou extérieur partage le côté opposé dans le rapport des côtés adjacents.

Triangles semblables. Théorème de Thalès. Théorème. Toute parallèle menée à un côté d’un triangle détermine un second triangle semblable au premier.